Verknüpfungen untersuchen
Welche Ableitung hat tan x = sin x/cos x?
Erklärung: u = sin x, v = cos x, u′ = cos x, v′ = −sin x: Zähler cos x·cos x − sin x·(−sin x) = cos² x + sin² x = 1, Nenner cos² x. cos x/(−sin x) ist u′/v′; bei (cos² x − sin² x) wurde das Minus von v′ = −sin x nicht mitgenommen.
Bei tan x = sin x/cos x ist der Zähler der Ableitung cos x·cos x − sin x·(−sin x) = cos² x + sin² x = 1.
Erklärung: v′ = (cos x)′ = −sin x. Minus mal minus gibt Plus, und sin² x + cos² x = 1. Darum ist (tan x)′ = 1/cos² x.
Der Graph zeigt y = tan x und die Tangente im Punkt P bei x = π/4 (tan(π/4) = 1). Welche Steigung hat die Tangente?
Erklärung: (tan x)′ = 1/cos² x; cos(π/4)² = 0,5, also 1/0,5 = 2. Die 1 ist der Funktionswert tan(π/4), nicht die Steigung; 0,5 ist cos² x selbst, ohne den Kehrwert.
Der Graph zeigt y = tan x und die Tangente im Punkt P bei x = π/3. Berechne (tan x)′ an dieser Stelle.
Erklärung: (tan x)′ = 1/cos² x. cos(π/3) = 0,5, also 1/0,25 = 4.
Der Graph zeigt y = tan x und die Tangente im Punkt P bei x = 1 (Bogenmaß). Berechne die Steigung der Tangente auf zwei Nachkommastellen.
Erklärung: cos 1 ≈ 0,5403, cos² 1 ≈ 0,2919. Steigung 1/0,2919 ≈ 3,43. tan steigt dort steil, weil sich x = 1 der Polstelle π/2 ≈ 1,57 nähert.
Welche Ableitung hat f(x) = eˣ/x?
Erklärung: u = eˣ, u′ = eˣ, v = x, v′ = 1: (eˣ·x − eˣ·1)/x² = eˣ(x − 1)/x². eˣ ist u′/v′, und (x + 1) käme mit einem Plus in der Mitte (Produktregel-Muster).
Welche Ableitung hat g(x) = eˣ/(x + 1)?
Erklärung: u = eˣ, v = x + 1, v′ = 1: (eˣ(x + 1) − eˣ·1)/(x + 1)² = eˣ·x/(x + 1)². eˣ ist u′/v′ = eˣ/1, und (x + 2) käme mit einem Plus in der Mitte (Produktregel-Muster).
Für g(x) = eˣ/(x + 1) ist g′(x) = eˣ·x/(x + 1)² nur bei x = 0 gleich null, denn eˣ wird nie null.
Erklärung: Ein Bruch ist null, wenn der Zähler null ist: eˣ·x = 0. Der Faktor eˣ ist immer positiv, es bleibt x = 0. Die Stelle x = −1 ist Polstelle von g und gehört nicht dazu.
Der Graph zeigt f(x) = eˣ/x für x > 0. Welchen Extrempunkt hat er?
Erklärung: f′ wechselt bei x = 1 von − (x − 1 < 0) nach + (x − 1 > 0): Tiefpunkt. y = f(1) = e ≈ 2,72; die 0 wäre der Wert von f′(1).
Der Graph zeigt f(x) = eˣ/x für x > 0. Berechne f′(2) auf zwei Nachkommastellen.
Erklärung: f′(2) = e²·(2 − 1)/2² = e²/4 ≈ 7,389/4 ≈ 1,85.
Welchen kleinsten Wert nimmt f(x) = eˣ/x für x > 0 an? Runde auf zwei Nachkommastellen.
Erklärung: Der Tiefpunkt liegt bei x = 1 (f′ wechselt von − nach +). Sein y-Wert ist f(1) = e/1 ≈ 2,72.
Welche Ableitung hat f(x) = eˣ/(1 + eˣ)?
Erklärung: u = eˣ, v = 1 + eˣ, v′ = eˣ (die 1 fällt weg): Zähler eˣ(1 + eˣ) − eˣ·eˣ = eˣ. Also f′ = eˣ/(1 + eˣ)². 1 ist u′/v′; mit einem Plus in der Mitte käme eˣ(1 + 2eˣ) heraus.
Welche Ableitung hat g(x) = eˣ/(2 + eˣ)?
Erklärung: u = eˣ, v = 2 + eˣ, v′ = eˣ: Zähler eˣ(2 + eˣ) − eˣ·eˣ = 2eˣ, Nenner (2 + eˣ)². Ohne den Faktor 2 wäre es die Ableitung von eˣ/(1 + eˣ); 1 ist u′/v′ = eˣ/eˣ.
Für g(x) = eˣ/(2 + eˣ) ist g′(x) = 2eˣ/(2 + eˣ)² überall positiv, also steigt g streng monoton.
Erklärung: Zähler 2eˣ > 0 und Nenner (2 + eˣ)² > 0 für alle x: g′ > 0. g steigt überall, von nahezu 0 links bis nahezu 1 rechts.
Der Graph zeigt f(x) = eˣ/(1 + eˣ). Er hat bei x = 0 einen Wendepunkt. Welche Koordinaten hat er?
Erklärung: f(0) = e⁰/(1 + e⁰) = 1/2. Die 0,25 ist die Steigung f′(0) = 1/4, nicht die Höhe; die 1 ist die waagerechte Asymptote y = 1, die der Graph nie erreicht.
Der Graph zeigt f(x) = eˣ/(1 + eˣ). Berechne f′(0).
Erklärung: f′(0) = e⁰/(1 + e⁰)² = 1/4 = 0,25. Das ist die größte Steigung der Kurve.
Der Anteil informierter Personen wächst nach p(t) = eᵗ/(1 + eᵗ) (t in Tagen, p als Anteil zwischen 0 und 1). Wie schnell wächst p bei t = 1 (Anteil pro Tag, drei Nachkommastellen)? Der Graph zeigt p als Funktion von t.
Erklärung: p′(t) = eᵗ/(1 + eᵗ)². Bei t = 1: e/(1 + e)² ≈ 2,718/13,826 ≈ 0,197 pro Tag.
Zeige für f(x) = eˣ/(1 + eˣ), dass f′(x) = eˣ/(1 + eˣ)² gilt. Leite f′ mit der Quotientenregel noch einmal ab, klammere eˣ(1 + eˣ) aus, kürze und bestimme die Wendestelle samt Vorzeichenwechsel und y-Koordinate. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: f″ = eˣ(1 − eˣ)/(1 + eˣ)³ ist null für x = 0 und wechselt dort von + nach −; f(0) = 0,5. Wendepunkt (0 | 0,5).