Der Fehler 1. Art
Zoe hat beim Ratetest nur geraten und 6 von 10 richtig. Der Test (Hâ: nur geraten, Ablehnungsbereich {6, âŠ, 10}) lehnt Hâ ab. Was ist das?
ErklĂ€rung: Hâ gilt (Zoe hat geraten) und wird trotzdem abgelehnt: Fehler 1. Art. Ein Fehler 2. Art wĂ€re das Beibehalten von Hâ bei falschem Hâ.
Lena hat gelernt, ihr Ergebnis liegt im Ablehnungsbereich, der Test lehnt Hâ (nur geraten) ab. Was ist das?
ErklĂ€rung: Hâ ist hier falsch, und der Test lehnt Hâ ab: Das ist richtig. Ein Fehler 1. Art braucht ein wahres Hâ.
Mia hat nur geraten und schafft 7 richtige Antworten (Ablehnungsbereich {6, âŠ, 10}). Der Test lehnt Hâ ab. Das ist ein Fehler 1. Art.
ErklĂ€rung: Hâ (ânur geratenâ) gilt, wird aber abgelehnt: Fehler 1. Art. Zufall kann auch Ratenden ein gutes Ergebnis bescheren.
Tim hat nur geraten und schafft 4 richtige Antworten. Der Test behĂ€lt Hâ bei. Das ist ein Fehler 1. Art.
ErklĂ€rung: Hâ gilt und wird beibehalten: richtige Entscheidung. Ein Fehler 1. Art entsteht nur, wenn ein wahres Hâ abgelehnt wird.
Fehler 1. Art: Hâ wird abgelehnt, obwohl Hâ ___ (ein Wort).
ErklĂ€rung: Beim Fehler 1. Art wird eine zutreffende Nullhypothese verworfen: Hâ gilt, wird aber abgelehnt.
FĂŒnf TestausgĂ€nge: (A) Mira hat geraten, Hâ wird abgelehnt. (B) Lena hat gelernt, Hâ wird abgelehnt. (C) Tim hat geraten, Hâ wird beibehalten. (D) Nia hat geraten, Hâ wird abgelehnt. (E) Jo hat gelernt, Hâ wird beibehalten. Bei wie vielen liegt ein Fehler 1. Art vor?
ErklĂ€rung: Ein Fehler 1. Art braucht ein wahres Hâ (geraten) und eine Ablehnung: A und D. B ist richtig, C ist richtig, E ist ein Fehler 2. Art.
Ratetest mit Hâ: p †0,25. Mit welchem p rechnet man die Wahrscheinlichkeit fĂŒr den Fehler 1. Art aus?
ErklĂ€rung: Der Fehler 1. Art tritt auf, wenn Hâ gilt. Der ungĂŒnstigste Fall von Hâ ist der Randwert pâ = 0,25. Mit 0,5 wĂŒrde man eine Alternative einsetzen, 0,05 verwechselt p mit α.
Ratetest, n = 10, pâ = 0,25, Ablehnungsbereich {6, âŠ, 10}. Welcher Ausdruck ist die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art?
ErklĂ€rung: Fehler 1. Art heiĂt: Hâ gilt (p = 0,25) und X liegt im Ablehnungsbereich: P(X â„ 6). P(X †5) gehört zum Annahmebereich, p = 0,5 zu einer Alternative.
Die Verteilung gehört zu pâ = 0,25. Die Summe der eingefĂ€rbten SĂ€ulen ist die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art fĂŒr den Ablehnungsbereich {6, âŠ, 10}.
ErklĂ€rung: Die eingefĂ€rbten SĂ€ulen sind der Ablehnungsbereich unter Hâ (p = 0,25). Ihre Summe P(X â„ 6) ist die Wahrscheinlichkeit, Hâ fĂ€lschlich abzulehnen.
Ratetest, n = 10, pâ = 0,25, Ablehnungsbereich {7, âŠ, 10}. Aus der Tabelle: P(X †6) = 0,9965. Wie groĂ ist die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art? (vier Dezimalen)
ErklĂ€rung: P(X â„ 7) = 1 â P(X †6) = 1 â 0,9965 = 0,0035, also etwa 0,4 %.
Ein Test (n = 20, pâ = 0,25) hat den Ablehnungsbereich {9, âŠ, 20} mit der Fehlerwahrscheinlichkeit 0,0409. In 1000 Tests, bei denen Hâ gilt: Wie viele lehnen Hâ im Mittel fĂ€lschlich ab?
