Ableitung des Kehrwerts

Derivative of the reciprocal

Mathematik Klasse 12 16 Aufgaben
AnalysisAbleitungenQuotientenregel

Der Kehrwert 1/v ist eine Verkettung: die Funktion v, gefolgt von z ↦ 1/z. Mit der Kettenregel folgt (1/v)′ = −v′/v². Der Kehrwert 1/x hat die Steigung −1/x² und steigt nirgends. Am Graphen wird sichtbar: Wo v steigt, fällt 1/v, und ein Minimum von v wird zum Maximum von 1/v. Der Abschnitt räumt die Fehlvorstellung aus, die Ableitung des Kehrwerts sei der Kehrwert der Ableitung. Er bereitet die Quotientenregel vor, die im nächsten Abschnitt aus dem Produkt u·(1/v) entsteht, und später die Ableitungen von Umkehrfunktion und Logarithmus.

Der Kehrwert von x

Der Kehrwert von x ist . Die Potenzregel liefert . Ein Quadrat ist nie negativ, also ist die Steigung überall negativ: Der Graph fällt auf jedem seiner beiden Äste. Bei x = 1 beträgt die Steigung −1, bei x = 0,5 schon −4, denn dicht am Pol wird der Graph sehr steil. Der Kehrwert der Ableitung wäre 1/x′ = 1, also positiv, und das passt nicht zum Bild. Die Ableitung des Kehrwerts ist nicht der Kehrwert der Ableitung.

Bewege x₀: Wie ändert sich die Steigung der Tangente, wenn x₀ kleiner wird?

Der Kehrwert einer Funktion

Für eine Funktion v ist eine Verkettung: erst v, dann die äußere Funktion z ↦ 1/z. Die äußere Ableitung −1/z² wird mit der inneren Ableitung v′ multipliziert:

Beispiel: Für ist , also . Weil v² positiv ist, hat (1/v)′ das entgegengesetzte Vorzeichen von v′: Wo v steigt, fällt 1/v, und wo v fällt, steigt 1/v. Hat v mit v > 0 ein Minimum, so hat 1/v dort ein Maximum. Im Bild ist mit dem Scheitelwert 2, und 1/v erreicht dort ihr Maximum 1/2.

Ziehe x₀: Welches Vorzeichen hat die Steigung von 1/v, solange v steigt?

Ermöglicht (1)

Die Quotientenregel
Klasse 12
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Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Für v(x) = 2x + 1 ist v′(x) = 2. Welche Ableitung hat g(x) = 1/(2x + 1)?

  • ● −2/(2x + 1)²
  • ○ −1/(2x + 1)²
  • ○ 1/2
Kehrwert = 1/z mit z = v(x): die äußere Ableitung −1/z² wird mit der inneren Ableitung v′ = 2 multipliziert, also g′(x) = −2/(2x + 1)². Ohne v′ bleibt −1/(2x + 1)², und 1/2 wäre der Kehrwert von v′ = 2.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Der Graph zeigt g(x) = 1/x und die Tangente im Punkt P bei x = 2. Welche Steigung hat die Tangente?

  • ● −0,25
  • ○ −0,5
  • ○ 0,25
g′(x) = −1/x², also g′(2) = −1/4 = −0,25. −0,5 entsteht bei −1/x statt −1/x², und 0,25 hat das falsche Vorzeichen: die Kurve fällt an dieser Stelle.
Wahr / Falsch #3 20s ▶ Testen

Für g(x) = 1/(x + 3) gilt g′(x) = −1/(x + 3)².

✓ Wahr
Mit v(x) = x + 3 ist v′ = 1, also (1/v)′ = −v′/v² = −1/(x + 3)². Bei x = 0 ergibt das −1/9.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Der Graph zeigt v(x) = x² + 1 mit dem Punkt P bei x = 1; v steigt dort. Was gilt an dieser Stelle für g(x) = 1/(x² + 1)?

  • ● g fällt
  • ○ g steigt
  • ○ g hat eine waagerechte Tangente
g′(x) = −2x/(x² + 1)², bei x = 1 also −2/4 = −0,5 < 0: g fällt. Wo v steigt, fällt der Kehrwert, weil v′ mit einem Minuszeichen in die Ableitung eingeht und v² positiv ist.
Wahr / Falsch #5 20s ▶ Testen

v(x) = 2 − x fällt überall. Darum fällt auch g(x) = 1/(2 − x) überall dort, wo sie definiert ist.

✓ Falsch
v′ = −1, also g′(x) = −v′/v² = 1/(2 − x)² > 0: g steigt (auf beiden Ästen). Fällt v, so steigt der Kehrwert.
Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Der Graph zeigt v(x) mit v > 0 für alle x. An welcher Stelle hat g(x) = 1/v(x) ihr Maximum?

