Quotientenregel anwenden
Für f(x) = (x² + 1)/(3x − 2): Welche Ableitungen von Zähler u und Nenner v braucht die Quotientenregel?
Erklärung: u = x² + 1 hat u′ = 2x (die Konstante 1 fällt weg), v = 3x − 2 hat v′ = 3. 2x + 1 lässt die Konstante stehen, 3x ist der Nenner ohne −2, nicht seine Ableitung.
Der Rechenbaum zeigt f(x) = (2x + 3)/(x² + 1). Welchen Term hat die Ableitung v′ des Nenners?
Erklärung: Die äußerste Rechenart ist die Division: links steht der Zähler u = 2x + 3, rechts der Nenner v = x² + 1. v′ = 2x. Die 2 ist u′, und x² + 1 ist v selbst.
Bei f(x) = 5x/(x² − 4) ist u = 5x, u′ = 5, v = x² − 4 und v′ = 2x.
Erklärung: Der Zähler 5x hat die Ableitung 5, der Nenner x² − 4 die Ableitung 2x (die −4 fällt weg).
Für f(x) = (2x + 3)/(x² + 1) ist u = 2x + 3 und v = x² + 1. Berechne u′·v an der Stelle x = 2.
Erklärung: u′ = 2 und v(2) = 2² + 1 = 5, also u′·v = 2·5 = 10.
Berechne f′(2) für f(x) = (2x + 3)/(x² + 1).
Erklärung: Bei x = 2: u = 7, u′ = 2, v = 5, v′ = 4. Zähler 2·5 − 7·4 = 10 − 28 = −18, Nenner 5² = 25. Also f′(2) = −18/25 = −0,72.
Bei f(x) = (2x + 3)/(x² + 1) ist der Zähler von f′ gleich 2·(x² + 1) − (2x + 3)·2x. Welche Zeile ist richtig ausmultipliziert?
Erklärung: Das Minus gehört zum ganzen Produkt (2x + 3)·2x = 4x² + 6x, also −4x² − 6x. Wer nur den ersten Summanden abzieht, erhält +6x; mit Plus ist es die Produktregel.
Es gilt −(x + 1)·2 = −2x + 2.
Erklärung: −(x + 1)·2 = −(2x + 2) = −2x − 2. Das Minus wirkt auf beide Summanden von (x + 1)·2.
Berechne den Zähler u′·v − u·v′ von f′ für f(x) = (x + 5)/x² an der Stelle x = 1.
Erklärung: u = x + 5, u′ = 1, v = x², v′ = 2x. Bei x = 1: u′·v = 1·1 = 1 und u·v′ = 6·2 = 12. Zähler: 1 − 12 = −11.
Der Graph zeigt f(x) = (x + 5)/x² und die Tangente im Punkt P bei x = 2. Berechne f′(2).
Erklärung: Zähler: x² − (x + 5)·2x = −x² − 10x, Nenner x⁴. Bei x = 2: (−4 − 20)/16 = −24/16 = −1,5.
Für f(x) = (2x + 3)/(x² + 1) ist f′(x) = (2(x² + 1) − (2x + 3)·2x)/(x² + 1)². Welche Form ist richtig zusammengefasst?
Erklärung: Zähler: 2x² + 2 − 4x² − 6x = −2x² − 6x + 2. Der Nenner bleibt (x² + 1)²; ohne Quadrat ist die Ableitung falsch, und 2x² − 4x² ist −2x², nicht +2x².
In f′(x) = (−2x² − 6x + 2)/(x² + 1)² lässt sich x² kürzen, weil es im Zähler und im Nenner vorkommt.
Erklärung: Gekürzt werden nur gemeinsame Faktoren, keine Summanden. Zähler und Nenner sind Summen; ein gemeinsamer Faktor ist nicht in Sicht. Der Nenner bleibt als Quadrat stehen.
Der Graph zeigt f(x) = (2x + 3)/(x² + 1) und die Tangente im Punkt P bei x = 0. Welche Steigung hat die Tangente?
Erklärung: f′(0) = (2·1 − 3·0)/1² = 2. Der Wert 3 ist die Höhe des Punktes f(0) = 3, nicht die Steigung; 0 entsteht, wenn der Summand u′·v vergessen wird.
Für f(x) = x/(x² + 4) ist der Zähler von f′ gleich (x² + 4) − x·2x = 4 − x². Berechne ihn an der Stelle x = 3.
Erklärung: 4 − 3² = 4 − 9 = −5.
Der Graph zeigt f(x) = (x + 1)/(x² + 1) und die Tangente im Punkt P bei x = 1. Berechne f′(1).
Erklärung: Zähler: (x² + 1) − (x + 1)·2x = −x² − 2x + 1, bei x = 1 also −2. Nenner: (1² + 1)² = 4. f′(1) = −2/4 = −0,5.
Leite f(x) = (x² + 2x)/(x² + 1) mit der Quotientenregel ab. Notiere u, u′, v, v′, setze mit Klammern ein, fasse den Zähler zusammen und lass den Nenner als Quadrat stehen. Bestimme die Nullstellen des Zählers auf zwei Nachkommastellen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Der Zähler −2x² + 2x + 2 hat die Nullstellen x = (1 ± √5)/2 ≈ 1,62 und x ≈ −0,62; der Nenner (x² + 1)² ist nie null.