Wendestellen und Krümmung

Inflection points and curvature

Mathematik Klasse 12 15 Aufgaben

AnalysisAbleitungenWendepunkteGebrochen-rationale Funktionen

Die zweite Ableitung ist wieder ein Quotient: Die Quotientenregel wird auf f′ angewandt, der Nenner wird zu v⁴ und lässt sich meist um einen Faktor kürzen. Das Vorzeichen von f″ zeigt die Krümmung, eine Wendestelle braucht f″ = 0 mit Vorzeichenwechsel. Der Abschnitt räumt zwei Irrtümer aus: dass ein Vorzeichenwechsel an einer Polstelle eine Wendestelle ergibt und dass f″ = 0 allein genügt. Er bereitet die Untersuchung der Verknüpfungen im letzten Abschnitt vor.

Die zweite Ableitung

Die zweite Ableitung ist die Ableitung von $f^{'} = \frac{Z}{v ^{2}}$ , also wieder ein Quotient. Die Quotientenregel gibt $f^{''} = \frac{Z ^{'} \cdot v ^{2} - Z \cdot 2 v v ^{'}}{v ^{4}}$ , und ein Faktor v lässt sich kürzen. Beispiel $r (x) = \frac{x ^{2}}{x + 2}$ : Es ist $r^{'} (x) = \frac{x ^{2} + 4 x}{( x + 2 ) ^{2}}$ und $r^{''} (x) = \frac{( 2 x + 4 ) ( x + 2 ) ^{2} - ( x ^{2} + 4 x ) \cdot 2 ( x + 2 )}{( x + 2 ) ^{4}} = \frac{8}{( x + 2 ) ^{3}}$ . Das Vorzeichen von r″ zeigt die Krümmung, nicht die Steigung: Bei r″ > 0 liegt eine Linkskrümmung vor, die Steigung wächst; bei r″ < 0 eine Rechtskrümmung. Hier ist r″ > 0 für x > −2.

Bewege x₀ rechts und links der Polstelle: Wie hängen das Vorzeichen von r″ und die Krümmung zusammen?

Wendestellen finden

Eine Wendestelle braucht f″ = 0 mit Vorzeichenwechsel von f″. Beispiel $s (x) = \frac{x}{x ^{2} + 3}$ : Es ist $s^{'} (x) = \frac{3 - x ^{2}}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}}$ und $s^{''} (x) = \frac{2 x ( x ^{2} - 9 )}{( x ^{2} + 3 ) ^{3}}$ . Der Zähler hat die Nullstellen x = 0, x = 3 und x = −3, und an allen drei Stellen wechselt er das Vorzeichen: drei Wendestellen. Zwei Warnungen. Bei r″ = 8/(x + 2)³ wechselt das Vorzeichen bei x = −2, aber das ist die Polstelle und liegt nicht im Definitionsmenge: keine Wendestelle. Und f″ = 0 ohne Vorzeichenwechsel genügt nicht.

Bewege x₀ durch die Punkte W: Wo geht die Tangente durch den Graphen hindurch, und was macht das Vorzeichen von s″?

Voraussetzungen (1)

Quotientenregel anwenden

Klasse 12

›

Ermöglicht (1)

Verknüpfungen untersuchen

Klasse 12

›

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Für g(x) = x²/(x − 1) ist g′(x) = (x² − 2x)/(x − 1)². Welche Form hat g″(x) nach dem Kürzen?

● 2/(x − 1)³
○ 2/(x − 1)⁴
○ (2x − 2)/(x − 1)²

Quotientenregel auf g′: ((2x − 2)(x − 1)² − (x² − 2x)·2(x − 1))/(x − 1)⁴. Ein Faktor x − 1 kürzt sich: ((2x − 2)(x − 1) − 2(x² − 2x))/(x − 1)³ = 2/(x − 1)³. Ohne Kürzen bliebe der Nenner (x − 1)⁴; (2x − 2)/(x − 1)² leitet nur den Zähler ab.

Wahr / Falsch #2 20s ▶ Testen

Für f′(x) = (1 − x²)/(x² + 1)² steht im Nenner von f″ vor dem Kürzen der Term (x² + 1)⁴.

✓ Wahr

Die Quotientenregel quadriert den Nenner noch einmal: ((x² + 1)²)² = (x² + 1)⁴. Danach kürzt sich meist ein Faktor x² + 1, zum Beispiel f″(x) = 2x(x² − 3)/(x² + 1)³.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Der Graph zeigt g(x) = x²/(x − 1) mit g″(x) = 2/(x − 1)³. Wie ist der Graph für x > 1 gekrümmt?

● Linkskrümmung
○ Rechtskrümmung
○ gar nicht gekrümmt

Für x > 1 ist (x − 1)³ > 0, also g″ > 0: Linkskrümmung, die Steigung nimmt zu. Rechtskrümmung gilt für x < 1, wo g″ < 0 ist.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Der Graph zeigt f(x) = x/(x² + 1). Der Graph fällt bei x = 2. Wie ist er dort gekrümmt?

● Linkskrümmung
○ Rechtskrümmung
○ gar nicht gekrümmt

f″(2) = 2·2·(4 − 3)/5³ = 4/125 > 0: Linkskrümmung. Dass f fällt, sagt f′ < 0 (Steigung); die Krümmung gibt f″. Der Graph flacht bei x = 2 ab, seine Steigung wächst von negativen Werten Richtung 0.