  • ● x = 1
  • ○ x = 2
  • ○ x = 0
Wo v am kleinsten ist, ist der Kehrwert am größten: v hat den Scheitel bei x = 1, also hat g dort ihr Maximum (mit g(1) = 1/2). x = 2 ist der kleinste Wert von v, nicht die Stelle.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Welche Ableitung hat g(x) = 1/(2x)?

  • ● −1/(2x²)
  • ○ 1/2
  • ○ −1/(4x²)
v = 2x, v′ = 2: g′ = −2/(2x)² = −2/(4x²) = −1/(2x²). Zur Kontrolle: 1/(2x) = ½·x⁻¹ hat die Ableitung −½·x⁻². 1/2 wäre der Kehrwert von v′, und −1/(4x²) lässt die innere Ableitung 2 weg.
Wahr / Falsch #8 20s ▶ Testen

Der Graph zeigt g(x) = 1/x. Im Punkt P bei x = 2 hat g die Steigung 1, denn x hat die Ableitung 1 und der Kehrwert von 1 ist 1.

✓ Falsch
Im Bild fällt der Graph bei P, die Steigung ist negativ: g′(2) = −1/4. Der Kehrwert wird nicht mit dem Ableiten vertauscht: (1/x)′ = −1/x², nicht 1/x′ = 1. Allgemein gilt (1/v)′ = −v′/v².
Mittel
Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Berechne die Ableitung von g(x) = 1/x an der Stelle x = 4.

✓ Antwort: -0.0625
g′(x) = −1/x², also g′(4) = −1/16 = −0,0625.
Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Für g(x) = 1/(x² + 1) ist g′(x) = −v′(x)/(x² + 1)² mit v(x) = x² + 1. Welchen Wert hat der Zähler −v′(3) an der Stelle x = 3?

✓ Antwort: -6
Mit v(x) = x² + 1 ist v′(x) = 2x, also v′(3) = 6 und der Zähler −v′(3) = −6. Der Nenner wäre (3² + 1)² = 100, also g′(3) = −0,06.
Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Es sei v(x₀) = 2 und v′(x₀) = −3. Berechne (1/v)′(x₀).

✓ Antwort: 0.75
(1/v)′ = −v′/v² = −(−3)/2² = 3/4 = 0,75. Das Vorzeichen dreht sich: v fällt, der Kehrwert steigt.
Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

Jemand rechnet für g(x) = 1/x: „x hat die Ableitung 1, der Kehrwert von 1 ist 1, also ist g′(−2) = 1.“ Welche Steigung hat g an der Stelle x = −2 tatsächlich?

✓ Antwort: -0.25
g′(−2) = −1/(−2)² = −1/4 = −0,25. Auch auf dem linken Ast fällt der Graph; das Quadrat im Nenner macht g′ überall negativ. Der Kehrwert von x′ = 1 wäre 1, doch (1/x)′ = −1/x².
Schwer
Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Die Funktion g(x) = 1/(3x − 1) hat an der Stelle x = 1 eine Tangente. Berechne ihre Steigung.

✓ Antwort: -0.75
v(1) = 2, v′ = 3: g′(1) = −v′/v² = −3/4 = −0,75.
Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Welchen größten Funktionswert nimmt g(x) = 1/(x² + 4) an?

✓ Antwort: 0.25
Der Nenner x² + 4 ist am kleinsten bei x = 0 (Wert 4). Dort ist der Kehrwert am größten: g(0) = 1/4 = 0,25.
Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

An welcher Stelle x > 0 hat g(x) = 1/x die Steigung −1/9?

✓ Antwort: 3
−1/x² = −1/9 gibt x² = 9, also x = 3 (x > 0). Die zweite Lösung x = −3 liegt auf dem linken Ast.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Bestimme die Ableitung von g(x) = 1/(x² + 1) mit der Kettenregel (Kehrwert als Verkettung z ↦ 1/z mit z = x² + 1). Berechne die Stelle mit waagerechter Tangente, begründe am Vorzeichen von g′, dass dort ein Hochpunkt liegt, und gib den Funktionswert an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: 1/z hat die Ableitung −1/z², die innere Funktion z = x² + 1 die Ableitung 2x. Also g′(x) = −2x/(x² + 1)². g′(x) = 0 genau für x = 0. Der Nenner ist positiv, also hat g′ das Vorzeichen von −2x: für x < 0 ist g′ > 0, für x > 0 ist g′ < 0. Vorzeichenwechsel von + nach −: Hochpunkt bei (0 | 1), g(0) = 1.
Mit z = x² + 1 ist g = 1/z, also g′ = −z′/z² = −2x/(x² + 1)². Null nur bei x = 0, dort wechselt g′ von + nach −: Hochpunkt (0 | 1).