Wendestellen und Krümmung
Für g(x) = x²/(x − 1) ist g′(x) = (x² − 2x)/(x − 1)². Welche Form hat g″(x) nach dem Kürzen?
Erklärung: Quotientenregel auf g′: ((2x − 2)(x − 1)² − (x² − 2x)·2(x − 1))/(x − 1)⁴. Ein Faktor x − 1 kürzt sich: ((2x − 2)(x − 1) − 2(x² − 2x))/(x − 1)³ = 2/(x − 1)³. Ohne Kürzen bliebe der Nenner (x − 1)⁴; (2x − 2)/(x − 1)² leitet nur den Zähler ab.
Für f′(x) = (1 − x²)/(x² + 1)² steht im Nenner von f″ vor dem Kürzen der Term (x² + 1)⁴.
Erklärung: Die Quotientenregel quadriert den Nenner noch einmal: ((x² + 1)²)² = (x² + 1)⁴. Danach kürzt sich meist ein Faktor x² + 1, zum Beispiel f″(x) = 2x(x² − 3)/(x² + 1)³.
Für g(x) = x²/(x − 1) ist g″(x) = 2/(x − 1)³. Berechne g″(3).
Erklärung: g″(3) = 2/2³ = 2/8 = 0,25.
Für f(x) = x/(x² + 1) ist f′(x) = (1 − x²)/(x² + 1)². Wende die Quotientenregel auf f′ an und berechne f″(1).
Erklärung: Zähler von f′: Z = 1 − x², Z′ = −2x; Nenner N = (x² + 1)², N′ = 2(x² + 1)·2x. Bei x = 1: Z = 0, Z′ = −2, N = 4. f″(1) = (Z′·N − Z·N′)/N² = (−2·4 − 0)/16 = −0,5.
Der Graph zeigt g(x) = x²/(x − 1) mit g″(x) = 2/(x − 1)³. Wie ist der Graph für x > 1 gekrümmt?
Erklärung: Für x > 1 ist (x − 1)³ > 0, also g″ > 0: Linkskrümmung, die Steigung nimmt zu. Rechtskrümmung gilt für x < 1, wo g″ < 0 ist.
Der Graph zeigt f(x) = x/(x² + 1). Der Graph fällt bei x = 2. Wie ist er dort gekrümmt?
Erklärung: f″(2) = 2·2·(4 − 3)/5³ = 4/125 > 0: Linkskrümmung. Dass f fällt, sagt f′ < 0 (Steigung); die Krümmung gibt f″. Der Graph flacht bei x = 2 ab, seine Steigung wächst von negativen Werten Richtung 0.
Die Funktion f(x) = 1/x fällt für x > 0, also ist ihr Graph dort rechtsgekrümmt.
Erklärung: Fallen ist eine Aussage über f′ (negativ). Die Krümmung folgt aus f″(x) = 2/x³ > 0 für x > 0: Linkskrümmung.
Der Graph zeigt h(x) = (x² + 4)/x mit h″(x) = 8/x³. Berechne h″(−2).
Erklärung: h″(−2) = 8/(−8) = −1. Negativ: Rechtskrümmung.
Der Graph von h(x) = (x² + 4)/x hat h″(x) = 8/x³. An wie vielen der Stellen −2; −0,5; 0,5; 2 ist der Graph linksgekrümmt?
Erklärung: Linkskrümmung heißt h″ > 0, also x³ > 0 und x > 0: das gilt für 0,5 und 2, das sind 2 Stellen. Für die negativen Stellen ist der Graph rechtsgekrümmt.
Der Graph zeigt g(x) = x²/(x − 1). Die zweite Ableitung g″(x) = 2/(x − 1)³ wechselt bei x = 1 das Vorzeichen. Welchen Punkt hat der Graph bei x = 1?
Erklärung: g″ ist nie null. Bei x = 1 wechselt g″ zwar das Vorzeichen, aber x = 1 ist Polstelle und liegt nicht im Definitionsmenge: dort gibt es keinen Punkt des Graphen, also auch keinen Wendepunkt. Der Tiefpunkt von g liegt bei x = 2 (g′ = 0).
Für f(x) = x/(x² + 1) ist f″(x) = 2x(x² − 3)/(x² + 1)³. Der Graph von f hat drei Wendestellen.
Erklärung: f″ = 0 ⇔ x = 0 oder x² = 3, also x = 0, x = √3 und x = −√3. An allen drei Stellen wechselt der Zähler das Vorzeichen; der Nenner (x² + 1)³ ist immer positiv.
Der Graph zeigt f(x) = x/(x² + 1) mit f″(x) = 2x(x² − 3)/(x² + 1)³. Bei welchen x-Werten liegen die Wendepunkte?
Erklärung: Die Wendestellen sind die Nullstellen von f″ mit Vorzeichenwechsel: x = 0 und x = ±√3 ≈ ±1,73. x = ±1 sind die Extremstellen (f′ = 0), und x = 0 ist nicht die einzige.
Für f(x) = x/(x² + 1) ist f″(x) = 2x(x² − 3)/(x² + 1)³. Bestimme die positive Wendestelle auf zwei Nachkommastellen.
Erklärung: Zähler: 2x(x² − 3) = 0 ⇔ x = 0 oder x = ±√3. Positiv und ungleich 0: x = √3 ≈ 1,73.
Berechne die y-Koordinate des Wendepunkts von f(x) = x/(x² + 1) bei x = √3 auf drei Nachkommastellen.
Erklärung: f(√3) = √3/(3 + 1) = √3/4 ≈ 0,433. Der Wendepunkt ist (√3 | 0,433).
Untersuche m(x) = 1/(x² + 1) auf Wendepunkte. Leite m′(x) = −2x/(x² + 1)² mit der Quotientenregel noch einmal ab (Nenner v⁴, dann kürzen), bestimme die Nullstellen von m″ und prüfe den Vorzeichenwechsel. Gib die Koordinaten der Wendepunkte an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: m″ = (6x² − 2)/(x² + 1)³ hat die Nullstellen x = ±1/√3 mit Vorzeichenwechsel; m = 0,75 dort. Wendepunkte (±0,58 | 0,75).