Quotientenregel anwenden

Applying the quotient rule

Mathematik Klasse 12 15 Aufgaben
AnalysisAbleitungenQuotientenregel

Vier Schritte machen die Regel verlässlich: u, u′, v und v′ getrennt notieren, in u′·v − u·v′ mit Klammern einsetzen, den Zähler ausmultiplizieren und zusammenfassen, den Nenner als Quadrat stehen lassen. Der Abschnitt räumt die typischen Rechenfehler aus: Das Minuszeichen gilt für das ganze zweite Produkt, und ein ausmultiplizierter Nenner verdeckt, was sich kürzen ließe. Er bereitet die Extremstellen- und Wendestellenrechnung vor, in der f′ als Bruch mit übersichtlichem Zähler gebraucht wird.

Vier Schritte führen sicher zum Ergebnis, hier für .

1. Bausteine notieren. u = x − 3 mit und v = x² + 1 mit .

2. Mit Klammern einsetzen.

3. Den Zähler zusammenfassen. Das Minus gilt für das ganze Produkt: , also .

4. Den Nenner als Quadrat lassen.

Der Nenner bleibt ungeöffnet: An (x² + 1)² sieht man sofort, dass er nie null wird, ausmultipliziert als x⁴ + 2x² + 1 ginge das verloren. Gekürzt wird nur ein gemeinsamer Faktor, nie ein Summand: Das x² im Zähler gegen das x² im Nenner zu streichen, ist falsch.

Eine schnelle Probe: Bei x = 0 gilt , und die Tangente an f im Punkt (0 | −3) steigt tatsächlich mit der Steigung 1. Ein Vorzeichenfehler im Zähler fällt beim Vergleich mit dem Bild meist sofort auf.

Bewege x₀ und vergleiche die Steigung von f in P mit dem Wert der Ableitungsfunktion in Q.

Voraussetzungen (1)

Die Quotientenregel
Klasse 12
›

Ermöglicht (3)

Extremstellen bestimmen
Klasse 12
›
Regel oder Umformen
Klasse 12
›
Wendestellen und Krümmung
Klasse 12
›
Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Für f(x) = (x² + 1)/(3x − 2): Welche Ableitungen von Zähler u und Nenner v braucht die Quotientenregel?

  • ● u′ = 2x und v′ = 3
  • ○ u′ = 2x + 1 und v′ = 3
  • ○ u′ = 2x und v′ = 3x
u = x² + 1 hat u′ = 2x (die Konstante 1 fällt weg), v = 3x − 2 hat v′ = 3. 2x + 1 lässt die Konstante stehen, 3x ist der Nenner ohne −2, nicht seine Ableitung.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Der Rechenbaum zeigt f(x) = (2x + 3)/(x² + 1). Welchen Term hat die Ableitung v′ des Nenners?

  • ● 2x
  • ○ 2
  • ○ x² + 1
Die äußerste Rechenart ist die Division: links steht der Zähler u = 2x + 3, rechts der Nenner v = x² + 1. v′ = 2x. Die 2 ist u′, und x² + 1 ist v selbst.
Wahr / Falsch #3 20s ▶ Testen

Bei f(x) = 5x/(x² − 4) ist u = 5x, u′ = 5, v = x² − 4 und v′ = 2x.

✓ Wahr
Der Zähler 5x hat die Ableitung 5, der Nenner x² − 4 die Ableitung 2x (die −4 fällt weg).
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Bei f(x) = (2x + 3)/(x² + 1) ist der Zähler von f′ gleich 2·(x² + 1) − (2x + 3)·2x. Welche Zeile ist richtig ausmultipliziert?

  • ● 2x² + 2 − 4x² − 6x
  • ○ 2x² + 2 − 4x² + 6x
  • ○ 2x² + 2 + 4x² + 6x
Das Minus gehört zum ganzen Produkt (2x + 3)·2x = 4x² + 6x, also −4x² − 6x. Wer nur den ersten Summanden abzieht, erhält +6x; mit Plus ist es die Produktregel.
Wahr / Falsch #5 20s ▶ Testen

Es gilt −(x + 1)·2 = −2x + 2.

✓ Falsch
−(x + 1)·2 = −(2x + 2) = −2x − 2. Das Minus wirkt auf beide Summanden von (x + 1)·2.
Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Für f(x) = (2x + 3)/(x² + 1) ist f′(x) = (2(x² + 1) − (2x + 3)·2x)/(x² + 1)². Welche Form ist richtig zusammengefasst?

