Die Quotientenregel
Fßr u(x) = x und v(x) = x + 1 ist uⲠ= 1 und vⲠ= 1. Welche Ableitung hat f(x) = x/(x + 1)?
Erklärung: Quotientenregel: fⲠ= (uâ˛Âˇv â u¡vâ˛)/v² = (1¡(x + 1) â x¡1)/(x + 1)² = 1/(x + 1)². (2x + 1)/(x + 1)² hat im Zähler ein Plus (Produktregel-Muster), 1/(x + 1) hat den Nenner nicht quadriert.
Es sei u(x) = x² und v(x) = x â 1. Welcher Ausdruck ist fâ˛(x) fĂźr f = u/v, bevor er zusammengefasst wird?
Erklärung: uⲠ= 2x, vⲠ= 1: Zähler uâ˛Âˇv â u¡vⲠ= 2x¡(x â 1) â x²¡1, Nenner v² = (x â 1)². Mit Plus wäre es die Produktregel, und in der dritten Zeile sind v und vⲠvertauscht.
Berechne fâ˛(1) fĂźr f(x) = (x + 3)/(x + 1) mit der Quotientenregel.
Erklärung: uⲠ= 1, vⲠ= 1: fâ˛(x) = ((x + 1) â (x + 3))/(x + 1)² = â2/(x + 1)². Bei x = 1: â2/4 = â0,5.
Die Wirkstoffkonzentration im Blut folgt c(t) = 8t/(t² + 4) (t in Stunden, c in mg/l), der Graph zeigt sie. Wie schnell ändert sich c bei t = 1 (in mg/l pro Stunde)?
Erklärung: u = 8t, uⲠ= 8, v = t² + 4, vⲠ= 2t: câ˛(t) = (8(t² + 4) â 8t¡2t)/(t² + 4)² = (32 â 8t²)/(t² + 4)². Bei t = 1: 24/25 = 0,96 mg/l pro Stunde.
Bei f(x) = (x + 2)/(x â 1) ist uⲠ= 1 und vⲠ= 1. Welcher Wert steht im Zähler uâ˛Âˇv â u¡vⲠvon fâ˛?
Erklärung: uâ˛Âˇv â u¡vⲠ= 1¡(x â 1) â (x + 2)¡1 = x â 1 â x â 2 = â3. Wer u¡vⲠâ uâ˛Âˇv rechnet, erhält +3 (Vorzeichen gedreht); 2x + 1 entsteht mit einem Plus in der Mitte.
Der Graph zeigt f(x) = (x + 1)/(x â 2). Welchen Wert hat der Zähler uâ˛Âˇv â u¡vⲠvon fâ˛(x)?
Erklärung: uâ˛Âˇv â u¡vⲠ= (x â 2) â (x + 1) = â3. Der Zähler ist negativ, das passt zum Bild: Beide Ăste fallen. +3 ergäbe steigende Ăste, und x â 2 ist nur ein Faktor von v.
Berechne den Zähler uâ˛Âˇv â u¡vⲠvon fⲠfĂźr f(x) = (3x + 1)/(x + 2) an der Stelle x = 0.
Erklärung: u = 3x + 1, uⲠ= 3, v = x + 2, vⲠ= 1. Bei x = 0: u = 1, uⲠ= 3, v = 2, vⲠ= 1, also 3¡2 â 1¡1 = 5.
Der Graph zeigt f(x) = (x â 1)/(x + 1) und die Tangente im Punkt P bei x = 0. Berechne die Steigung der Tangente.
Erklärung: uⲠ= 1, vⲠ= 1: fâ˛(x) = ((x + 1) â (x â 1))/(x + 1)² = 2/(x + 1)². Bei x = 0: 2. Mit vertauschter Reihenfolge käme â2 heraus, obwohl f bei x = 0 steigt.
FĂźr f(x) = (x + 1)/(x â 2) ist der Zähler von fⲠgleich â3. Was steht im Nenner von fâ˛?
Erklärung: Im Nenner steht v² = (x â 2)². x â 2 ist v selbst (nicht quadriert), und 1 wäre vâ˛Â˛, die Ableitung des Nenners im Quadrat.
Fßr f(x) = x/(x² + 1) steht im Nenner von fⲠder Term xⴠ+ 1.
Erklärung: (x² + 1)² = xⴠ+ 2x² + 1 (binomische Formel), nicht xⴠ+ 1. Am besten bleibt der Nenner als (x² + 1)² stehen.
Berechne den Nenner v² der Ableitung von f(x) = (x + 1)/(x â 4) an der Stelle x = 1.
Erklärung: v(1) = 1 â 4 = â3, also v² = (â3)² = 9. Der Nenner ist nie negativ.
Der Graph zeigt f(x) = (x + 1)/(x â 4) und die Tangente im Punkt P bei x = 1. Berechne fâ˛(1) auf drei Nachkommastellen.
Erklärung: Zähler: (x â 4) â (x + 1) = â5. Nenner bei x = 1: (â3)² = 9. fâ˛(1) = â5/9 â â0,556.
Welche Ableitung hat f(x) = x²/x an der Stelle x = 3?
Erklärung: Quotientenregel: (2x¡x â x²¡1)/x² = x²/x² = 1 (x²/x = x hat Ăźberall die Steigung 1). 6 ist uâ˛/vⲠ= 2x/1 an der Stelle 3, und 2 bleibt Ăźbrig, wenn der Summand âu¡vⲠvergessen wird.
Der Graph zeigt f(x) = (x + 1)/(x â 2) und seine Tangente im Punkt P bei x = 3. Welche Steigung hat die Tangente?
Erklärung: fâ˛(x) = â3/(x â 2)², also fâ˛(3) = â3/1 = â3. Der Quotient der Ableitungen uâ˛/vⲠ= 1/1 = 1 wäre positiv; das Bild zeigt eine fallende Tangente.
Berechne fâ˛(2) fĂźr f(x) = xÂł/x mit der Quotientenregel.
Erklärung: uⲠ= 3x², vⲠ= 1: fⲠ= (3x²¡x â x³¡1)/x² = 2xÂł/x² = 2x. Bei x = 2: 4. (Der Quotient der Ableitungen 3x²/1 wäre 12.)
Der Graph zeigt f(x) = 2x/(x + 3) und die Tangente im Punkt P bei x = 0. Berechne die Steigung der Tangente auf drei Nachkommastellen.
Erklärung: uⲠ= 2, vⲠ= 1: fⲠ= (2(x + 3) â 2x¡1)/(x + 3)² = 6/(x + 3)². Bei x = 0: 6/9 â 0,667. Der Quotient uâ˛/vⲠ= 2 wäre dreimal zu groĂ.
Leite f(x) = x/(x² + 1) mit der Quotientenregel ab. Notiere u, uâ˛, v und vâ˛, setze in die Formel ein, fasse den Zähler zusammen und berechne fâ˛(0). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Zähler: (x² + 1) â x¡2x = 1 â x². Nenner: (x² + 1)². Bei x = 0 ist fâ˛(0) = 1/1 = 1.