Verknüpfungen untersuchen

Analysing compositions

Mathematik Klasse 12 18 Aufgaben

AnalysisAbleitungenQuotientenregelKurvendiskussion

Mit der Quotientenregel lassen sich Quotienten bekannter Funktionstypen untersuchen: tan x = sin x/cos x hat die Ableitung 1/cos²x, eˣ/x hat bei x = 1 einen Tiefpunkt, und eˣ/(1 + eˣ) steigt von 0 nach 1 mit einem Wendepunkt bei x = 0. Der Abschnitt räumt Vorzeichenfehler bei v′ = −sin x und das Vergessen des gemeinsamen Faktors eˣ aus. Er bereitet die trigonometrischen Ableitungen, die Wurzel- und Logarithmusfunktion und begrenztes Wachstum in der Jahrgangsstufe 13 vor.

Der Tangens

tan x = sin x / cos x ist ein Quotient. Mit u = sin x, v = cos x, u′ = cos x und v′ = −sin x folgt $(tan x)^{'} = \frac{cos x \cdot cos x - sin x \cdot ( - sin x )}{cos ^{2} x} = \frac{cos ^{2} x + sin ^{2} x}{cos ^{2} x} = \frac{1}{cos ^{2} x}$ Bei v′ = −sin x gilt Minus mal Minus gleich Plus. Der Bruch ist überall positiv: tan steigt auf jedem Ast, an der Stelle 0 mit der Steigung 1.

Bewege x₀: Steigung der Tangente und 1/cos² x₀ stimmen überein. Was passiert bei x₀ nahe π/2?

Der Quotient eˣ/x

Bei $f (x) = \frac{e ^{x}}{x}$ ist u = eˣ und v = x, also $f^{'} (x) = \frac{e ^{x} \cdot x - e ^{x} \cdot 1}{x ^{2}} = \frac{e ^{x} ( x - 1 )}{x ^{2}}$ . Da eˣ nie null wird, entscheidet x − 1: Für 0 < x < 1 fällt f, für x > 1 steigt f. Bei x = 1 liegt ein Tiefpunkt mit $f (1) = e \approx 2, 72$ , bei x = 0 eine Polstelle.

f(x) = eˣ/x für x > 0: fällt bis x = 1 und steigt danach.

Die logistische Funktion

Die Funktion $f (x) = \frac{e ^{x}}{1 + e ^{x}}$ beschreibt begrenztes Wachstum. Die Quotientenregel gibt $f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( 1 + e ^{x} ) - e ^{x} \cdot e ^{x}}{( 1 + e ^{x} ) ^{2}} = \frac{e ^{x}}{( 1 + e ^{x} ) ^{2}}$ , überall positiv: f steigt streng. Wegen 0 < eˣ < 1 + eˣ gilt 0 < f < 1. Für die zweite Ableitung ergibt sich $f^{''} (x) = \frac{e ^{x} ( 1 - e ^{x} )}{( 1 + e ^{x} ) ^{3}}$ : null bei x = 0, mit Vorzeichenwechsel von + nach −. Der Wendepunkt (0 | 0,5) ist die Stelle des stärksten Wachstums.

f(x) = eˣ/(1 + eˣ): S-Kurve zwischen 0 und 1 mit der gestrichelten Grenze y = 1.

Voraussetzungen (2)

Extremstellen bestimmen

Klasse 12

›

Wendestellen und Krümmung

Klasse 12

›

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welche Ableitung hat tan x = sin x/cos x?

● 1/cos² x
○ cos x/(−sin x)
○ (cos² x − sin² x)/cos² x

u = sin x, v = cos x, u′ = cos x, v′ = −sin x: Zähler cos x·cos x − sin x·(−sin x) = cos² x + sin² x = 1, Nenner cos² x. cos x/(−sin x) ist u′/v′; bei (cos² x − sin² x) wurde das Minus von v′ = −sin x nicht mitgenommen.

Wahr / Falsch #2 20s ▶ Testen

Bei tan x = sin x/cos x ist der Zähler der Ableitung cos x·cos x − sin x·(−sin x) = cos² x + sin² x = 1.

