Entscheiden unter Unsicherheit

Deciding under uncertainty

Mathematik Klasse 12 18 Aufgaben

WahrscheinlichkeitStochastikHypothesentestSignifikanztest

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung sagt aus einem bekannten p die Daten voraus, die Statistik schließt umgekehrt von den Daten auf p. Ein Signifikanztest prüft eine Annahme (Nullhypothese) daran, ob das Stichprobenergebnis unter ihr sehr unwahrscheinlich ist; Hypothesen und Niveau stehen vor der Stichprobe fest. Räumt aus, dass ein Test mit Sicherheit entscheidet oder dass man die Grenze nach den Daten wählen darf. Bereitet die Wahl der Nullhypothese und den Ablehnungsbereich vor.

Von p zu den Daten – und zurück

Miras Ratetest hat 10 Fragen mit je vier Antworten. Wer nur rät, hat die Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0, 25$ . Die Wahrscheinlichkeitsrechnung geht von einem bekannten $p$ aus und sagt voraus, wie die Trefferzahl $X$ streut. Ein Signifikanztest gehört zur Statistik und geht den umgekehrten Weg: Die Daten liegen vor (Mira hat 6 richtige), und wir fragen, welches $p$ dazu passt. Die Annahme, die wir prüfen („nur geraten“, $p = 0, 25$ ), heißt Nullhypothese H₀.

Der Regler zeigt die Idee: Bei $p = 0, 25$ sind 6 oder mehr Treffer selten, bei $p = 0, 6$ dagegen normal. Ein Ergebnis, das unter H₀ sehr unwahrscheinlich ist, spricht gegen H₀. Beweisen kann es nichts, denn unwahrscheinlich ist nicht unmöglich.

Schiebe p. Wie groß ist P(X ≥ 6) bei p = 0,25, und wie groß bei p = 0,6?

Der Ablauf eines Tests

Damit das Ergebnis die Entscheidung nicht zurechtbiegt, steht die Regel vor der Stichprobe fest. Zuerst legen wir die Hypothesen und das Signifikanzniveau α fest, zum Beispiel $α = 5 %$ : die größte Irrtumswahrscheinlichkeit, die wir beim Ablehnen von H₀ in Kauf nehmen. Daraus folgt der Ablehnungsbereich, die Trefferzahlen, bei denen wir H₀ ablehnen. Erst dann ziehen wir die Stichprobe und entscheiden nach der Regel. Wer die Grenze erst nach den Daten wählt, kann jedes Ergebnis passend machen.

Auf den folgenden Seiten füllen wir jeden Schritt: die Hypothesen, den Ablehnungsbereich, die beiden möglichen Fehler und die Frage, was ein Ergebnis wirklich aussagt.

Die vier Schritte eines Tests: Regel vor den Daten, Entscheidung mit den Daten.

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche Aufgabe schließt von den Daten auf p?

● Ein Würfel zeigt in 60 Würfen 19-mal die Sechs. Ist er fair?
○ Ein Würfel ist fair. Wie wahrscheinlich sind in 60 Würfen mindestens 19 Sechsen?
○ Ein Würfel wird 60-mal geworfen. Wie oft erwartet man die Sechs?

Nur im ersten Fall liegen Daten vor (19 Sechsen), und gefragt ist, was sie über p sagen: Statistik. In den beiden anderen Aufgaben ist p = 1/6 bekannt, und man sagt Daten voraus (Wahrscheinlichkeitsrechnung).

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Diese Aufgabe schließt von den Daten auf p: „Eine Münze ist fair. Wie wahrscheinlich sind 7-mal Kopf bei 10 Würfen?“

✓ Falsch

Hier ist p = 0,5 bekannt und gefragt ist die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis. Das geht vom Modell zu den Daten, also ist es Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welche Aufgabe schließt von den Daten auf p?