  • ● (−2x² − 6x + 2)/(x² + 1)²
  • ○ (−2x² − 6x + 2)/(x² + 1)
  • ○ (2x² − 6x + 2)/(x² + 1)²
Zähler: 2x² + 2 − 4x² − 6x = −2x² − 6x + 2. Der Nenner bleibt (x² + 1)²; ohne Quadrat ist die Ableitung falsch, und 2x² − 4x² ist −2x², nicht +2x².
Wahr / Falsch #7 20s ▶ Testen

In f′(x) = (−2x² − 6x + 2)/(x² + 1)² lässt sich x² kürzen, weil es im Zähler und im Nenner vorkommt.

✓ Falsch
Gekürzt werden nur gemeinsame Faktoren, keine Summanden. Zähler und Nenner sind Summen; ein gemeinsamer Faktor ist nicht in Sicht. Der Nenner bleibt als Quadrat stehen.
Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Der Graph zeigt f(x) = (2x + 3)/(x² + 1) und die Tangente im Punkt P bei x = 0. Welche Steigung hat die Tangente?

  • ● 2
  • ○ 3
  • ○ 0
f′(0) = (2·1 − 3·0)/1² = 2. Der Wert 3 ist die Höhe des Punktes f(0) = 3, nicht die Steigung; 0 entsteht, wenn der Summand u′·v vergessen wird.
Mittel
Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Für f(x) = (2x + 3)/(x² + 1) ist u = 2x + 3 und v = x² + 1. Berechne u′·v an der Stelle x = 2.

✓ Antwort: 10
u′ = 2 und v(2) = 2² + 1 = 5, also u′·v = 2·5 = 10.
Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Berechne den Zähler u′·v − u·v′ von f′ für f(x) = (x + 5)/x² an der Stelle x = 1.

✓ Antwort: -11
u = x + 5, u′ = 1, v = x², v′ = 2x. Bei x = 1: u′·v = 1·1 = 1 und u·v′ = 6·2 = 12. Zähler: 1 − 12 = −11.
Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Für f(x) = x/(x² + 4) ist der Zähler von f′ gleich (x² + 4) − x·2x = 4 − x². Berechne ihn an der Stelle x = 3.

✓ Antwort: -5
4 − 3² = 4 − 9 = −5.
Schwer
Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Berechne f′(2) für f(x) = (2x + 3)/(x² + 1).

✓ Antwort: -0.72
Bei x = 2: u = 7, u′ = 2, v = 5, v′ = 4. Zähler 2·5 − 7·4 = 10 − 28 = −18, Nenner 5² = 25. Also f′(2) = −18/25 = −0,72.
Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Der Graph zeigt f(x) = (x + 5)/x² und die Tangente im Punkt P bei x = 2. Berechne f′(2).

✓ Antwort: -1.5
Zähler: x² − (x + 5)·2x = −x² − 10x, Nenner x⁴. Bei x = 2: (−4 − 20)/16 = −24/16 = −1,5.
Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Der Graph zeigt f(x) = (x + 1)/(x² + 1) und die Tangente im Punkt P bei x = 1. Berechne f′(1).

✓ Antwort: -0.5
Zähler: (x² + 1) − (x + 1)·2x = −x² − 2x + 1, bei x = 1 also −2. Nenner: (1² + 1)² = 4. f′(1) = −2/4 = −0,5.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Leite f(x) = (x² + 2x)/(x² + 1) mit der Quotientenregel ab. Notiere u, u′, v, v′, setze mit Klammern ein, fasse den Zähler zusammen und lass den Nenner als Quadrat stehen. Bestimme die Nullstellen des Zählers auf zwei Nachkommastellen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: u = x² + 2x, u′ = 2x + 2, v = x² + 1, v′ = 2x. Zähler: (2x + 2)(x² + 1) − (x² + 2x)·2x = 2x³ + 2x + 2x² + 2 − 2x³ − 4x² = −2x² + 2x + 2. f′(x) = (−2x² + 2x + 2)/(x² + 1)². Nullstellen: −2x² + 2x + 2 = 0 ⇔ x² − x − 1 = 0, x = (1 ± √5)/2, also x ≈ 1,62 und x ≈ −0,62.
Der Zähler −2x² + 2x + 2 hat die Nullstellen x = (1 ± √5)/2 ≈ 1,62 und x ≈ −0,62; der Nenner (x² + 1)² ist nie null.