Der Ablehnungsbereich
Ein Test mit n = 20 hat den Ablehnungsbereich {12, âŠ, 20}. Welche Menge ist der Annahmebereich?
ErklĂ€rung: Zum Annahmebereich gehört alles, was nicht abgelehnt wird: 0 bis 11. In {0, âŠ, 12} ist die 12 doppelt vergeben, in {1, âŠ, 11} fehlt die 0.
Im Bild ist der Ablehnungsbereich eingefÀrbt (n = 12). Wie lautet er?
ErklĂ€rung: EingefĂ€rbt sind die SĂ€ulen 10, 11 und 12, jede SĂ€ule steht fĂŒr eine Trefferzahl. Alle drei gehören dazu, auch der Randwert 12.
Der Wert 9 gehört zum Ablehnungsbereich {9, âŠ, 20}.
ErklĂ€rung: Die untere Grenze k = 9 ist der erste Wert des Ablehnungsbereichs {9, âŠ, 20}, sie gehört dazu.
Der eingefÀrbte Bereich ist der Ablehnungsbereich. Der Wert 9 gehört zum Annahmebereich.
ErklĂ€rung: EingefĂ€rbt sind die SĂ€ulen 9 bis 20, also gehört 9 zum Ablehnungsbereich. Der Annahmebereich ist {0, âŠ, 8}.
Bei n = 20 und dem Ablehnungsbereich {12, âŠ, 20} lautet der Annahmebereich {0, âŠ, ___}.
ErklÀrung: Der Annahmebereich reicht bis zum Wert direkt vor der Grenze k = 12, also bis 11.
Wie viele Trefferzahlen gehören bei n = 15 zum Ablehnungsbereich {8, âŠ, 15}?
ErklĂ€rung: Von 8 bis 15 sind es 15 â 8 + 1 = 8 Werte. Die Differenz 15 â 8 = 7 vergisst die Grenze 8.
FĂŒr X ~ B(10; 0,25) soll P(X â„ 6) mit der Tabelle der kumulierten Wahrscheinlichkeiten berechnet werden. Welche Rechnung ist richtig?
ErklĂ€rung: Das Gegenereignis von âmindestens 6â ist âhöchstens 5â: P(X â„ 6) = 1 â P(X †5). Bei 1 â P(X †6) wĂŒrde die 6 mit abgezogen.
n = 20, pâ = 0,25, α = 5 %. Es gilt P(X â„ 8) = 0,1018, P(X â„ 9) = 0,0409, P(X â„ 10) = 0,0139. Wie lautet der Ablehnungsbereich?
ErklĂ€rung: Gesucht ist das kleinste k mit P(X â„ k) †0,05. FĂŒr k = 8 ist 0,1018 zu groĂ, fĂŒr k = 9 ist 0,0409 erlaubt. k = 10 wĂ€re auch erlaubt, aber unnötig klein: Der Bereich soll so groĂ wie möglich sein.
Wegen P(X â„ 9) = 0,0409 und P(X â„ 10) = 0,0139 ist fĂŒr α = 5 % die Grenze k = 10.
ErklĂ€rung: P(X â„ 9) = 0,0409 ist schon höchstens 0,05, also ist k = 9 die Grenze. Gesucht ist das kleinste k, das die Bedingung erfĂŒllt.
Ratetest (n = 10, pâ = 0,25): P(X â„ 5) = 0,0781, P(X â„ 6) = 0,0197, P(X â„ 7) = 0,0035. Bei α = 1 % beginnt der Ablehnungsbereich {k, âŠ, 10} bei k = ?
ErklĂ€rung: Gesucht ist das kleinste k mit P(X â„ k) †0,01. FĂŒr k = 6 ist 0,0197 noch zu groĂ, fĂŒr k = 7 gilt 0,0035 †0,01.
5-%-HĂŒrde: n = 100, pâ = 0,05, α = 5 %. Aus der Tabelle: P(X †8) = 0,9369, P(X †9) = 0,9718, P(X †10) = 0,9885. Der Ablehnungsbereich beginnt bei k = ?
ErklĂ€rung: P(X â„ 9) = 1 â P(X †8) = 1 â 0,9369 = 0,0631 ist zu groĂ. P(X â„ 10) = 1 â P(X †9) = 1 â 0,9718 = 0,0282 †0,05. Also k = 10.
Der Ablehnungsbereich ist {9, âŠ, 20}. In der Stichprobe zeigen sich genau 9 Treffer. Wie entscheidet der Test?
