Entscheiden unter Unsicherheit
Welche Aufgabe schlieĂt von den Daten auf p?
ErklĂ€rung: Nur im ersten Fall liegen Daten vor (19 Sechsen), und gefragt ist, was sie ĂŒber p sagen: Statistik. In den beiden anderen Aufgaben ist p = 1/6 bekannt, und man sagt Daten voraus (Wahrscheinlichkeitsrechnung).
Diese Aufgabe schlieĂt von den Daten auf p: âEine MĂŒnze ist fair. Wie wahrscheinlich sind 7-mal Kopf bei 10 WĂŒrfen?â
ErklĂ€rung: Hier ist p = 0,5 bekannt und gefragt ist die Wahrscheinlichkeit fĂŒr ein Ergebnis. Das geht vom Modell zu den Daten, also ist es Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Welche Aufgabe schlieĂt von den Daten auf p?
ErklÀrung: Nur die erste Aufgabe startet bei einem Umfrageergebnis (27 von 100) und fragt nach dem WÀhleranteil p. In den anderen beiden ist p = 0,3 gegeben.
Das Histogramm zeigt, wie sich die Trefferzahl X bei bekanntem p = 0,25 verteilt. Es gehört zur Wahrscheinlichkeitsrechnung (von p auf die Daten).
ErklÀrung: Ein Histogramm der Verteilung setzt p voraus und sagt, welche Trefferzahlen wie wahrscheinlich sind. Das ist die Richtung vom Modell zu den Daten.
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung sagt aus einem bekannten Modell die Daten voraus. Die Statistik schlieĂt umgekehrt von den Daten auf das ___.
ErklÀrung: Statistik geht den umgekehrten Weg: Aus dem Stichprobenergebnis wird auf das Modell, hier die Wahrscheinlichkeit p, geschlossen.
Aufgabe von p zu den Daten: Mira rÀt bei 10 Fragen mit je vier Antworten (p = 0,25). Wie wahrscheinlich sind genau 2 richtige Antworten? (vier Dezimalen)
ErklĂ€rung: P(X = 2) = C(10, 2) · 0,25ÂČ Â· 0,75âž = 45 · 0,0625 · 0,1001 â 0,2816. Hier ist p bekannt, gesucht ist die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses.
Tom prĂŒft, ob ein WĂŒrfel zu oft die Sechs zeigt. Welches Vorgehen ist ein sauberer Test?
ErklÀrung: Ein Test ist nur fair, wenn Hypothesen, α und Entscheidungsregel vor der Stichprobe feststehen. Wer sie erst nach den Daten wÀhlt, kann jedes Ergebnis passend machen.
Bringe die Schritte eines Tests in die richtige Reihenfolge.
ErklÀrung: Erst stehen Hypothesen und Niveau fest, daraus folgt der Ablehnungsbereich. Erst danach wird die Stichprobe gezogen, und zuletzt wird nach der festen Regel entschieden.
Anna sieht nach 20 WĂŒrfen 9 Sechsen und legt erst jetzt fest, dass sie Hâ ab 9 Sechsen ablehnt. Das ist ein zulĂ€ssiger Test.
ErklÀrung: Die Grenze wurde nach den Daten gewÀhlt und passt zum Ergebnis. ZulÀssig ist nur eine Regel, die vor der Stichprobe feststeht.
Vor dem WĂŒrfeln steht fest: Hâ wird bei 8 oder mehr Sechsen abgelehnt. Danach wird gewĂŒrfelt und nach dieser Regel entschieden. Das ist ein zulĂ€ssiger Test.
ErklÀrung: Die Regel liegt vor den Daten fest, das Ergebnis kann sie nicht mehr beeinflussen.
Hypothesen, Signifikanzniveau und Entscheidungsregel werden ___ der Stichprobe festgelegt (vor oder nach).
ErklÀrung: Erst die Regel, dann die Daten: Nur so kann das Ergebnis die Entscheidung nicht zurechtbiegen.
Ein Test hat vier Schritte: Hypothesen und α festlegen, Ablehnungsbereich bestimmen, Stichprobe ziehen, entscheiden. Wie viele dieser Schritte dĂŒrfen erst nach der Stichprobe geschehen?
ErklÀrung: Nur das Entscheiden hÀngt vom Ergebnis ab. Die Hypothesen, α und der Ablehnungsbereich stehen vorher fest, also ein Schritt.
Beim Ratetest (10 Fragen, p = 0,25) hat jemand 4, 6 oder 8 richtige Antworten. Welches Ergebnis spricht am stĂ€rksten gegen ânur geratenâ?
ErklĂ€rung: Je weiter rechts die SĂ€ulen im Histogramm liegen, desto seltener ist das Ergebnis beim Raten: P(X â„ 8) â 0,0004 ist winzig, P(X â„ 4) â 0,2241 dagegen nicht. Je unwahrscheinlicher ein Ergebnis unter p = 0,25 ist, desto stĂ€rker spricht es gegen p = 0,25.
Wenn nur geraten wird (p = 0,25), sind 8 richtige Antworten bei 10 Fragen unmöglich.
ErklĂ€rung: Unwahrscheinlich ist nicht unmöglich: P(X â„ 8) â 0,0004. Ein solches Ergebnis ist ein Indiz gegen ânur geratenâ, aber kein Beweis.
Die eingefĂ€rbten SĂ€ulen zeigen â6 oder mehr richtigeâ beim reinen Raten. Von 100 Ratenden erreichen etwa wie viele dieses Ergebnis?
ErklĂ€rung: Die eingefĂ€rbten SĂ€ulen sind zusammen sehr niedrig: P(X â„ 6) â 0,0197, das sind etwa 2 von 100. Wer 20 oder 50 schĂ€tzt, ĂŒberschĂ€tzt die rechten SĂ€ulen.
Beim Raten (n = 10, p = 0,25) gilt P(X = 7) = 0,0031, P(X = 8) = 0,0004, P(X = 9) â 0,0000 und P(X = 10) â 0,0000. Wie wahrscheinlich sind 7 oder mehr richtige Antworten? (vier Dezimalen)
ErklÀrung: Die eingefÀrbten SÀulen werden addiert: 0,0031 + 0,0004 + 0 + 0 = 0,0035. Ein solches Ergebnis ist beim Raten sehr selten.
Beim Raten gilt P(X â„ 6) = 0,0197. Wie viele von 1000 Ratenden erreichen im Mittel mindestens 6 richtige Antworten?
ErklĂ€rung: 1000 · 0,0197 â 19,7, also etwa 20. In HĂ€ufigkeiten gedacht: Etwa jeder fĂŒnfzigste Rater erreicht so viel.
Mira hat im Ratetest (10 Fragen, je vier Antworten) 6 richtige Antworten. Beim reinen Raten gilt p = 0,25 und P(X = 6) = 0,0162, P(X = 7) = 0,0031, P(X = 8) = 0,0004, P(X = 9) = 0,00003, P(X = 10) = 0,000001. Berechne, wie wahrscheinlich ein so gutes Ergebnis beim reinen Raten ist, und begrĂŒnde in ein bis zwei SĂ€tzen, warum das ein Indiz gegen ânur geratenâ, aber kein Beweis ist.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklĂ€rung: P(X â„ 6) â 0,0197: Ein solches Ergebnis ist beim Raten selten, aber möglich. Es spricht gegen ânur geratenâ, beweist aber nichts.