Regel oder Umformen
Welche Ableitung hat f(x) = (x² + 1)/4?
Erklärung: Der Nenner 4 ist ein konstanter Faktor: f(x) = ¼·(x² + 1), also f′ = ¼·2x = x/2. 2x lässt den Nenner weg, und x/8 entsteht, wenn der Nenner quadriert (16) wird, aber u′ = 2x nicht mit v = 4 multipliziert wird.
Für f(x) = (3x² − 6)/3 genügt es, f(x) = x² − 2 abzuleiten: f′(x) = 2x.
Erklärung: Der Nenner ist eine Zahl, der Bruch also ein konstanter Faktor: (3x² − 6)/3 = x² − 2 mit f′(x) = 2x. Die Quotientenregel wäre nur ein Umweg.
Der Rechenbaum zeigt f(x) = (x² + 1)/4. Wie groß ist f′(2)?
Erklärung: Im Baum steht rechts nur die Zahl 4, ein konstanter Faktor: f′(x) = 2x/4 = x/2, also f′(2) = 1. 4 ist u′(2), ohne durch 4 zu teilen, und 0,25 ist der Faktor ¼ ohne die Ableitung.
Der Graph zeigt f(x) = (2x² − 5)/5 und die Tangente im Punkt P bei x = 3. Berechne f′(3).
Erklärung: f(x) = ⅕·(2x² − 5), also f′(x) = 4x/5. Bei x = 3: 12/5 = 2,4.
Die Kosten pro Bahn betragen k(x) = (x² + 100)/4 (Euro) bei x Besucherinnen und Besuchern. Wie schnell wächst k bei x = 6 (Euro pro Person)?
Erklärung: k′(x) = 2x/4 = x/2. Bei x = 6: 3 Euro je zusätzliche Person.
Welche Ableitung hat f(x) = (x² + 3)/x?
Erklärung: Aufspalten: (x² + 3)/x = x + 3/x mit der Ableitung 1 − 3/x². Die Antwort 1 kürzt x² gegen x aus der Summe (x + 3 wäre falsch); 2x ist u′/v′.
Es gilt (x² + 3)/x = x + 3.
Erklärung: Jeder Summand im Zähler wird durch x geteilt: (x² + 3)/x = x²/x + 3/x = x + 3/x. Bei x = 3: 4 statt 6.
Der Graph zeigt f(x) = (x² + 1)/x und die Tangente im Punkt P bei x = 2. Welche Steigung hat die Tangente?
Erklärung: f(x) = x + 1/x, also f′(x) = 1 − 1/x² und f′(2) = 1 − 1/4 = 0,75. 1,25 hat das Vorzeichen von (1/x)′ vertauscht, und 1 ergibt sich aus dem falschen Kürzen x + 1.
Der Graph zeigt f(x) = (x² + 8)/x und die Tangente im Punkt P bei x = 2. Spalte auf und berechne f′(2).
Erklärung: f(x) = x + 8/x, f′(x) = 1 − 8/x². Bei x = 2: 1 − 2 = −1.
Der Graph zeigt die Stückkosten k(x) = (x² + 90)/x (Euro) bei x Stück. Bei welcher Stückzahl x > 0 hat k eine waagerechte Tangente? Runde auf zwei Nachkommastellen.
Erklärung: k(x) = x + 90/x, k′(x) = 1 − 90/x². k′ = 0 ⇔ x² = 90 ⇔ x = √90 ≈ 9,49.
Welche Ableitung hat f(x) = (x² − 4)/(x − 2) für x ≠2?
Erklärung: Zähler faktorisieren und kürzen: (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2, also f′ = 1. Die Quotientenregel führt zum selben Ergebnis, nur mit mehr Rechnung. 2x ist u′/v′, und x + 2 ist die gekürzte Funktion, nicht ihre Ableitung.
Für f(x) = (x² − 1)/(x − 1) mit x ≠1 liefern erst kürzen und dann ableiten dasselbe wie die Quotientenregel.
Erklärung: Gekürzt: f(x) = x + 1, f′ = 1. Quotientenregel: (2x(x − 1) − (x² − 1))/(x − 1)² = (x − 1)²/(x − 1)² = 1.
Der Graph zeigt f(x) = (x² − 1)/(x − 1). Welche Steigung hat der Graph an jeder Stelle x ≠1?
Erklärung: Gekürzt ist f(x) = x + 1 für x ≠1, eine Gerade mit der Steigung 1 und einer Lücke bei (1 | 2). 2 ist der y-Wert der Lücke, nicht die Steigung; die Steigung ist nirgends 0.
Der Graph zeigt f(x) = (2x² − 2x)/(x − 1) mit einer Lücke bei x = 1. Kürze zuerst und berechne dann f′(4).
Erklärung: 2x² − 2x = 2x(x − 1), gekürzt f(x) = 2x und f′(x) = 2.
Kürze zuerst und berechne f′(2) für f(x) = (x² − x)/(x² − 1) auf drei Nachkommastellen (x ≠±1).
Erklärung: x² − x = x(x − 1), x² − 1 = (x − 1)(x + 1); gekürzt f(x) = x/(x + 1). Quotientenregel: f′ = 1/(x + 1)². Bei x = 2: 1/9 ≈ 0,111.
Leite f(x) = (x² + 4)/x auf zwei Wegen ab: erstens mit der Quotientenregel, zweitens durch Aufspalten. Zeige, dass beide Ergebnisse gleich sind, und bestimme die Stellen mit waagerechter Tangente samt Funktionswerten. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Beide Wege geben (x² − 4)/x² = 1 − 4/x²; f′ = 0 bei x = ±2, mit f(2) = 4 und f(−2) = −4.