ErklĂ€rung: 9 liegt im Ablehnungsbereich, der Randwert gehört dazu: Hâ wird abgelehnt. Bewiesen ist damit noch nichts, der Test liefert nur eine Entscheidung mit kleiner Irrtumswahrscheinlichkeit.
Der Ablehnungsbereich ist {6, âŠ, 10}. In der Stichprobe zeigen sich 5 Treffer. Wie entscheidet der Test?
ErklĂ€rung: 5 liegt im Annahmebereich {0, âŠ, 5}, also wird Hâ nicht abgelehnt. âNicht abgelehntâ ist nicht âbewiesenâ: Die Daten reichen nur nicht gegen Hâ.
Bei dem Ablehnungsbereich {6, âŠ, 10} wird Hâ schon bei genau 6 Treffern abgelehnt.
ErklÀrung: 6 ist die untere Grenze des Ablehnungsbereichs und gehört dazu.
Der Ablehnungsbereich ist {9, âŠ, 20}. Ab wie vielen Treffern wird Hâ mindestens abgelehnt?
ErklÀrung: Die kleinste Trefferzahl im Ablehnungsbereich ist die Grenze k = 9.
FĂŒnf Klassen schreiben den Ratetest und erreichen 3, 6, 7, 5 und 10 richtige Antworten. Der Ablehnungsbereich ist {6, âŠ, 10}. Bei wie vielen Klassen wird Hâ abgelehnt?
ErklÀrung: 6, 7 und 10 liegen im Ablehnungsbereich, 3 und 5 im Annahmebereich. Es sind 3 Klassen.
Ein Ratetest hat n = 20 Fragen mit je vier Antworten. Getestet wird Hâ: p †0,25 gegen Hâ: p > 0,25 zum Niveau α = 5 %. Aus der Tabelle: P(X †7) = 0,8982, P(X †8) = 0,9591, P(X †9) = 0,9861. Bestimme den Ablehnungsbereich und entscheide, ob Hâ bei 8 richtigen Antworten und bei 10 richtigen Antworten abgelehnt wird.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklĂ€rung: Die kleinste Grenze k mit P(X â„ k) †0,05 ist k = 9. Ablehnungsbereich {9, âŠ, 20}: 8 Treffer werden nicht, 10 Treffer werden abgelehnt.
X ist binomialverteilt. Es gilt P(X †8) = 0,97. Wie groà ist P(X ℠9)? Trag die Zahl ein.
P(X â„ 9) = 1 â P(X †8) = 1 â 0,97 = 0,03.
Rechtsseitiger Test: n = 20, pâ = 0,5, α = 5 %. P(X â„ 14) = 0,0577, P(X â„ 15) = 0,0207, P(X â„ 16) = 0,0059. Der Ablehnungsbereich ist {k, âŠ, 20}. Trag k ein.
Gesucht ist das kleinste k mit P(X ℠k) †0,05.
Gesucht ist das kleinste k mit P(X â„ k) †0,05. P(X â„ 14) = 0,0577 ist zu groĂ, P(X â„ 15) = 0,0207 nicht. Also k = 15.
Rechtsseitiger Test: n = 20, pâ = 0,3, α = 5 %. P(X â„ 9) = 0,1133, P(X â„ 10) = 0,0480, P(X â„ 11) = 0,0171. Der Ablehnungsbereich ist {k, âŠ, 20}. Trag k ein.
Gesucht ist das kleinste k mit P(X ℠k) †0,05.
Gesucht ist das kleinste k mit P(X â„ k) †0,05. P(X â„ 9) = 0,1133 ist zu groĂ, P(X â„ 10) = 0,0480 nicht. Also k = 10.
Rechtsseitiger Test: n = 50, pâ = 0,2, α = 5 %. P(X †14) = 0,9393, P(X †15) = 0,9692, P(X †16) = 0,9856. Der Ablehnungsbereich ist {k, âŠ, 50}. Trag k ein.
Aus P(X †k â 1) wird P(X â„ k) = 1 â P(X †k â 1): die Grenze liegt eins weiter.
P(X â„ k) = 1 â P(X †k â 1). P(X â„ 15) = 1 â 0,9393 = 0,0607 ist zu groĂ; P(X â„ 16) = 1 â 0,9692 = 0,0308 †0,05. Also k = 16.
Rechtsseitiger Test: n = 50, pâ = 0,4, α = 5 %. P(X †25) = 0,9427, P(X †26) = 0,9686, P(X †27) = 0,9840. Der Ablehnungsbereich ist {k, âŠ, 50}. Trag k ein.
