Die Quotientenregel

The quotient rule

Mathematik Klasse 12 17 Aufgaben

AnalysisAbleitungenQuotientenregel

Ein Quotient u/v ist das Produkt u·(1/v). Produktregel und Kehrwertregel liefern (u/v)′ = (u′·v − u·v′)/v²: Zähler abgeleitet mal Nenner, minus Zähler mal Nenner abgeleitet, durch den Nenner zum Quadrat. Der Abschnitt räumt die häufigste Fehlvorstellung aus, man dürfe Zähler und Nenner einzeln ableiten (u′/v′), und zeigt an Zahlenbeispielen, dass Reihenfolge, Minuszeichen und das Quadrat im Nenner zählen. Er bereitet das sichere Anwenden im nächsten Abschnitt und die Untersuchung gebrochen-rationaler Funktionen vor.

Der Quotient als Produkt

Ein Quotient lässt sich als Produkt schreiben: $\frac{u}{v} = u \cdot \frac{1}{v}$ . Die Produktregel gibt $u^{'} \cdot \frac{1}{v} + u \cdot (\frac{1}{v})^{'}$ , und für den Kehrwert kennen wir $(\frac{1}{v})^{'} = - \frac{v ^{'}}{v ^{2}}$ . Zusammengefasst auf den Hauptnenner v² entsteht die Quotientenregel:

$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} \cdot v - u \cdot v ^{'}}{v ^{2}}$

Merkhilfe: Zähler abgeleitet mal Nenner, minus Zähler mal Nenner abgeleitet, durch den Nenner zum Quadrat. Am Beispiel $f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ sieht man die beiden Summanden aus der Herleitung: $\frac{u ^{'}}{v}$ und $- \frac{u \cdot v ^{'}}{v ^{2}}$ .

Bewege x₀ und vergleiche die Summe der beiden Summanden mit der Steigung der Tangente.

Die Regel im Beispiel

Für $f (x) = \frac{x + 4}{x - 2}$ ist $u = x + 4$ , $u^{'} = 1$ , $v = x - 2$ , $v^{'} = 1$ . Einsetzen gibt $f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( x - 2 ) - ( x + 4 ) \cdot 1}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{- 6}{( x - 2 ) ^{2}}$ . Drei Dinge zählen. Erst kommt u′·v, dann wird u·v′ abgezogen; in umgekehrter Reihenfolge dreht sich das Vorzeichen. Im Nenner steht v², nicht v. Und das Ergebnis ist nicht der Quotient der Ableitungen: u′/v′ = 1/1 = 1 wäre positiv, doch f fällt auf beiden Ästen. Ein Gegenbeispiel: x³/x = x² hat die Ableitung 2x, der Quotient der Ableitungen aber wäre 3x². Zur Kontrolle: Der Differenzenquotient über [3,9; 4,1] ist $\frac{3 , 857 - 4 , 158}{0 , 2} \approx - 1, 50$ und passt zu $f^{'} (4) = \frac{- 6}{4} = - 1, 5$ .

Ziehe x₀: Der Zähler bleibt −6, der Nenner (x − 2)² ist nie negativ. Was folgt für das Vorzeichen der Steigung?

Voraussetzungen (1)

Ableitung des Kehrwerts

Klasse 12

›

Ermöglicht (1)

Quotientenregel anwenden

Klasse 12

›

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Für u(x) = x und v(x) = x + 1 ist u′ = 1 und v′ = 1. Welche Ableitung hat f(x) = x/(x + 1)?

● 1/(x + 1)²
○ (2x + 1)/(x + 1)²
○ 1/(x + 1)

Quotientenregel: f′ = (u′·v − u·v′)/v² = (1·(x + 1) − x·1)/(x + 1)² = 1/(x + 1)². (2x + 1)/(x + 1)² hat im Zähler ein Plus (Produktregel-Muster), 1/(x + 1) hat den Nenner nicht quadriert.

Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Es sei u(x) = x² und v(x) = x − 1. Welcher Ausdruck ist f′(x) für f = u/v, bevor er zusammengefasst wird?

● (2x·(x − 1) − x²·1)/(x − 1)²
○ (2x·(x − 1) + x²·1)/(x − 1)²
○ (2x·1 − x²·(x − 1))/(x − 1)²

u′ = 2x, v′ = 1: Zähler u′·v − u·v′ = 2x·(x − 1) − x²·1, Nenner v² = (x − 1)². Mit Plus wäre es die Produktregel, und in der dritten Zeile sind v und v′ vertauscht.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Bei f(x) = (x + 2)/(x − 1) ist u′ = 1 und v′ = 1. Welcher Wert steht im Zähler u′·v − u·v′ von f′?

● −3
○ 3
○ 2x + 1

u′·v − u·v′ = 1·(x − 1) − (x + 2)·1 = x − 1 − x − 2 = −3. Wer u·v′ − u′·v rechnet, erhält +3 (Vorzeichen gedreht); 2x + 1 entsteht mit einem Plus in der Mitte.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Der Graph zeigt f(x) = (x + 1)/(x − 2). Welchen Wert hat der Zähler u′·v − u·v′ von f′(x)?

● −3
○ 3
○ x − 2

u′·v − u·v′ = (x − 2) − (x + 1) = −3. Der Zähler ist negativ, das passt zum Bild: Beide Äste fallen. +3 ergäbe steigende Äste, und x − 2 ist nur ein Faktor von v.

Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Für f(x) = (x + 1)/(x − 2) ist der Zähler von f′ gleich −3. Was steht im Nenner von f′?

● (x − 2)²
○ x − 2
○ 1

Im Nenner steht v² = (x − 2)². x − 2 ist v selbst (nicht quadriert), und 1 wäre v′², die Ableitung des Nenners im Quadrat.

Wahr / Falsch #6 20s ▶ Testen

Für f(x) = x/(x² + 1) steht im Nenner von f′ der Term x⁴ + 1.

✓ Falsch

(x² + 1)² = x⁴ + 2x² + 1 (binomische Formel), nicht x⁴ + 1. Am besten bleibt der Nenner als (x² + 1)² stehen.

Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Welche Ableitung hat f(x) = x²/x an der Stelle x = 3?

● 1
○ 6
○ 2

Quotientenregel: (2x·x − x²·1)/x² = x²/x² = 1 (x²/x = x hat überall die Steigung 1). 6 ist u′/v′ = 2x/1 an der Stelle 3, und 2 bleibt übrig, wenn der Summand −u·v′ vergessen wird.

Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Der Graph zeigt f(x) = (x + 1)/(x − 2) und seine Tangente im Punkt P bei x = 3. Welche Steigung hat die Tangente?

● −3
○ 1
○ 3

f′(x) = −3/(x − 2)², also f′(3) = −3/1 = −3. Der Quotient der Ableitungen u′/v′ = 1/1 = 1 wäre positiv; das Bild zeigt eine fallende Tangente.

Mittel

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Berechne f′(1) für f(x) = (x + 3)/(x + 1) mit der Quotientenregel.

✓ Antwort: -0.5

u′ = 1, v′ = 1: f′(x) = ((x + 1) − (x + 3))/(x + 1)² = −2/(x + 1)². Bei x = 1: −2/4 = −0,5.

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Berechne den Zähler u′·v − u·v′ von f′ für f(x) = (3x + 1)/(x + 2) an der Stelle x = 0.

✓ Antwort: 5

u = 3x + 1, u′ = 3, v = x + 2, v′ = 1. Bei x = 0: u = 1, u′ = 3, v = 2, v′ = 1, also 3·2 − 1·1 = 5.

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Berechne den Nenner v² der Ableitung von f(x) = (x + 1)/(x − 4) an der Stelle x = 1.

✓ Antwort: 9

v(1) = 1 − 4 = −3, also v² = (−3)² = 9. Der Nenner ist nie negativ.

Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

Berechne f′(2) für f(x) = x³/x mit der Quotientenregel.

✓ Antwort: 4

u′ = 3x², v′ = 1: f′ = (3x²·x − x³·1)/x² = 2x³/x² = 2x. Bei x = 2: 4. (Der Quotient der Ableitungen 3x²/1 wäre 12.)

Schwer

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Die Wirkstoffkonzentration im Blut folgt c(t) = 8t/(t² + 4) (t in Stunden, c in mg/l), der Graph zeigt sie. Wie schnell ändert sich c bei t = 1 (in mg/l pro Stunde)?

✓ Antwort: 0.96

u = 8t, u′ = 8, v = t² + 4, v′ = 2t: c′(t) = (8(t² + 4) − 8t·2t)/(t² + 4)² = (32 − 8t²)/(t² + 4)². Bei t = 1: 24/25 = 0,96 mg/l pro Stunde.

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Der Graph zeigt f(x) = (x − 1)/(x + 1) und die Tangente im Punkt P bei x = 0. Berechne die Steigung der Tangente.

✓ Antwort: 2

u′ = 1, v′ = 1: f′(x) = ((x + 1) − (x − 1))/(x + 1)² = 2/(x + 1)². Bei x = 0: 2. Mit vertauschter Reihenfolge käme −2 heraus, obwohl f bei x = 0 steigt.

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Der Graph zeigt f(x) = (x + 1)/(x − 4) und die Tangente im Punkt P bei x = 1. Berechne f′(1) auf drei Nachkommastellen.

✓ Antwort: -0.55555556

Zähler: (x − 4) − (x + 1) = −5. Nenner bei x = 1: (−3)² = 9. f′(1) = −5/9 ≈ −0,556.

Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

Der Graph zeigt f(x) = 2x/(x + 3) und die Tangente im Punkt P bei x = 0. Berechne die Steigung der Tangente auf drei Nachkommastellen.

✓ Antwort: 0.66666667

u′ = 2, v′ = 1: f′ = (2(x + 3) − 2x·1)/(x + 3)² = 6/(x + 3)². Bei x = 0: 6/9 ≈ 0,667. Der Quotient u′/v′ = 2 wäre dreimal zu groß.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Leite f(x) = x/(x² + 1) mit der Quotientenregel ab. Notiere u, u′, v und v′, setze in die Formel ein, fasse den Zähler zusammen und berechne f′(0). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: u = x, u′ = 1, v = x² + 1, v′ = 2x. f′(x) = (u′·v − u·v′)/v² = (1·(x² + 1) − x·2x)/(x² + 1)² = (x² + 1 − 2x²)/(x² + 1)² = (1 − x²)/(x² + 1)². f′(0) = 1/1 = 1.

Zähler: (x² + 1) − x·2x = 1 − x². Nenner: (x² + 1)². Bei x = 0 ist f′(0) = 1/1 = 1.