Rechenvorteile und Klammern

Shortcuts and brackets

Mathematik Klasse 6 18 Aufgaben

BrücheDezimalzahlenKommutativität

Kommutativ- und Assoziativgesetz erlauben es, Summanden so umzuordnen, dass Paare ein Ganzes ergeben (3/8 + 5/8), und man wählt die günstigste Darstellung: einen Bruch, wenn ein Dezimalbruch nicht endet (1/2 + 1/3), sonst den Dezimalbruch oder Bruch, mit dem es leichter geht. Klammern werden zuerst gerechnet; steht ein Minus vor der Klammer, gilt es für die ganze Klammer. Die Station schreibt den Termwert in einer fortlaufenden Rechnung auf. Sie räumt aus, das Minus nur auf das erste Glied der Klammer wirken zu lassen, und bereitet die Verbindung der Grundrechenarten und Terme in Jahrgangsstufe 7 vor.

Geschickt rechnen

Summanden darf man mit ihrem Vorzeichen umordnen und beliebig zusammenfassen (Kommutativ- und Assoziativgesetz). Das lohnt sich, wenn Paare ein Ganzes ergeben: $\frac{3}{8} + \frac{5}{7} + \frac{5}{8} = (\frac{3}{8} + \frac{5}{8}) + \frac{5}{7} = 1 + \frac{5}{7}$ . Bei der Subtraktion darf man nicht einfach vertauschen: 7/8 − 3/8 ist nicht 3/8 − 7/8. Beim Umordnen sucht man Paare, die sich zu einem Ganzen oder zu einer glatten Zahl ergänzen: 3/8 und 5/8, 0,48 und 0,52 – gleiche Nenner, deren Zähler zusammen den Nenner ergeben.

Ändere den Zähler k. Wie groß ist die Summe der beiden Zähler immer?

Man wählt auch die günstigste Darstellung: $2 \frac{1}{2} + 0, 75 = 2, 5 + 0, 75 = 3, 25$ , weil 1/2 = 0,5 endet. $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ rechnet man dagegen mit Brüchen, denn 1/3 = 0,333… hat keinen endlichen Dezimalbruch.

Klammern

Klammern werden zuerst gerechnet. Steht ein Minus davor, gilt es für die ganze Klammer: $1 - (\frac{1}{4} + \frac{1}{8}) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ , nicht $1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$ . Löst man die Klammer auf, dreht das Minus beide Vorzeichen um (1 − 1/4 − 1/8); wer nur das erste Glied umdreht, tappt in eine Falle.

Ein Term wie 7/8 − (1/4 + 1/8) + 1/2 hat drei Ebenen: zuerst die Klammer, dann die Subtraktion, zuletzt die Addition. Bei längeren Termen schreibt man deshalb eine fortlaufende Rechnung: jede Zeile ein Schritt, das Gleichheitszeichen nur zwischen Termen gleichen Werts:

$\frac{7}{8} - (\frac{1}{4} + \frac{1}{8}) + \frac{1}{2} = \frac{7}{8} - \frac{3}{8} + \frac{1}{2} = \frac{4}{8} + \frac{4}{8} = 1$

Der Rechenbaum wird von unten nach oben gerechnet: erst die Klammer, dann die Subtraktion, zuletzt die Addition.

Voraussetzungen (1)

Negative Brüche

Klasse 6

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche Klammerung erleichtert die Rechnung 3/8 + 5/7 + 5/8?

● (3/8 + 5/8) + 5/7
○ (3/8 + 5/7) + 5/8
○ 3/8 + (5/7 + 5/8)

3/8 und 5/8 haben denselben Nenner und ergeben zusammen 8/8 = 1; dann bleibt 1 + 5/7. In den anderen beiden Klammerungen müsste man sofort auf den Nenner 56 erweitern. (Der Wert ist immer gleich, nur der Rechenaufwand nicht.)

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Die Streifen zeigen 3/8 und 5/8. Zusammen ergeben sie genau ein Ganzes.

✓ Wahr

Oben sind 3 der 8 Teile gefärbt, unten die anderen 5: 3/8 + 5/8 = 8/8 = 1. Solche Paare erkennt man beim Umordnen sofort.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Lena will 1/2 + 1/3 exakt ausrechnen. Welche Rechnung ist richtig?

● 1/2 + 1/3 = 5/6
○ 1/2 + 1/3 = 0,5 + 0,3 = 0,8
○ 1/2 + 1/3 = 0,5 + 0,33 = 0,83

Weil 1/3 = 0,333… nicht endet, gibt es keinen exakten endlichen Dezimalbruch dafür – mit Brüchen rechnet man exakt: 3/6 + 2/6 = 5/6. 0,3 und 0,33 sind nur gerundete Näherungen von 1/3, die Summen 0,8 und 0,83 sind deshalb nicht 5/6 (= 0,8333…).

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Wie schreibt man 1/8 als Dezimalbruch?

● 0,125
○ 0,18
○ 0,8

1 : 8 = 0,125: 1/8 = 125/1000. 0,18 setzt Zähler und Nenner nebeneinander, 0,8 wäre 8/10.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Die Pfeile zeigen 0,25 und 3/4. Zusammen ergeben sie genau 1.

