Der linksseitige Test
Ein Test hat Hâ: p < 0,4. Wo liegt der Ablehnungsbereich?
ErklĂ€rung: Hâ behauptet ein kleineres p, also sprechen kleine Trefferzahlen gegen Hâ: Der Ablehnungsbereich liegt links, {0, âŠ, g}. Rechts lĂ€ge er bei Hâ: p > pâ, und zwei Seiten gibt es bei einem einseitigen Test nicht.
Das Bild zeigt die Verteilung unter pâ = 0,5 (n = 10) und den eingefĂ€rbten Ablehnungsbereich. Welche Gegenhypothese gehört dazu?
ErklĂ€rung: EingefĂ€rbt sind die kleinen Trefferzahlen links. Sie sprechen fĂŒr ein kleineres p: Hâ: p < 0,5. Bei Hâ: p > 0,5 wĂ€re die rechte Seite eingefĂ€rbt.
Bei Hâ: p > 0,3 liegt der Ablehnungsbereich bei den groĂen Trefferzahlen.
ErklĂ€rung: Hâ: p > 0,3 wird durch viele Treffer gestĂŒtzt, der Ablehnungsbereich liegt rechts, bei den groĂen Trefferzahlen. Bei den kleinen Trefferzahlen lĂ€ge er nur bei Hâ: p < 0,3.
Bei Hâ: p < pâ liegt der Ablehnungsbereich ___ (links oder rechts).
ErklĂ€rung: Ein kleineres p fĂŒhrt zu kleinen Trefferzahlen, der Ablehnungsbereich liegt am linken Rand der Verteilung.
FĂŒr n = 30 und Hâ: p < 0,7 ist der Ablehnungsbereich {0, âŠ, 17}. Wie viele Trefferzahlen gehören zu ihm?
ErklĂ€rung: Von 0 bis 17 sind es 17 â 0 + 1 = 18 Werte, die 0 zĂ€hlt mit.
Freiwurftest (n = 20, Hâ: p < 0,8): Hâ wird bei höchstens 12 Treffern abgelehnt. Wie lautet der Ablehnungsbereich?
ErklĂ€rung: âHöchstens 12â sind die Werte 0 bis 12, links und mit dem Randwert. {12, âŠ, 20} liegt auf der falschen Seite, {0, âŠ, 11} verliert die 12.
Freiwurftest (n = 20, Hâ: p â„ 0,8), Ablehnungsbereich {0, âŠ, 12}. Welche Wahrscheinlichkeit ergibt sich fĂŒr ihn bei p = 0,8?
ErklĂ€rung: Der Ablehnungsbereich umfasst die Werte 0 bis 12, das ist P(X †12), direkt aus der Tabelle. P(X â„ 12) und 1 â P(X †12) gehören zu rechten Bereichen.
Bei Hâ: p < 0,8 wird Hâ bei sehr wenigen Treffern abgelehnt.
ErklĂ€rung: Sehr wenige Treffer sprechen fĂŒr ein kleineres p. Abgelehnt wird im Bereich {0, âŠ, g}; sehr viele Treffer sprechen fĂŒr Hâ oder ein gröĂeres p.
FreiwĂŒrfe (n = 20, p = 0,8): P(X †11) = 0,00998 und P(X = 12) = 0,02216. Wie groĂ ist P(X †12)? (vier Dezimalen)
ErklĂ€rung: P(X †12) = P(X †11) + P(X = 12) = 0,00998 + 0,02216 = 0,03214 â 0,0321.
Der Ablehnungsbereich ist {0, âŠ, 12}. FĂŒnf Serien enden mit 9, 12, 13, 15 und 16 Treffern. Bei wie vielen Serien wird Hâ abgelehnt?
ErklÀrung: 9 und 12 liegen im Ablehnungsbereich, 13, 15 und 16 nicht. Es sind 2 Serien.
n = 20, pâ = 0,8, α = 5 %. Es gilt P(X †11) = 0,0100, P(X †12) = 0,0321, P(X †13) = 0,0867. Wie lautet der Ablehnungsbereich?
ErklĂ€rung: Gesucht ist das gröĂte g mit P(X †g) †0,05. FĂŒr g = 13 ist 0,0867 zu groĂ, fĂŒr g = 12 gilt 0,0321 †0,05. g = 11 wĂ€re erlaubt, aber unnötig klein.
Wegen P(X †11) = 0,0100 und P(X †12) = 0,0321 ist fĂŒr α = 5 % die Grenze g = 11.
ErklĂ€rung: Auch P(X †12) = 0,0321 ist höchstens 0,05, also ist g = 12 die Grenze. Links wird das gröĂte g gesucht, das die Bedingung erfĂŒllt.
n = 20, pâ = 0,8, α = 2 %. Es gilt P(X †10) = 0,0026, P(X †11) = 0,0100, P(X †12) = 0,0321. Wie lautet der Ablehnungsbereich?
ErklĂ€rung: Gesucht ist das gröĂte g mit P(X †g) †0,02: 0,0321 ist zu groĂ, 0,0100 passt. Ablehnungsbereich {0, âŠ, 11}.
Umfrage: n = 100, pâ = 0,4, α = 5 %. P(X †30) = 0,0248, P(X †31) = 0,0398, P(X †32) = 0,0615. Der Ablehnungsbereich ist {0, âŠ, g} mit g = ?
ErklĂ€rung: Das gröