Regel oder Umformen

Rule or rewriting

Mathematik Klasse 12 16 Aufgaben

AnalysisAbleitungenQuotientenregel

Nicht jeder Bruch braucht die Quotientenregel. Bei einem konstanten Nenner genügt die Faktorregel, ein Bruch mit einer Summe im Zähler und einem Term im Nenner lässt sich aufspalten, und ein gemeinsamer Faktor wird vor dem Ableiten gekürzt. Alle Wege führen zum selben Ergebnis. Der Abschnitt räumt das Kürzen aus Summen aus, etwa (x² + 1)/x = x + 1, und den Zwang, jede Bruchform mit der Quotientenregel zu behandeln. Er bereitet die Auswahl des Rechenwegs bei den Verknüpfungen im letzten Abschnitt vor.

Konstanter Nenner und Aufspalten

Steht im Nenner nur eine Zahl, ist der Bruch ein konstanter Faktor: $\frac{x ^{2} + 6 x}{3} = \frac{1}{3} (x^{2} + 6 x)$ hat die Ableitung $\frac{2 x + 6}{3}$ . Steht im Nenner ein einzelner Term wie x, lässt sich der Bruch aufspalten: $\frac{x ^{2} + 5}{x} = \frac{x ^{2}}{x} + \frac{5}{x} = x + \frac{5}{x}$ , also $f^{'} (x) = 1 - \frac{5}{x ^{2}}$ . Die Quotientenregel gibt dasselbe: $\frac{2 x \cdot x - ( x ^{2} + 5 ) \cdot 1}{x ^{2}} = \frac{x ^{2} - 5}{x ^{2}}$ , nur mit mehr Rechnung. Vorsicht: (x² + 5)/x ist nicht x + 5. Jeder Summand im Zähler wird durch x geteilt.

Bewege x₀: Die Summe aus dem Punkt der Geraden y = x und dem Punkt von 5/x ist der Punkt der Kurve f.

Erst kürzen

Haben Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor, wird zuerst gekürzt: $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = x + 3$ für x ≠ 3. Die Ableitung ist 1, der Graph eine Gerade mit einer Lücke bei x = 3. Die Quotientenregel führt zum selben Ergebnis, denn $\frac{2 x ( x - 3 ) - ( x ^{2} - 9 )}{( x - 3 ) ^{2}} = \frac{( x - 3 ) ^{2}}{( x - 3 ) ^{2}} = 1$ , aber der Umweg kostet Zeit und Fehlerquellen. Gekürzt werden dürfen nur Faktoren, nie Summanden: Als Faustregel schaut man zuerst auf den Nenner: eine Zahl (Faktorregel), ein einzelner Term (aufspalten), ein Faktor, der auch im Zähler steckt (kürzen). Bleibt nichts davon, gilt die Quotientenregel.

Ziehe x₀ über die Lücke (orange) hinweg: Welche Steigung hat die Tangente überall?

Voraussetzungen (1)

Quotientenregel anwenden

Klasse 12

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Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welche Ableitung hat f(x) = (x² + 1)/4?

● x/2
○ 2x
○ x/8

Der Nenner 4 ist ein konstanter Faktor: f(x) = ¼·(x² + 1), also f′ = ¼·2x = x/2. 2x lässt den Nenner weg, und x/8 entsteht, wenn der Nenner quadriert (16) wird, aber u′ = 2x nicht mit v = 4 multipliziert wird.

Wahr / Falsch #2 20s ▶ Testen

Für f(x) = (3x² − 6)/3 genügt es, f(x) = x² − 2 abzuleiten: f′(x) = 2x.

✓ Wahr

Der Nenner ist eine Zahl, der Bruch also ein konstanter Faktor: (3x² − 6)/3 = x² − 2 mit f′(x) = 2x. Die Quotientenregel wäre nur ein Umweg.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Der Rechenbaum zeigt f(x) = (x² + 1)/4. Wie groß ist f′(2)?

● 1
○ 4
○ 0,25

Im Baum steht rechts nur die Zahl 4, ein konstanter Faktor: f′(x) = 2x/4 = x/2, also f′(2) = 1. 4 ist u′(2), ohne durch 4 zu teilen, und 0,25 ist der Faktor ¼ ohne die Ableitung.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Welche Ableitung hat f(x) = (x² + 3)/x?

● 1 − 3/x²
○ 1
○ 2x

Aufspalten: (x² + 3)/x = x + 3/x mit der Ableitung 1 − 3/x². Die Antwort 1 kürzt x² gegen x aus der Summe (x + 3 wäre falsch); 2x ist u′/v′.

Wahr / Falsch #5 20s ▶ Testen

Es gilt (x² + 3)/x = x + 3.

✓ Falsch

Jeder Summand im Zähler wird durch x geteilt: (x² + 3)/x = x²/x + 3/x = x + 3/x. Bei x = 3: 4 statt 6.

Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Der Graph zeigt f(x) = (x² + 1)/x und die Tangente im Punkt P bei x = 2. Welche Steigung hat die Tangente?

● 0,75
○ 1,25
○ 1

f(x) = x + 1/x, also f′(x) = 1 − 1/x² und f′(2) = 1 − 1/4 = 0,75. 1,25 hat das Vorzeichen von (1/x)′ vertauscht, und 1 ergibt sich aus dem falschen Kürzen x + 1.

Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Welche Ableitung hat f(x) = (x² − 4)/(x − 2) für x ≠ 2?

● 1
○ 2x
○ x + 2

Zähler faktorisieren und kürzen: (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2, also f′ = 1. Die Quotientenregel führt zum selben Ergebnis, nur mit mehr Rechnung. 2x ist u′/v′, und x + 2 ist die gekürzte Funktion, nicht ihre Ableitung.

Wahr / Falsch #8 20s ▶ Testen

Für f(x) = (x² − 1)/(x − 1) mit x ≠ 1 liefern erst kürzen und dann ableiten dasselbe wie die Quotientenregel.

✓ Wahr

Gekürzt: f(x) = x + 1, f′ = 1. Quotientenregel: (2x(x − 1) − (x² − 1))/(x − 1)² = (x − 1)²/(x − 1)² = 1.

Multiple Choice #9 25s ▶ Testen

Der Graph zeigt f(x) = (x² − 1)/(x − 1). Welche Steigung hat der Graph an jeder Stelle x ≠ 1?

● 1
○ 2
○ 0

Gekürzt ist f(x) = x + 1 für x ≠ 1, eine Gerade mit der Steigung 1 und einer Lücke bei (1 | 2). 2 ist der y-Wert der Lücke, nicht die Steigung; die Steigung ist nirgends 0.

Mittel

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Der Graph zeigt f(x) = (2x² − 5)/5 und die Tangente im Punkt P bei x = 3. Berechne f′(3).

✓ Antwort: 2.4

f(x) = ⅕·(2x² − 5), also f′(x) = 4x/5. Bei x = 3: 12/5 = 2,4.

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Der Graph zeigt f(x) = (x² + 8)/x und die Tangente im Punkt P bei x = 2. Spalte auf und berechne f′(2).

✓ Antwort: -1

f(x) = x + 8/x, f′(x) = 1 − 8/x². Bei x = 2: 1 − 2 = −1.

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Der Graph zeigt f(x) = (2x² − 2x)/(x − 1) mit einer Lücke bei x = 1. Kürze zuerst und berechne dann f′(4).

✓ Antwort: 2

2x² − 2x = 2x(x − 1), gekürzt f(x) = 2x und f′(x) = 2.

Schwer

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Die Kosten pro Bahn betragen k(x) = (x² + 100)/4 (Euro) bei x Besucherinnen und Besuchern. Wie schnell wächst k bei x = 6 (Euro pro Person)?

✓ Antwort: 3

k′(x) = 2x/4 = x/2. Bei x = 6: 3 Euro je zusätzliche Person.

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Der Graph zeigt die Stückkosten k(x) = (x² + 90)/x (Euro) bei x Stück. Bei welcher Stückzahl x > 0 hat k eine waagerechte Tangente? Runde auf zwei Nachkommastellen.

✓ Antwort: 9.48683298

k(x) = x + 90/x, k′(x) = 1 − 90/x². k′ = 0 ⇔ x² = 90 ⇔ x = √90 ≈ 9,49.

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Kürze zuerst und berechne f′(2) für f(x) = (x² − x)/(x² − 1) auf drei Nachkommastellen (x ≠ ±1).

✓ Antwort: 0.11111111

x² − x = x(x − 1), x² − 1 = (x − 1)(x + 1); gekürzt f(x) = x/(x + 1). Quotientenregel: f′ = 1/(x + 1)². Bei x = 2: 1/9 ≈ 0,111.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Leite f(x) = (x² + 4)/x auf zwei Wegen ab: erstens mit der Quotientenregel, zweitens durch Aufspalten. Zeige, dass beide Ergebnisse gleich sind, und bestimme die Stellen mit waagerechter Tangente samt Funktionswerten. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Quotientenregel: u = x² + 4, u′ = 2x, v = x, v′ = 1: f′ = (2x·x − (x² + 4)·1)/x² = (x² − 4)/x². Aufspalten: f(x) = x + 4/x, f′ = 1 − 4/x² = (x² − 4)/x². Beide Ergebnisse stimmen überein. f′ = 0 ⇔ x² = 4 ⇔ x = 2 oder x = −2. Funktionswerte: f(2) = 8/2 = 4 und f(−2) = 8/(−2) = −4. Waagerechte Tangenten in (2 | 4) und (−2 | −4).

Beide Wege geben (x² − 4)/x² = 1 − 4/x²; f′ = 0 bei x = ±2, mit f(2) = 4 und f(−2) = −4.