Der Fehler 1. Art
The Type I error
Der Fehler 1. Art tritt auf, wenn H₀ gilt und trotzdem abgelehnt wird. Seine Wahrscheinlichkeit ist P(X im Ablehnungsbereich) unter p₀, zum Beispiel P(X ≥ 6) = 0,0197 beim Ratetest, in Häufigkeiten etwa 20 von 1000 Ratenden. Das Niveau α ist nur eine Obergrenze: Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit liegt meist darunter, und ein kleineres α verkleinert den Ablehnungsbereich. Räumt aus, α für die tatsächliche Fehlerwahrscheinlichkeit zu halten. Bereitet den Fehler 2. Art vor.
Wenn H₀ gilt und trotzdem abgelehnt wird
Ein Test kann sich irren. Angenommen, Mira hat nur geraten,
Kai hat nur geraten und trifft zufällig 7-mal: Der Test lehnt H₀ ab, und das ist ein Fehler 1. Art. Jonas hat gelernt und erreicht ebenfalls 7: Derselbe Test lehnt H₀ ab, diesmal richtig. Am Ergebnis allein sieht man nicht, welcher Fall vorliegt.
Wie wahrscheinlich ist der Fehler?
Die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art rechnen wir unter H₀, mit
Das
Voraussetzungen (1)
Ermöglicht (1)
Zoe hat beim Ratetest nur geraten und 6 von 10 richtig. Der Test (H₀: nur geraten, Ablehnungsbereich {6, …, 10}) lehnt H₀ ab. Was ist das?
Lena hat gelernt, ihr Ergebnis liegt im Ablehnungsbereich, der Test lehnt H₀ (nur geraten) ab. Was ist das?
Mia hat nur geraten und schafft 7 richtige Antworten (Ablehnungsbereich {6, …, 10}). Der Test lehnt H₀ ab. Das ist ein Fehler 1. Art.
Tim hat nur geraten und schafft 4 richtige Antworten. Der Test behält H₀ bei. Das ist ein Fehler 1. Art.
Ratetest mit H₀: p ≤ 0,25. Mit welchem p rechnet man die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art aus?
Ratetest, n = 10, p₀ = 0,25, Ablehnungsbereich {6, …, 10}. Welcher Ausdruck ist die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art?
Die Verteilung gehört zu p₀ = 0,25. Die Summe der eingefärbten Säulen ist die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art für den Ablehnungsbereich {6, …, 10}.
Ratetest (n = 10, p₀ = 0,25), α = 5 %, Ablehnungsbereich {6, …, 10}. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art tatsächlich?
Ratetest (n = 10, p₀ = 0,25): P(X ≥ 5) = 0,0781, P(X ≥ 6) = 0,0197, P(X ≥ 7) = 0,0035. Welcher Ablehnungsbereich gehört zu α = 10 %?
Beim Ratetest mit α = 5 % ist die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art genau 0,05.
Der Ablehnungsbereich {7, …, 10} (α = 1 %) ist in dem Ablehnungsbereich {6, …, 10} (α = 5 %) enthalten.
Fehler 1. Art: H₀ wird abgelehnt, obwohl H₀ ___ (ein Wort).
Ratetest, n = 10, p₀ = 0,25, Ablehnungsbereich {7, …, 10}. Aus der Tabelle: P(X ≤ 6) = 0,9965. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art? (vier Dezimalen)
Ratetest: P(X ≥ 6) = 0,0197 und P(X ≥ 7) = 0,0035. Bei α = 2 % beginnt der Ablehnungsbereich {k, …, 10} bei k = ?
Rechtsseitiger Test mit n = 20: Der Ablehnungsbereich ist {15, …, 20}, und unter H₀ gilt P(X ≥ 15) = 0,0207. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (in %)?
Rechtsseitiger Test mit n = 20: Der Ablehnungsbereich ist {10, …, 20}, und unter H₀ gilt P(X ≥ 10) = 0,0480. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (in %)?
Fünf Testausgänge: (A) Mira hat geraten, H₀ wird abgelehnt. (B) Lena hat gelernt, H₀ wird abgelehnt. (C) Tim hat geraten, H₀ wird beibehalten. (D) Nia hat geraten, H₀ wird abgelehnt. (E) Jo hat gelernt, H₀ wird beibehalten. Bei wie vielen liegt ein Fehler 1. Art vor?
Ein Test (n = 20, p₀ = 0,25) hat den Ablehnungsbereich {9, …, 20} mit der Fehlerwahrscheinlichkeit 0,0409. In 1000 Tests, bei denen H₀ gilt: Wie viele lehnen H₀ im Mittel fälschlich ab?
Ratetest zu α = 10 %, Ablehnungsbereich {5, …, 10}. Aus der Tabelle: P(X ≤ 4) = 0,9219. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art tatsächlich? (vier Dezimalen)
Ein Hersteller behauptet, höchstens 10 % seiner Feuerzeuge seien defekt. Ein Prüfer testet H₀: p ≤ 0,1 gegen H₁: p > 0,1 an 30 Feuerzeugen zum Niveau α = 5 %. Aus der Tabelle: P(X ≤ 5) = 0,9268, P(X ≤ 6) = 0,9742, P(X ≤ 7) = 0,9922. Bestimme den Ablehnungsbereich, gib die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art an und erkläre in einem Satz, was dieser Fehler hier bedeutet. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.