✓ Wahr

v′ = (cos x)′ = −sin x. Minus mal minus gibt Plus, und sin² x + cos² x = 1. Darum ist (tan x)′ = 1/cos² x.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Der Graph zeigt y = tan x und die Tangente im Punkt P bei x = π/4 (tan(π/4) = 1). Welche Steigung hat die Tangente?

● 2
○ 1
○ 0,5

(tan x)′ = 1/cos² x; cos(π/4)² = 0,5, also 1/0,5 = 2. Die 1 ist der Funktionswert tan(π/4), nicht die Steigung; 0,5 ist cos² x selbst, ohne den Kehrwert.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Welche Ableitung hat f(x) = eˣ/x?

● eˣ(x − 1)/x²
○ eˣ
○ eˣ(x + 1)/x²

u = eˣ, u′ = eˣ, v = x, v′ = 1: (eˣ·x − eˣ·1)/x² = eˣ(x − 1)/x². eˣ ist u′/v′, und (x + 1) käme mit einem Plus in der Mitte (Produktregel-Muster).

Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Welche Ableitung hat g(x) = eˣ/(x + 1)?

● eˣ·x/(x + 1)²
○ eˣ
○ eˣ(x + 2)/(x + 1)²

u = eˣ, v = x + 1, v′ = 1: (eˣ(x + 1) − eˣ·1)/(x + 1)² = eˣ·x/(x + 1)². eˣ ist u′/v′ = eˣ/1, und (x + 2) käme mit einem Plus in der Mitte (Produktregel-Muster).

Wahr / Falsch #6 20s ▶ Testen

Für g(x) = eˣ/(x + 1) ist g′(x) = eˣ·x/(x + 1)² nur bei x = 0 gleich null, denn eˣ wird nie null.

✓ Wahr

Ein Bruch ist null, wenn der Zähler null ist: eˣ·x = 0. Der Faktor eˣ ist immer positiv, es bleibt x = 0. Die Stelle x = −1 ist Polstelle von g und gehört nicht dazu.

Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Der Graph zeigt f(x) = eˣ/x für x > 0. Welchen Extrempunkt hat er?

● Tiefpunkt (1 | e)
○ Hochpunkt (1 | e)
○ Tiefpunkt (1 | 0)

f′ wechselt bei x = 1 von − (x − 1 < 0) nach + (x − 1 > 0): Tiefpunkt. y = f(1) = e ≈ 2,72; die 0 wäre der Wert von f′(1).

Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Welche Ableitung hat f(x) = eˣ/(1 + eˣ)?

● eˣ/(1 + eˣ)²
○ 1
○ eˣ(1 + 2eˣ)/(1 + eˣ)²

u = eˣ, v = 1 + eˣ, v′ = eˣ (die 1 fällt weg): Zähler eˣ(1 + eˣ) − eˣ·eˣ = eˣ. Also f′ = eˣ/(1 + eˣ)². 1 ist u′/v′; mit einem Plus in der Mitte käme eˣ(1 + 2eˣ) heraus.

Multiple Choice #9 25s ▶ Testen

Welche Ableitung hat g(x) = eˣ/(2 + eˣ)?

● 2eˣ/(2 + eˣ)²
○ eˣ/(2 + eˣ)²
○ 1

u = eˣ, v = 2 + eˣ, v′ = eˣ: Zähler eˣ(2 + eˣ) − eˣ·eˣ = 2eˣ, Nenner (2 + eˣ)². Ohne den Faktor 2 wäre es die Ableitung von eˣ/(1 + eˣ); 1 ist u′/v′ = eˣ/eˣ.

Wahr / Falsch #10 20s ▶ Testen

Für g(x) = eˣ/(2 + eˣ) ist g′(x) = 2eˣ/(2 + eˣ)² überall positiv, also steigt g streng monoton.

✓ Wahr

Zähler 2eˣ > 0 und Nenner (2 + eˣ)² > 0 für alle x: g′ > 0. g steigt überall, von nahezu 0 links bis nahezu 1 rechts.

Multiple Choice #11 25s ▶ Testen

Der Graph zeigt f(x) = eˣ/(1 + eˣ). Er hat bei x = 0 einen Wendepunkt. Welche Koordinaten hat er?

● (0 | 0,5)
○ (0 | 1)
○ (0 | 0,25)

f(0) = e⁰/(1 + e⁰) = 1/2. Die 0,25 ist die Steigung f′(0) = 1/4, nicht die Höhe; die 1 ist die waagerechte Asymptote y = 1, die der Graph nie erreicht.

Mittel

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Der Graph zeigt y = tan x und die Tangente im Punkt P bei x = π/3. Berechne (tan x)′ an dieser Stelle.

✓ Antwort: 4

(tan x)′ = 1/cos² x. cos(π/3) = 0,5, also 1/0,25 = 4.

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Der Graph zeigt f(x) = eˣ/x für x > 0. Berechne f′(2) auf zwei Nachkommastellen.

✓ Antwort: 1.84726402

f′(2) = e²·(2 − 1)/2² = e²/4 ≈ 7,389/4 ≈ 1,85.

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Der Graph zeigt f(x) = eˣ/(1 + eˣ). Berechne f′(0).

✓ Antwort: 0.25

f′(0) = e⁰/(1 + e⁰)² = 1/4 = 0,25. Das ist die größte Steigung der Kurve.

Schwer

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Der Graph zeigt y = tan x und die Tangente im Punkt P bei x = 1 (Bogenmaß). Berechne die Steigung der Tangente auf zwei Nachkommastellen.

✓ Antwort: 3.42551882

cos 1 ≈ 0,5403, cos² 1 ≈ 0,2919. Steigung 1/0,2919 ≈ 3,43. tan steigt dort steil, weil sich x = 1 der Polstelle π/2 ≈ 1,57 nähert.

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Welchen kleinsten Wert nimmt f(x) = eˣ/x für x > 0 an? Runde auf zwei Nachkommastellen.

✓ Antwort: 2.71828183

Der Tiefpunkt liegt bei x = 1 (f′ wechselt von − nach +). Sein y-Wert ist f(1) = e/1 ≈ 2,72.

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Der Anteil informierter Personen wächst nach p(t) = eᵗ/(1 + eᵗ) (t in Tagen, p als Anteil zwischen 0 und 1). Wie schnell wächst p bei t = 1 (Anteil pro Tag, drei Nachkommastellen)? Der Graph zeigt p als Funktion von t.

✓ Antwort: 0.19661193

p′(t) = eᵗ/(1 + eᵗ)². Bei t = 1: e/(1 + e)² ≈ 2,718/13,826 ≈ 0,197 pro Tag.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Zeige für f(x) = eˣ/(1 + eˣ), dass f′(x) = eˣ/(1 + eˣ)² gilt. Leite f′ mit der Quotientenregel noch einmal ab, klammere eˣ(1 + eˣ) aus, kürze und bestimme die Wendestelle samt Vorzeichenwechsel und y-Koordinate. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: f′: u = eˣ, v = 1 + eˣ, v′ = eˣ: (eˣ(1 + eˣ) − eˣ·eˣ)/(1 + eˣ)² = eˣ/(1 + eˣ)². f″: u = eˣ, v = (1 + eˣ)², v′ = 2(1 + eˣ)eˣ: f″ = (eˣ(1 + eˣ)² − eˣ·2(1 + eˣ)eˣ)/(1 + eˣ)⁴ = eˣ(1 + eˣ)(1 + eˣ − 2eˣ)/(1 + eˣ)⁴ = eˣ(1 − eˣ)/(1 + eˣ)³. f″ = 0 ⇔ eˣ = 1 ⇔ x = 0. Für x < 0 ist eˣ < 1 und f″ > 0, für x > 0 ist f″ < 0: Vorzeichenwechsel von + nach −. f(0) = 1/2: Wendepunkt (0 | 0,5).

f″ = eˣ(1 − eˣ)/(1 + eˣ)³ ist null für x = 0 und wechselt dort von + nach −; f(0) = 0,5. Wendepunkt (0 | 0,5).