ErklĂ€rung: 1000 · 0,0409 â 40,9, also etwa 41 Fehlentscheidungen 1. Art.
Ratetest (n = 10, pâ = 0,25), α = 5 %, Ablehnungsbereich {6, âŠ, 10}. Wie groĂ ist die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art tatsĂ€chlich?
ErklĂ€rung: Die Wahrscheinlichkeit ist P(X â„ 6) = 0,0197. α = 0,05 ist nur die Obergrenze. 0,0781 gehört zu {5, âŠ, 10}, der zu groĂe Bereich.
Ratetest (n = 10, pâ = 0,25): P(X â„ 5) = 0,0781, P(X â„ 6) = 0,0197, P(X â„ 7) = 0,0035. Welcher Ablehnungsbereich gehört zu α = 10 %?
ErklĂ€rung: Gesucht ist das kleinste k mit P(X â„ k) †0,1. Schon 0,0781 fĂŒr k = 5 erfĂŒllt das, k = 4 wĂ€re zu groĂ. FĂŒr α = 5 % wĂ€re es {6, âŠ, 10}.
Beim Ratetest mit α = 5 % ist die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art genau 0,05.
ErklÀrung: Sie ist 0,0197: Die Wahrscheinlichkeiten springen von Wert zu Wert, ein Bereich mit genau 0,05 gibt es nicht. α ist nur eine Obergrenze.
Der Ablehnungsbereich {7, âŠ, 10} (α = 1 %) ist in dem Ablehnungsbereich {6, âŠ, 10} (α = 5 %) enthalten.
ErklĂ€rung: Ein kleineres α verlangt stĂ€rkere Beweislast, der Ablehnungsbereich schrumpft: {7, âŠ, 10} ist ein Teil von {6, âŠ, 10}.
Ratetest: P(X â„ 6) = 0,0197 und P(X â„ 7) = 0,0035. Bei α = 2 % beginnt der Ablehnungsbereich {k, âŠ, 10} bei k = ?
ErklĂ€rung: 0,0197 ist kleiner als 0,02, also gehört k = 6 noch dazu. Bei k = 5 (0,0781) wĂ€re es zu groĂ.
Ratetest zu α = 10 %, Ablehnungsbereich {5, âŠ, 10}. Aus der Tabelle: P(X †4) = 0,9219. Wie groĂ ist die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art tatsĂ€chlich? (vier Dezimalen)
ErklĂ€rung: P(X â„ 5) = 1 â P(X †4) = 1 â 0,9219 = 0,0781: nur 0,0781, also unter 0,1.
Ein Hersteller behauptet, höchstens 10 % seiner Feuerzeuge seien defekt. Ein PrĂŒfer testet Hâ: p †0,1 gegen Hâ: p > 0,1 an 30 Feuerzeugen zum Niveau α = 5 %. Aus der Tabelle: P(X †5) = 0,9268, P(X †6) = 0,9742, P(X †7) = 0,9922. Bestimme den Ablehnungsbereich, gib die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art an und erklĂ€re in einem Satz, was dieser Fehler hier bedeutet.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklĂ€rung: Fehler 1. Art heiĂt hier: Der PrĂŒfer lehnt âhöchstens 10 % defektâ ab, obwohl die Behauptung stimmt. Die Wahrscheinlichkeit dafĂŒr ist P(X â„ 7) â 0,0258.
Rechtsseitiger Test mit n = 20: Der Ablehnungsbereich ist {15, âŠ, 20}, und unter Hâ gilt P(X â„ 15) = 0,0207. Wie groĂ ist die Wahrscheinlichkeit fĂŒr den Fehler 1. Art (in %)?
α ist nur die Obergrenze. Die Wahrscheinlichkeit ist P(X ℠k).
Der Fehler 1. Art: Hâ ist wahr und wird trotzdem abgelehnt. Das passiert mit P(X â„ 15) = 0,0207 = 2,07 %. Sie ist höchstens α, nicht gleich α.
Rechtsseitiger Test mit n = 20: Der Ablehnungsbereich ist {10, âŠ, 20}, und unter Hâ gilt P(X â„ 10) = 0,0480. Wie groĂ ist die Wahrscheinlichkeit fĂŒr den Fehler 1. Art (in %)?
α ist nur die Obergrenze. Die Wahrscheinlichkeit ist P(X ℠k).
Der Fehler 1. Art: Hâ ist wahr und wird trotzdem abgelehnt. Das passiert mit P(X â„ 10) = 0,0480 = 4,80 %. Sie ist höchstens α, nicht gleich α.