Rechenvorteile und Klammern
Welche Klammerung erleichtert die Rechnung 3/8 + 5/7 + 5/8?
Erklärung: 3/8 und 5/8 haben denselben Nenner und ergeben zusammen 8/8 = 1; dann bleibt 1 + 5/7. In den anderen beiden Klammerungen müsste man sofort auf den Nenner 56 erweitern. (Der Wert ist immer gleich, nur der Rechenaufwand nicht.)
Die Streifen zeigen 3/8 und 5/8. Zusammen ergeben sie genau ein Ganzes.
Erklärung: Oben sind 3 der 8 Teile gefärbt, unten die anderen 5: 3/8 + 5/8 = 8/8 = 1. Solche Paare erkennt man beim Umordnen sofort.
Ergänze: 3/8 + 5/7 + 5/8 = (3/8 + 5/8) + 5/7 = ___ + 5/7
Erklärung: 3/8 + 5/8 = 8/8 = 1, dann bleibt 1 + 5/7 = 1 5/7.
Berechne geschickt: 0,48 + 1,7 + 0,52
Erklärung: 0,48 + 0,52 = 1, dann 1 + 1,7 = 2,7. Umordnen und Paare zu einem Ganzen zusammenfassen spart die schriftliche Rechnung.
Lena will 1/2 + 1/3 exakt ausrechnen. Welche Rechnung ist richtig?
Erklärung: Weil 1/3 = 0,333… nicht endet, gibt es keinen exakten endlichen Dezimalbruch dafür – mit Brüchen rechnet man exakt: 3/6 + 2/6 = 5/6. 0,3 und 0,33 sind nur gerundete Näherungen von 1/3, die Summen 0,8 und 0,83 sind deshalb nicht 5/6 (= 0,8333…).
Wie schreibt man 1/8 als Dezimalbruch?
Erklärung: 1 : 8 = 0,125: 1/8 = 125/1000. 0,18 setzt Zähler und Nenner nebeneinander, 0,8 wäre 8/10.
Die Pfeile zeigen 0,25 und 3/4. Zusammen ergeben sie genau 1.
Erklärung: 0,25 = 1/4 und 1/4 + 3/4 = 4/4 = 1. Hier ist das Rechnen mit Brüchen oder Dezimalbrüchen gleich leicht – man muss nur eine Darstellung für beide Zahlen wählen.
Schreibe 3/8 als Dezimalbruch.
Erklärung: 3 : 8 = 0,375. Oder: 1/8 = 0,125, also 3/8 = 3 · 0,125 = 0,375.
Berechne geschickt: 2 1/2 + 0,75
Erklärung: 2 1/2 = 2,5 und 2,5 + 0,75 = 3,25. Hier lohnt der Dezimalbruch: 1/2 = 0,5 endet, und die Addition geht Stelle für Stelle.
Der Rechenbaum gehört zum Term 1 − (1/4 + 1/8). Berechne ihn.
Erklärung: Die Klammer zuerst: 1/4 + 1/8 = 3/8, dann 1 − 3/8 = 5/8. 7/8 rechnet 1 − 1/4 + 1/8 (das Minus wirkt nur auf 1/4); 3/8 ist der Wert der Klammer selbst.
5/6 − (1/2 − 1/3) = 5/6 − 1/2 − 1/3
Erklärung: Das Minus vor der Klammer kehrt beide Vorzeichen um: 5/6 − (1/2 − 1/3) = 5/6 − 1/2 + 1/3 = 5/6 − 3/6 + 2/6 = 4/6 = 2/3. Die rechte Seite ergäbe 5/6 − 5/6 = 0.
Ergänze: 3/4 − (1/4 + 1/8) = 3/4 − ___/8
Erklärung: In der Klammer steht 1/4 + 1/8 = 2/8 + 1/8 = 3/8. Also 3/4 − 3/8 = 6/8 − 3/8 = 3/8.
Ein Krug enthält 1 l Saft. Lea trinkt erst 1/4 l, dann 1/8 l. Wie viele Achtelliter bleiben im Krug?
Erklärung: 1 − (1/4 + 1/8) = 1 − 3/8 = 5/8: Es bleiben 5 Achtelliter.
Berechne 7/8 − (1/4 + 1/8) + 1/2.
Erklärung: 7/8 − 3/8 + 1/2 = 4/8 + 4/8 = 1. 5/4 rechnet 7/8 − 1/4 + 1/8 + 1/2 (das Minus wirkt nur auf 1/4); 0 zieht zuletzt 1/2 ab statt es zu addieren.
Im Rechenbaum steht die Klammer 1/4 + 1/8 ganz unten. Man rechnet deshalb zuerst 7/8 − 1/4 = 5/8 und addiert danach 1/8.
Erklärung: Im Rechenbaum wird von unten nach oben gerechnet: Die Klammer 1/4 + 1/8 = 3/8 kommt zuerst und gibt den Wert für die Subtraktion; dann folgt 7/8 − 3/8 = 4/8, zuletzt + 1/2. Die Klammer darf man nicht auflösen, ohne das Minus davor auf beide Glieder zu beziehen.
Ergänze die Kette: 7/8 − (1/4 + 1/8) + 1/2 = 7/8 − 3/8 + 1/2 = ___/8 + 4/8
Erklärung: 7/8 − 3/8 = 4/8, und 1/2 = 4/8. Die nächste Zeile ist 4/8 + 4/8 = 8/8 = 1.
Ein Tank ist zu 7/8 gefüllt. Es werden erst 1/4 und dann 1/8 des Tanks entnommen, danach 1/2 nachgefüllt. Wie viele Achtel des Tanks sind es danach?
Erklärung: 7/8 − (1/4 + 1/8) + 1/2 = 7/8 − 3/8 + 4/8 = 8/8: Der Tank ist wieder voll, das sind 8 Achtel.
Berechne den Term 7/8 − (1/4 + 1/8) + 1/2 in einer fortlaufenden Rechnung (Zeile für Zeile, ein Schritt pro Zeile). Nenne zuerst, was zuerst gerechnet wird, und zeichne den Rechenbaum. Berechne dann geschickt: 3/8 + 5/7 + 5/8.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: 7/8 − (1/4 + 1/8) + 1/2 = 7/8 − 3/8 + 1/2 = 4/8 + 4/8 = 1; 3/8 + 5/7 + 5/8 = 1 + 5/7 = 1 5/7.