Numerische Nullstellen von f′

Numerical zeros of f′

Mathematik Klasse 12 16 Aufgaben

AnalysisAbleitungenNumerische Näherung

Bei Verknüpfungen mit sin x oder eˣ lässt sich f′ = 0 oft nicht nach x auflösen, etwa x·cos x − sin x = 0. Das Werkzeug ist dann das Vorzeichen: Wechselt der Zähler von f′ zwischen a und b das Vorzeichen, liegt dazwischen eine Nullstelle, und Intervallhalbieren grenzt sie beliebig genau ein. Der Abschnitt räumt aus, dass sich eine Gleichung ohne Formel nicht lösen lasse und dass zwei gleiche Vorzeichen eine Nullstelle ausschließen. Er ersetzt hier die dynamische Mathematiksoftware und bereitet die Grenzwerte der Logarithmusfunktion vor.

Wenn Umformen nicht hilft

Für $g (x) = \frac{c o s x}{x}$ mit x > 0 ist $g^{'} (x) = - \frac{x s i n x + c o s x}{x ^{2}}$ . Die Gleichung $h (x) = x sin x + cos x = 0$ lässt sich nicht nach x auflösen, weil x zugleich als Faktor und im Argument von sin und cos steht. Für cos x ≠ 0 bedeutet sie tan x = −1/x; der Schnittpunkt der beiden Kurven zeigt, wo ungefähr die Lösung liegt. Genauer geht es mit dem Vorzeichen des Zählers h: Es ist $h (2) \approx 1, 40$ positiv und $h (3) \approx - 0, 57$ negativ. Weil h stetig ist und das Vorzeichen wechselt, liegt zwischen 2 und 3 eine Nullstelle. Bei gleichen Vorzeichen an den Rändern wüsste man nichts.

Bewege x₀ und beobachte h(x₀): Bei welchem x₀ wechselt der Wert das Vorzeichen?

Intervalle halbieren

Beim Halbieren berechnet man die Mitte m und behält die Hälfte, an deren Rändern h verschiedene Vorzeichen hat. Start [2; 3]: $h (2, 5) \approx 0, 70$ ist positiv, die Nullstelle liegt in [2,5; 3]. Dann $h (2, 75) \approx 0, 13$ , also in [2,75; 3]. Dann $h (2, 875) \approx - 0, 21$ , also in [2,75; 2,875]. Nach drei Schritten ist das Intervall 0,125 lang, und jeder weitere Schritt halbiert es. Es folgt x ≈ 2,8. Dort ist h = 0, und wegen g′ = −h/x² wechselt g′ von − nach +: ein Tiefpunkt. Wichtig: den Taschenrechner auf Bogenmaß (RAD) stellen.

Der Zähler h(x) = x·sin x + cos x: Er wechselt zwischen 2 und 3 das Vorzeichen.

Voraussetzungen (1)

Extremstellen bestimmen

Klasse 12

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Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welche der drei Gleichungen lässt sich nicht durch Umformen nach x auflösen?

● x·cos x − sin x = 0
○ x² − 4x + 1 = 0
○ x·eˣ − eˣ = 0

x² − 4x + 1 = 0 löst die Lösungsformel (x = 2 ± √3), und x·eˣ − eˣ = eˣ·(x − 1) = 0 gibt x = 1, weil eˣ nie null wird. Bei x·cos x − sin x = 0 steht x zugleich als Faktor und im Argument von sin und cos: dafür gibt es keine Umformung.

Wahr / Falsch #2 20s ▶ Testen

Die Gleichung x·eˣ − eˣ = 0 lässt sich nur näherungsweise lösen, weil x und eˣ zugleich vorkommen.

✓ Falsch

eˣ lässt sich ausklammern: eˣ·(x − 1) = 0. Da eˣ nie null wird, folgt x − 1 = 0, also genau x = 1. Nur ein Produkt aus x und cos x minus sin x lässt sich nicht so auflösen.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Für cos x ≠ 0 ist x·cos x − sin x = 0 gleichbedeutend mit tan x = x. Der Graph zeigt beide Seiten. Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt die kleinste Lösung x > 0?

● zwischen 4 und 5
○ zwischen 1 und 2
○ zwischen 3 und 4

Die Kurve y = tan x schneidet die Gerade y = x zuerst rechts der Polstelle bei 3π/2 ≈ 4,71, nämlich bei x ≈ 4,49. Zwischen 1 und 2 liegt die Polstelle π/2 (tan x ist dort erst größer als x, dann negativ), und zwischen 3 und 4 ist tan x noch kleiner als x.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Der Graph zeigt f(x) = sin x/x für x > 0. Wie viele Stellen mit waagerechter Tangente hat er zwischen x = 1 und x = 10?

● 2
○ 3
○ 1

Waagerechte Tangenten haben der Tiefpunkt bei x ≈ 4,49 und der Hochpunkt bei x ≈ 7,73. Drei Nullstellen hat f in diesem Bereich (bei π, 2π, 3π), aber das sind Schnitte mit der x-Achse, keine waagerechten Tangenten.

Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Für Z(x) = x·cos x − sin x gilt Z(4) ≈ −1,86 und Z(5) ≈ 2,38. Was folgt daraus?

● Z hat zwischen 4 und 5 eine Nullstelle
○ Z hat bei x = 4,5 eine Nullstelle
○ Z hat zwischen 4 und 5 keine Nullstelle

Z ist stetig und wechselt zwischen 4 und 5 das Vorzeichen (− nach +): dazwischen liegt mindestens eine Nullstelle. Wo genau, sagt der Vorzeichenwechsel nicht; 4,5 wurde nur geraten.

