Für v(x) = 2x + 1 ist v′(x) = 2. Welche Ableitung hat g(x) = 1/(2x + 1)?

Erklärung: Kehrwert = 1/z mit z = v(x): die äußere Ableitung −1/z² wird mit der inneren Ableitung v′ = 2 multipliziert, also g′(x) = −2/(2x + 1)². Ohne v′ bleibt −1/(2x + 1)², und 1/2 wäre der Kehrwert von v′ = 2.

Der Graph zeigt g(x) = 1/x und die Tangente im Punkt P bei x = 2. Welche Steigung hat die Tangente?

Erklärung: g′(x) = −1/x², also g′(2) = −1/4 = −0,25. −0,5 entsteht bei −1/x statt −1/x², und 0,25 hat das falsche Vorzeichen: die Kurve fällt an dieser Stelle.

Für g(x) = 1/(x + 3) gilt g′(x) = −1/(x + 3)².

Erklärung: Mit v(x) = x + 3 ist v′ = 1, also (1/v)′ = −v′/v² = −1/(x + 3)². Bei x = 0 ergibt das −1/9.

Berechne die Ableitung von g(x) = 1/x an der Stelle x = 4.

Erklärung: g′(x) = −1/x², also g′(4) = −1/16 = −0,0625.

Für g(x) = 1/(x² + 1) ist g′(x) = −v′(x)/(x² + 1)² mit v(x) = x² + 1. Welchen Wert hat der Zähler −v′(3) an der Stelle x = 3?

Erklärung: Mit v(x) = x² + 1 ist v′(x) = 2x, also v′(3) = 6 und der Zähler −v′(3) = −6. Der Nenner wäre (3² + 1)² = 100, also g′(3) = −0,06.

Die Funktion g(x) = 1/(3x − 1) hat an der Stelle x = 1 eine Tangente. Berechne ihre Steigung.

Erklärung: v(1) = 2, v′ = 3: g′(1) = −v′/v² = −3/4 = −0,75.

Der Graph zeigt v(x) = x² + 1 mit dem Punkt P bei x = 1; v steigt dort. Was gilt an dieser Stelle für g(x) = 1/(x² + 1)?

Erklärung: g′(x) = −2x/(x² + 1)², bei x = 1 also −2/4 = −0,5 < 0: g fällt. Wo v steigt, fällt der Kehrwert, weil v′ mit einem Minuszeichen in die Ableitung eingeht und v² positiv ist.

v(x) = 2 − x fällt überall. Darum fällt auch g(x) = 1/(2 − x) überall dort, wo sie definiert ist.

Erklärung: v′ = −1, also g′(x) = −v′/v² = 1/(2 − x)² > 0: g steigt (auf beiden Ästen). Fällt v, so steigt der Kehrwert.

Der Graph zeigt v(x) mit v > 0 für alle x. An welcher Stelle hat g(x) = 1/v(x) ihr Maximum?

Erklärung: Wo v am kleinsten ist, ist der Kehrwert am größten: v hat den Scheitel bei x = 1, also hat g dort ihr Maximum (mit g(1) = 1/2). x = 2 ist der kleinste Wert von v, nicht die Stelle.

Es sei v(x₀) = 2 und v′(x₀) = −3. Berechne (1/v)′(x₀).

Erklärung: (1/v)′ = −v′/v² = −(−3)/2² = 3/4 = 0,75. Das Vorzeichen dreht sich: v fällt, der Kehrwert steigt.

Welchen größten Funktionswert nimmt g(x) = 1/(x² + 4) an?

Erklärung: Der Nenner x² + 4 ist am kleinsten bei x = 0 (Wert 4). Dort ist der Kehrwert am größten: g(0) = 1/4 = 0,25.

Welche Ableitung hat g(x) = 1/(2x)?

Erklärung: v = 2x, v′ = 2: g′ = −2/(2x)² = −2/(4x²) = −1/(2x²). Zur Kontrolle: 1/(2x) = ½·x⁻¹ hat die Ableitung −½·x⁻². 1/2 wäre der Kehrwert von v′, und −1/(4x²) lässt die innere Ableitung 2 weg.

Der Graph zeigt g(x) = 1/x. Im Punkt P bei x = 2 hat g die Steigung 1, denn x hat die Ableitung 1 und der Kehrwert von 1 ist 1.

Erklärung: Im Bild fällt der Graph bei P, die Steigung ist negativ: g′(2) = −1/4. Der Kehrwert wird nicht mit dem Ableiten vertauscht: (1/x)′ = −1/x², nicht 1/x′ = 1. Allgemein gilt (1/v)′ = −v′/v².

Jemand rechnet für g(x) = 1/x: „x hat die Ableitung 1, der Kehrwert von 1 ist 1, also ist g′(−2) = 1.“ Welche Steigung hat g an der Stelle x = −2 tatsächlich?

Erklärung: g′(−2) = −1/(−2)² = −1/4 = −0,25. Auch auf dem linken Ast fällt der Graph; das Quadrat im Nenner macht g′ überall negativ. Der Kehrwert von x′ = 1 wäre 1, doch (1/x)′ = −1/x².

An welcher Stelle x > 0 hat g(x) = 1/x die Steigung −1/9?

Erklärung: −1/x² = −1/9 gibt x² = 9, also x = 3 (x > 0). Die zweite Lösung x = −3 liegt auf dem linken Ast.

Bestimme die Ableitung von g(x) = 1/(x² + 1) mit der Kettenregel (Kehrwert als Verkettung z ↦ 1/z mit z = x² + 1). Berechne die Stelle mit waagerechter Tangente, begründe am Vorzeichen von g′, dass dort ein Hochpunkt liegt, und gib den Funktionswert an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

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Erklärung: Mit z = x² + 1 ist g = 1/z, also g′ = −z′/z² = −2x/(x² + 1)². Null nur bei x = 0, dort wechselt g′ von + nach −: Hochpunkt (0 | 1).

Aufgabe 1 von 16