Aus P(X †k â 1) wird P(X â„ k) = 1 â P(X †k â 1): die Grenze liegt eins weiter.
P(X â„ k) = 1 â P(X †k â 1). P(X â„ 26) = 1 â 0,9427 = 0,0573 ist zu groĂ; P(X â„ 27) = 1 â 0,9686 = 0,0314 †0,05. Also k = 27.
Der Ablehnungsbereich ist {15, âŠ, 20}. In der Stichprobe sind 14 Treffer. Wird Hâ abgelehnt?
Nein: 14 liegt nicht im Ablehnungsbereich. Hâ wird beibehalten; bewiesen ist sie damit nicht.
Der Ablehnungsbereich ist {11, âŠ, 20}. In der Stichprobe sind 10 Treffer. Wird Hâ abgelehnt?
Nein: 10 liegt nicht im Ablehnungsbereich. Hâ wird beibehalten; bewiesen ist sie damit nicht.
Der Ablehnungsbereich ist {0, âŠ, 7}. In der Stichprobe sind 6 Treffer. Wird Hâ abgelehnt?
Ja: 6 liegt im Ablehnungsbereich. Das Ergebnis ist signifikant, Hâ wird abgelehnt.
Der Ablehnungsbereich ist {0, âŠ, 13}. In der Stichprobe sind 12 Treffer. Wird Hâ abgelehnt?
Ja: 12 liegt im Ablehnungsbereich. Das Ergebnis ist signifikant, Hâ wird abgelehnt.
Rechtsseitiger Test: n = 20, pâ = 0,25, α = 1 %. P(X â„ 10) = 0,0139, P(X â„ 11) = 0,0039, P(X â„ 12) = 0,0009. Der Ablehnungsbereich ist {k, âŠ, 20}. Trag k ein.
Gesucht ist das kleinste k mit P(X ℠k) †0,01.
Gesucht ist das kleinste k mit P(X â„ k) †0,01. P(X â„ 10) = 0,0139 ist zu groĂ, P(X â„ 11) = 0,0039 nicht. Also k = 11.
Rechtsseitiger Test: n = 20, pâ = 0,4, α = 1 %. P(X â„ 13) = 0,0210, P(X â„ 14) = 0,0065, P(X â„ 15) = 0,0016. Der Ablehnungsbereich ist {k, âŠ, 20}. Trag k ein.
Gesucht ist das kleinste k mit P(X ℠k) †0,01.
Gesucht ist das kleinste k mit P(X â„ k) †0,01. P(X â„ 13) = 0,0210 ist zu groĂ, P(X â„ 14) = 0,0065 nicht. Also k = 14.
Rechtsseitiger Test mit k = 9. Gehört 9 Treffer selbst zum Ablehnungsbereich?
Ja: Der Ablehnungsbereich ist {9, âŠ, n}. Er beginnt bei k, k gehört dazu.
Rechtsseitiger Test mit k = 14. Gehört 14 Treffer selbst zum Ablehnungsbereich?
Ja: Der Ablehnungsbereich ist {14, âŠ, n}. Er beginnt bei k, k gehört dazu.
Lea vermutet, ihr WĂŒrfel zeigt zu oft eine 6 (Hâ: p > 1/6). Sie wĂŒrfelt 60-mal, α = 5 %. P(X â„ 15) = 0,0648, P(X â„ 16) = 0,0338, P(X â„ 17) = 0,0164. Der Ablehnungsbereich ist {k, âŠ, 60}. Trag k ein.
Gesucht ist das kleinste k mit P(X ℠k) †0,05.
Gesucht ist das kleinste k mit P(X â„ k) †0,05. P(X â„ 15) = 0,0648 ist zu groĂ, P(X â„ 16) = 0,0338 nicht. Also k = 16.
Ein BĂ€cker vermutet, mehr als 10 % der Brötchen sind zu klein (Hâ: p > 0,1). Er prĂŒft 50 Brötchen, α = 5 %. P(X â„ 9) = 0,0579, P(X â„ 10) = 0,0245, P(X â„ 11) = 0,0094. Der Ablehnungsbereich ist {k, âŠ, 50}. Trag k ein.
Gesucht ist das kleinste k mit P(X ℠k) †0,05.
Gesucht ist das kleinste k mit P(X â„ k) †0,05. P(X â„ 9) = 0,0579 ist zu groĂ, P(X â„ 10) = 0,0245 nicht. Also k = 10.