Wahr / Falsch #5 20s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = 1/x fällt für x > 0, also ist ihr Graph dort rechtsgekrümmt.

✓ Falsch

Fallen ist eine Aussage über f′ (negativ). Die Krümmung folgt aus f″(x) = 2/x³ > 0 für x > 0: Linkskrümmung.

Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Der Graph zeigt g(x) = x²/(x − 1). Die zweite Ableitung g″(x) = 2/(x − 1)³ wechselt bei x = 1 das Vorzeichen. Welchen Punkt hat der Graph bei x = 1?

● keinen, denn x = 1 ist eine Polstelle
○ einen Wendepunkt
○ einen Tiefpunkt

g″ ist nie null. Bei x = 1 wechselt g″ zwar das Vorzeichen, aber x = 1 ist Polstelle und liegt nicht im Definitionsmenge: dort gibt es keinen Punkt des Graphen, also auch keinen Wendepunkt. Der Tiefpunkt von g liegt bei x = 2 (g′ = 0).

Wahr / Falsch #7 20s ▶ Testen

Für f(x) = x/(x² + 1) ist f″(x) = 2x(x² − 3)/(x² + 1)³. Der Graph von f hat drei Wendestellen.

✓ Wahr

f″ = 0 ⇔ x = 0 oder x² = 3, also x = 0, x = √3 und x = −√3. An allen drei Stellen wechselt der Zähler das Vorzeichen; der Nenner (x² + 1)³ ist immer positiv.

Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Der Graph zeigt f(x) = x/(x² + 1) mit f″(x) = 2x(x² − 3)/(x² + 1)³. Bei welchen x-Werten liegen die Wendepunkte?

● x = 0, x = √3 und x = −√3
○ x = 1 und x = −1
○ nur bei x = 0

Die Wendestellen sind die Nullstellen von f″ mit Vorzeichenwechsel: x = 0 und x = ±√3 ≈ ±1,73. x = ±1 sind die Extremstellen (f′ = 0), und x = 0 ist nicht die einzige.

Mittel

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Für g(x) = x²/(x − 1) ist g″(x) = 2/(x − 1)³. Berechne g″(3).

✓ Antwort: 0.25

g″(3) = 2/2³ = 2/8 = 0,25.

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Der Graph zeigt h(x) = (x² + 4)/x mit h″(x) = 8/x³. Berechne h″(−2).

✓ Antwort: -1

h″(−2) = 8/(−8) = −1. Negativ: Rechtskrümmung.

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Für f(x) = x/(x² + 1) ist f″(x) = 2x(x² − 3)/(x² + 1)³. Bestimme die positive Wendestelle auf zwei Nachkommastellen.

✓ Antwort: 1.73205081

Zähler: 2x(x² − 3) = 0 ⇔ x = 0 oder x = ±√3. Positiv und ungleich 0: x = √3 ≈ 1,73.

Schwer

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Für f(x) = x/(x² + 1) ist f′(x) = (1 − x²)/(x² + 1)². Wende die Quotientenregel auf f′ an und berechne f″(1).

✓ Antwort: -0.5

Zähler von f′: Z = 1 − x², Z′ = −2x; Nenner N = (x² + 1)², N′ = 2(x² + 1)·2x. Bei x = 1: Z = 0, Z′ = −2, N = 4. f″(1) = (Z′·N − Z·N′)/N² = (−2·4 − 0)/16 = −0,5.

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Der Graph von h(x) = (x² + 4)/x hat h″(x) = 8/x³. An wie vielen der Stellen −2; −0,5; 0,5; 2 ist der Graph linksgekrümmt?

✓ Antwort: 2

Linkskrümmung heißt h″ > 0, also x³ > 0 und x > 0: das gilt für 0,5 und 2, das sind 2 Stellen. Für die negativen Stellen ist der Graph rechtsgekrümmt.

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Berechne die y-Koordinate des Wendepunkts von f(x) = x/(x² + 1) bei x = √3 auf drei Nachkommastellen.

✓ Antwort: 0.4330127

f(√3) = √3/(3 + 1) = √3/4 ≈ 0,433. Der Wendepunkt ist (√3 | 0,433).

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Untersuche m(x) = 1/(x² + 1) auf Wendepunkte. Leite m′(x) = −2x/(x² + 1)² mit der Quotientenregel noch einmal ab (Nenner v⁴, dann kürzen), bestimme die Nullstellen von m″ und prüfe den Vorzeichenwechsel. Gib die Koordinaten der Wendepunkte an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: m′ = −2x/(x² + 1)² mit Z = −2x, Z′ = −2, N = (x² + 1)², N′ = 2(x² + 1)·2x. m″ = (−2(x² + 1)² + 2x·4x(x² + 1))/(x² + 1)⁴ = (−2(x² + 1) + 8x²)/(x² + 1)³ = (6x² − 2)/(x² + 1)³. m″ = 0 ⇔ x² = 1/3 ⇔ x = ±1/√3 ≈ ±0,58. Der Zähler 6x² − 2 wechselt bei beiden Stellen das Vorzeichen (negativ dazwischen, positiv außerhalb). m(±1/√3) = 1/(4/3) = 0,75. Wendepunkte (±0,58 | 0,75).

m″ = (6x² − 2)/(x² + 1)³ hat die Nullstellen x = ±1/√3 mit Vorzeichenwechsel; m = 0,75 dort. Wendepunkte (±0,58 | 0,75).