Wahr / Falsch #6 20s ▶ Testen

Es ist Z(2) ≈ −1,74 und Z(4) ≈ −1,86, also gleiches Vorzeichen. Daraus folgt noch nicht, dass Z(x) = x·cos x − sin x zwischen 2 und 4 keine Nullstelle hat.

✓ Wahr

Gleiche Vorzeichen an den Rändern beweisen nichts: dazwischen könnte Z zweimal das Vorzeichen wechseln. Erst eine Kontrolle (Graph, weitere Werte) klärt es. Nur verschiedene Vorzeichen sichern eine Nullstelle.

Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Der Graph zeigt Z(x) = x·cos x − sin x für 3 ≤ x ≤ 6. In welchem Intervall liegt die Nullstelle?

● [4; 5]
○ [3; 4]
○ [5; 6]

Der Graph verläuft bis x ≈ 4,5 unter der x-Achse und danach darüber. Am Rand [4; 5] hat Z verschiedene Vorzeichen; in [3; 4] und in [5; 6] bleibt Z negativ beziehungsweise positiv.

Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Es ist Z(4) ≈ −1,86, Z(5) ≈ 2,38 und in der Mitte Z(4,5) ≈ 0,03. Welche Hälfte enthält die Nullstelle sicher?

● [4; 4,5]
○ [4,5; 5]
○ keine von beiden

Bei [4; 4,5] sind die Randwerte −1,86 und +0,03: Vorzeichenwechsel, also liegt dort eine Nullstelle. Bei [4,5; 5] sind beide positiv: keine Aussage. Die Nullstelle liegt bei x ≈ 4,49.

Wahr / Falsch #9 20s ▶ Testen

Ist Z(4,5) > 0, dann wird das Intervall [4; 4,5] behalten, weil Z dort das Vorzeichen wechselt.

✓ Wahr

Behalten wird die Hälfte, an deren Rändern Z verschiedene Vorzeichen hat. Hier ist das [4; 4,5], denn Z(4) < 0 < Z(4,5). In [4,5; 5] sind beide Randwerte positiv.

Mittel

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Berechne Z(5) = 5·cos 5 − sin 5 mit dem Taschenrechner im Bogenmaß (RAD) auf zwei Nachkommastellen.

✓ Antwort: 2.38

cos 5 ≈ 0,2837 und sin 5 ≈ −0,9589. Z(5) = 5·0,2837 − (−0,9589) ≈ 1,418 + 0,959 ≈ 2,38. Im Gradmaß käme ein ganz anderer Wert heraus.

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Berechne Z(4,5) = 4,5·cos 4,5 − sin 4,5 im Bogenmaß auf drei Nachkommastellen.

✓ Antwort: 0.029

cos 4,5 ≈ −0,2108 und sin 4,5 ≈ −0,9775. Z(4,5) = 4,5·(−0,2108) + 0,9775 ≈ 0,029. Positiv.

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Berechne die Mitte m des Intervalls [4,25; 4,5].

✓ Antwort: 4.375

m = (4,25 + 4,5)/2 = 8,75/2 = 4,375.

Schwer

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Der Graph zeigt f(x) = sin x/x mit f′(x) = (x·cos x − sin x)/x². Berechne f′(5) im Bogenmaß auf drei Nachkommastellen.

✓ Antwort: 0.095

Zähler: Z(5) ≈ 2,377. Nenner: 5² = 25. f′(5) ≈ 2,377/25 ≈ 0,095. Positiv: f steigt bei x = 5.

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Für eine stetige Funktion Z gilt Z(0) = 1, Z(1) = −1, Z(2) = −3, Z(3) = 2 und Z(4) = 5. In wie vielen der Intervalle [0; 1], [1; 2], [2; 3], [3; 4] ist eine Nullstelle von Z sicher?

✓ Antwort: 2

Sichere Nullstellen gibt es dort, wo die Randwerte verschiedene Vorzeichen haben: [0; 1] (+ nach −) und [2; 3] (− nach +). In [1; 2] und [3; 4] sind die Vorzeichen gleich: keine Aussage. Das sind 2 Intervalle.

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Das Startintervall [4; 5] hat die Länge 1. Nach wie vielen Halbierungen ist das Intervall kürzer als 0,01?

✓ Antwort: 7

Nach n Schritten ist die Länge 1/2ⁿ. 2⁶ = 64 gibt 0,0156 (noch zu lang), 2⁷ = 128 gibt 0,0078 < 0,01: nach 7 Halbierungen.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = sin x/x (x > 0) hat zwischen x = 4 und x = 5 einen Extrempunkt. Bestimme f′ mit der Quotientenregel, begründe mit dem Vorzeichen von Z(4) und Z(5), dass f′ dort eine Nullstelle hat, und grenze sie mit drei Halbierungsschritten ein (Taschenrechner im Bogenmaß). Gib Art und ungefähre Koordinaten des Extrempunkts an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: u = sin x, u′ = cos x, v = x, v′ = 1: f′(x) = (x·cos x − sin x)/x² = Z(x)/x². Z(4) ≈ −1,86 < 0 und Z(5) ≈ 2,38 > 0, also Nullstelle in [4; 5]. Halbieren: Z(4,5) ≈ +0,03 → [4; 4,5]; Z(4,25) ≈ −1,00 → [4,25; 4,5]; Z(4,375) ≈ −0,50 → [4,375; 4,5]. Nullstelle in [4,375; 4,5], genauer x ≈ 4,49. f′ wechselt von − nach +: Tiefpunkt bei x ≈ 4,49 mit f ≈ sin 4,49/4,49 ≈ −0,22.

Z(4) < 0 < Z(5) sichert eine Nullstelle in [4; 5]; die Halbierung grenzt sie auf [4,375; 4,5] ein. Tiefpunkt bei x ≈ 4,49, f ≈ −0,22.