✓ Wahr

0,25 = 1/4 und 1/4 + 3/4 = 4/4 = 1. Hier ist das Rechnen mit Brüchen oder Dezimalbrüchen gleich leicht – man muss nur eine Darstellung für beide Zahlen wählen.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Der Rechenbaum gehört zum Term 1 − (1/4 + 1/8). Berechne ihn.

● 5/8
○ 7/8
○ 3/8

Die Klammer zuerst: 1/4 + 1/8 = 3/8, dann 1 − 3/8 = 5/8. 7/8 rechnet 1 − 1/4 + 1/8 (das Minus wirkt nur auf 1/4); 3/8 ist der Wert der Klammer selbst.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

5/6 − (1/2 − 1/3) = 5/6 − 1/2 − 1/3

✓ Falsch

Das Minus vor der Klammer kehrt beide Vorzeichen um: 5/6 − (1/2 − 1/3) = 5/6 − 1/2 + 1/3 = 5/6 − 3/6 + 2/6 = 4/6 = 2/3. Die rechte Seite ergäbe 5/6 − 5/6 = 0.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Berechne 7/8 − (1/4 + 1/8) + 1/2.

● 1
○ 5/4
○ 0

7/8 − 3/8 + 1/2 = 4/8 + 4/8 = 1. 5/4 rechnet 7/8 − 1/4 + 1/8 + 1/2 (das Minus wirkt nur auf 1/4); 0 zieht zuletzt 1/2 ab statt es zu addieren.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Im Rechenbaum steht die Klammer 1/4 + 1/8 ganz unten. Man rechnet deshalb zuerst 7/8 − 1/4 = 5/8 und addiert danach 1/8.

✓ Falsch

Im Rechenbaum wird von unten nach oben gerechnet: Die Klammer 1/4 + 1/8 = 3/8 kommt zuerst und gibt den Wert für die Subtraktion; dann folgt 7/8 − 3/8 = 4/8, zuletzt + 1/2. Die Klammer darf man nicht auflösen, ohne das Minus davor auf beide Glieder zu beziehen.

Mittel

Lückentext #1 20s ▶ Testen

Ergänze: 3/8 + 5/7 + 5/8 = (3/8 + 5/8) + 5/7 = ___ + 5/7

✓ Antwort: 1

3/8 + 5/8 = 8/8 = 1, dann bleibt 1 + 5/7 = 1 5/7.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Schreibe 3/8 als Dezimalbruch.

✓ Antwort: 0.375

3 : 8 = 0,375. Oder: 1/8 = 0,125, also 3/8 = 3 · 0,125 = 0,375.

Lückentext #3 20s ▶ Testen

Ergänze: 3/4 − (1/4 + 1/8) = 3/4 − ___/8

✓ Antwort: 3

In der Klammer steht 1/4 + 1/8 = 2/8 + 1/8 = 3/8. Also 3/4 − 3/8 = 6/8 − 3/8 = 3/8.

Lückentext #4 20s ▶ Testen

Ergänze die Kette: 7/8 − (1/4 + 1/8) + 1/2 = 7/8 − 3/8 + 1/2 = ___/8 + 4/8

✓ Antwort: 4

7/8 − 3/8 = 4/8, und 1/2 = 4/8. Die nächste Zeile ist 4/8 + 4/8 = 8/8 = 1.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne geschickt: 0,48 + 1,7 + 0,52

✓ Antwort: 2.7

0,48 + 0,52 = 1, dann 1 + 1,7 = 2,7. Umordnen und Paare zu einem Ganzen zusammenfassen spart die schriftliche Rechnung.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne geschickt: 2 1/2 + 0,75

✓ Antwort: 3.25

2 1/2 = 2,5 und 2,5 + 0,75 = 3,25. Hier lohnt der Dezimalbruch: 1/2 = 0,5 endet, und die Addition geht Stelle für Stelle.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Krug enthält 1 l Saft. Lea trinkt erst 1/4 l, dann 1/8 l. Wie viele Achtelliter bleiben im Krug?

✓ Antwort: 5

1 − (1/4 + 1/8) = 1 − 3/8 = 5/8: Es bleiben 5 Achtelliter.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Ein Tank ist zu 7/8 gefüllt. Es werden erst 1/4 und dann 1/8 des Tanks entnommen, danach 1/2 nachgefüllt. Wie viele Achtel des Tanks sind es danach?

✓ Antwort: 8

7/8 − (1/4 + 1/8) + 1/2 = 7/8 − 3/8 + 4/8 = 8/8: Der Tank ist wieder voll, das sind 8 Achtel.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Berechne den Term 7/8 − (1/4 + 1/8) + 1/2 in einer fortlaufenden Rechnung (Zeile für Zeile, ein Schritt pro Zeile). Nenne zuerst, was zuerst gerechnet wird, und zeichne den Rechenbaum. Berechne dann geschickt: 3/8 + 5/7 + 5/8. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: 7/8 − (1/4 + 1/8) + 1/2 = 7/8 − 3/8 + 1/2 = 4/8 + 4/8 = 8/8 = 1 (Klammer zuerst, dann von links nach rechts). 3/8 + 5/7 + 5/8 = (3/8 + 5/8) + 5/7 = 1 + 5/7 = 1 5/7.

7/8 − (1/4 + 1/8) + 1/2 = 7/8 − 3/8 + 1/2 = 4/8 + 4/8 = 1; 3/8 + 5/7 + 5/8 = 1 + 5/7 = 1 5/7.