● In einer Umfrage nennen 27 von 100 Befragten die Partei A. Liegt ihr Wähleranteil wirklich bei 30 %?
○ Die Partei A hat 30 % Wähleranteil. Wie wahrscheinlich nennen sie in einer Umfrage unter 100 Personen höchstens 27?
○ Die Partei A hat 30 % Wähleranteil. Wie viele von 100 Befragten erwartet man für sie?

Nur die erste Aufgabe startet bei einem Umfrageergebnis (27 von 100) und fragt nach dem Wähleranteil p. In den anderen beiden ist p = 0,3 gegeben.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Das Histogramm zeigt, wie sich die Trefferzahl X bei bekanntem p = 0,25 verteilt. Es gehört zur Wahrscheinlichkeitsrechnung (von p auf die Daten).

✓ Wahr

Ein Histogramm der Verteilung setzt p voraus und sagt, welche Trefferzahlen wie wahrscheinlich sind. Das ist die Richtung vom Modell zu den Daten.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Tom prüft, ob ein Würfel zu oft die Sechs zeigt. Welches Vorgehen ist ein sauberer Test?

● Er legt H₀ und α fest, lässt dann 30 Würfe machen und entscheidet nach seiner Regel.
○ Er lässt 30 Würfe machen und wählt danach H₀ so, dass das Ergebnis dagegen spricht.
○ Er lässt 30 Würfe machen und legt danach α so fest, dass H₀ gerade noch abgelehnt wird.

Ein Test ist nur fair, wenn Hypothesen, α und Entscheidungsregel vor der Stichprobe feststehen. Wer sie erst nach den Daten wählt, kann jedes Ergebnis passend machen.

Sortieren #6 25s ▶ Testen

Bringe die Schritte eines Tests in die richtige Reihenfolge.

✓ Antwort: Hypothesen und α festlegen,Ablehnungsbereich bestimmen,Stichprobe ziehen,Entscheiden

Erst stehen Hypothesen und Niveau fest, daraus folgt der Ablehnungsbereich. Erst danach wird die Stichprobe gezogen, und zuletzt wird nach der festen Regel entschieden.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Anna sieht nach 20 Würfen 9 Sechsen und legt erst jetzt fest, dass sie H₀ ab 9 Sechsen ablehnt. Das ist ein zulässiger Test.

✓ Falsch

Die Grenze wurde nach den Daten gewählt und passt zum Ergebnis. Zulässig ist nur eine Regel, die vor der Stichprobe feststeht.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Vor dem Würfeln steht fest: H₀ wird bei 8 oder mehr Sechsen abgelehnt. Danach wird gewürfelt und nach dieser Regel entschieden. Das ist ein zulässiger Test.

✓ Wahr

Die Regel liegt vor den Daten fest, das Ergebnis kann sie nicht mehr beeinflussen.

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Beim Ratetest (10 Fragen, p = 0,25) hat jemand 4, 6 oder 8 richtige Antworten. Welches Ergebnis spricht am stärksten gegen „nur geraten“?

● 8 richtige
○ 4 richtige
○ 6 richtige

Je weiter rechts die Säulen im Histogramm liegen, desto seltener ist das Ergebnis beim Raten: P(X ≥ 8) ≈ 0,0004 ist winzig, P(X ≥ 4) ≈ 0,2241 dagegen nicht. Je unwahrscheinlicher ein Ergebnis unter p = 0,25 ist, desto stärker spricht es gegen p = 0,25.

Wahr / Falsch #10 15s ▶ Testen

Wenn nur geraten wird (p = 0,25), sind 8 richtige Antworten bei 10 Fragen unmöglich.

✓ Falsch

Unwahrscheinlich ist nicht unmöglich: P(X ≥ 8) ≈ 0,0004. Ein solches Ergebnis ist ein Indiz gegen „nur geraten“, aber kein Beweis.

Multiple Choice #11 20s ▶ Testen

Die eingefärbten Säulen zeigen „6 oder mehr richtige“ beim reinen Raten. Von 100 Ratenden erreichen etwa wie viele dieses Ergebnis?

