Numerische Nullstellen von fâ˛
Welche der drei Gleichungen lässt sich nicht durch Umformen nach x auflÜsen?
Erklärung: x² â 4x + 1 = 0 lĂśst die LĂśsungsformel (x = 2 Âą â3), und x¡eËŁ â eËŁ = eˣ¡(x â 1) = 0 gibt x = 1, weil eËŁ nie null wird. Bei x¡cos x â sin x = 0 steht x zugleich als Faktor und im Argument von sin und cos: dafĂźr gibt es keine Umformung.
Die Gleichung x¡eËŁ â eËŁ = 0 lässt sich nur näherungsweise lĂśsen, weil x und eËŁ zugleich vorkommen.
Erklärung: eËŁ lässt sich ausklammern: eˣ¡(x â 1) = 0. Da eËŁ nie null wird, folgt x â 1 = 0, also genau x = 1. Nur ein Produkt aus x und cos x minus sin x lässt sich nicht so auflĂśsen.
FĂźr cos x â 0 ist x¡cos x â sin x = 0 gleichbedeutend mit tan x = x. Der Graph zeigt beide Seiten. Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt die kleinste LĂśsung x > 0?
Erklärung: Die Kurve y = tan x schneidet die Gerade y = x zuerst rechts der Polstelle bei 3Ď/2 â 4,71, nämlich bei x â 4,49. Zwischen 1 und 2 liegt die Polstelle Ď/2 (tan x ist dort erst grĂśĂer als x, dann negativ), und zwischen 3 und 4 ist tan x noch kleiner als x.
Der Graph zeigt f(x) = sin x/x fĂźr x > 0. Wie viele Stellen mit waagerechter Tangente hat er zwischen x = 1 und x = 10?
Erklärung: Waagerechte Tangenten haben der Tiefpunkt bei x â 4,49 und der Hochpunkt bei x â 7,73. Drei Nullstellen hat f in diesem Bereich (bei Ď, 2Ď, 3Ď), aber das sind Schnitte mit der x-Achse, keine waagerechten Tangenten.
Berechne Z(5) = 5¡cos 5 â sin 5 mit dem Taschenrechner im BogenmaĂ (RAD) auf zwei Nachkommastellen.
Erklärung: cos 5 â 0,2837 und sin 5 â â0,9589. Z(5) = 5¡0,2837 â (â0,9589) â 1,418 + 0,959 â 2,38. Im GradmaĂ käme ein ganz anderer Wert heraus.
Der Graph zeigt f(x) = sin x/x mit fâ˛(x) = (x¡cos x â sin x)/x². Berechne fâ˛(5) im BogenmaĂ auf drei Nachkommastellen.
Erklärung: Zähler: Z(5) â 2,377. Nenner: 5² = 25. fâ˛(5) â 2,377/25 â 0,095. Positiv: f steigt bei x = 5.
FĂźr Z(x) = x¡cos x â sin x gilt Z(4) â â1,86 und Z(5) â 2,38. Was folgt daraus?
Erklärung: Z ist stetig und wechselt zwischen 4 und 5 das Vorzeichen (â nach +): dazwischen liegt mindestens eine Nullstelle. Wo genau, sagt der Vorzeichenwechsel nicht; 4,5 wurde nur geraten.
Es ist Z(2) â â1,74 und Z(4) â â1,86, also gleiches Vorzeichen. Daraus folgt noch nicht, dass Z(x) = x¡cos x â sin x zwischen 2 und 4 keine Nullstelle hat.
Erklärung: Gleiche Vorzeichen an den Rändern beweisen nichts: dazwischen kÜnnte Z zweimal das Vorzeichen wechseln. Erst eine Kontrolle (Graph, weitere Werte) klärt es. Nur verschiedene Vorzeichen sichern eine Nullstelle.
Der Graph zeigt Z(x) = x¡cos x â sin x fĂźr 3 ⤠x ⤠6. In welchem Intervall liegt die Nullstelle?
Erklärung: Der Graph verläuft bis x â 4,5 unter der x-Achse und danach darĂźber. Am Rand [4; 5] hat Z verschiedene Vorzeichen; in [3; 4] und in [5; 6] bleibt Z negativ beziehungsweise positiv.
Berechne Z(4,5) = 4,5¡cos 4,5 â sin 4,5 im BogenmaĂ auf drei Nachkommastellen.
Erklärung: cos 4,5 â â0,2108 und sin 4,5 â â0,9775. Z(4,5) = 4,5¡(â0,2108) + 0,9775 â 0,029. Positiv.
FĂźr eine stetige Funktion Z gilt Z(0) = 1, Z(1) = â1, Z(2) = â3, Z(3) = 2 und Z(4) = 5. In wie vielen der Intervalle [0; 1], [1; 2], [2; 3], [3; 4] ist eine Nullstelle von Z sicher?
Erklärung: Sichere Nullstellen gibt es dort, wo die Randwerte verschiedene Vorzeichen haben: [0; 1] (+ nach â) und [2; 3] (â nach +). In [1; 2] und [3; 4] sind die Vorzeichen gleich: keine Aussage. Das sind 2 Intervalle.
Es ist Z(4) â â1,86, Z(5) â 2,38 und in der Mitte Z(4,5) â 0,03. Welche Hälfte enthält die Nullstelle sicher?
Erklärung: Bei [4; 4,5] sind die Randwerte â1,86 und +0,03: Vorzeichenwechsel, also liegt dort eine Nullstelle. Bei [4,5; 5] sind beide positiv: keine Aussage. Die Nullstelle liegt bei x â 4,49.
Ist Z(4,5) > 0, dann wird das Intervall [4; 4,5] behalten, weil Z dort das Vorzeichen wechselt.
Erklärung: Behalten wird die Hälfte, an deren Rändern Z verschiedene Vorzeichen hat. Hier ist das [4; 4,5], denn Z(4) < 0 < Z(4,5). In [4,5; 5] sind beide Randwerte positiv.
Berechne die Mitte m des Intervalls [4,25; 4,5].
Erklärung: m = (4,25 + 4,5)/2 = 8,75/2 = 4,375.
Das Startintervall [4; 5] hat die Länge 1. Nach wie vielen Halbierungen ist das Intervall kßrzer als 0,01?
Erklärung: Nach n Schritten ist die Länge 1/2âż. 2âś = 64 gibt 0,0156 (noch zu lang), 2⡠= 128 gibt 0,0078 < 0,01: nach 7 Halbierungen.
Die Funktion f(x) = sin x/x (x > 0) hat zwischen x = 4 und x = 5 einen Extrempunkt. Bestimme fⲠmit der Quotientenregel, begrĂźnde mit dem Vorzeichen von Z(4) und Z(5), dass fⲠdort eine Nullstelle hat, und grenze sie mit drei Halbierungsschritten ein (Taschenrechner im BogenmaĂ). Gib Art und ungefähre Koordinaten des Extrempunkts an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Z(4) < 0 < Z(5) sichert eine Nullstelle in [4; 5]; die Halbierung grenzt sie auf [4,375; 4,5] ein. Tiefpunkt bei x â 4,49, f â â0,22.