● etwa 2
○ etwa 20
○ etwa 50

Die eingefärbten Säulen sind zusammen sehr niedrig: P(X ≥ 6) ≈ 0,0197, das sind etwa 2 von 100. Wer 20 oder 50 schätzt, überschätzt die rechten Säulen.

Mittel

Lückentext #1 20s ▶ Testen

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung sagt aus einem bekannten Modell die Daten voraus. Die Statistik schließt umgekehrt von den Daten auf das ___.

✓ Antwort: Modell

Statistik geht den umgekehrten Weg: Aus dem Stichprobenergebnis wird auf das Modell, hier die Wahrscheinlichkeit p, geschlossen.

Lückentext #2 20s ▶ Testen

Hypothesen, Signifikanzniveau und Entscheidungsregel werden ___ der Stichprobe festgelegt (vor oder nach).

✓ Antwort: vor

Erst die Regel, dann die Daten: Nur so kann das Ergebnis die Entscheidung nicht zurechtbiegen.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Beim Raten (n = 10, p = 0,25) gilt P(X = 7) = 0,0031, P(X = 8) = 0,0004, P(X = 9) ≈ 0,0000 und P(X = 10) ≈ 0,0000. Wie wahrscheinlich sind 7 oder mehr richtige Antworten? (vier Dezimalen)

✓ Antwort: 0.0035

Die eingefärbten Säulen werden addiert: 0,0031 + 0,0004 + 0 + 0 = 0,0035. Ein solches Ergebnis ist beim Raten sehr selten.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Aufgabe von p zu den Daten: Mira rät bei 10 Fragen mit je vier Antworten (p = 0,25). Wie wahrscheinlich sind genau 2 richtige Antworten? (vier Dezimalen)

✓ Antwort: 0.2816

P(X = 2) = C(10, 2) · 0,25² · 0,75⁸ = 45 · 0,0625 · 0,1001 ≈ 0,2816. Hier ist p bekannt, gesucht ist die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Test hat vier Schritte: Hypothesen und α festlegen, Ablehnungsbereich bestimmen, Stichprobe ziehen, entscheiden. Wie viele dieser Schritte dürfen erst nach der Stichprobe geschehen?

✓ Antwort: 1

Nur das Entscheiden hängt vom Ergebnis ab. Die Hypothesen, α und der Ablehnungsbereich stehen vorher fest, also ein Schritt.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Beim Raten gilt P(X ≥ 6) = 0,0197. Wie viele von 1000 Ratenden erreichen im Mittel mindestens 6 richtige Antworten?

✓ Antwort: 19.7

1000 · 0,0197 ≈ 19,7, also etwa 20. In Häufigkeiten gedacht: Etwa jeder fünfzigste Rater erreicht so viel.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Mira hat im Ratetest (10 Fragen, je vier Antworten) 6 richtige Antworten. Beim reinen Raten gilt p = 0,25 und P(X = 6) = 0,0162, P(X = 7) = 0,0031, P(X = 8) = 0,0004, P(X = 9) = 0,00003, P(X = 10) = 0,000001. Berechne, wie wahrscheinlich ein so gutes Ergebnis beim reinen Raten ist, und begründe in ein bis zwei Sätzen, warum das ein Indiz gegen „nur geraten“, aber kein Beweis ist. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Gesucht ist P(X ≥ 6) unter p = 0,25: P(X ≥ 6) = 0,0162 + 0,0031 + 0,0004 + 0,00003 + 0,000001 ≈ 0,0197, also etwa 2 %. Beim Raten kommt so ein Ergebnis selten vor; das spricht gegen „nur geraten“. Es ist aber möglich, also kein Beweis: Auch ein Rater kann Glück haben.

P(X ≥ 6) ≈ 0,0197: Ein solches Ergebnis ist beim Raten selten, aber möglich. Es spricht gegen „nur geraten“, beweist aber nichts.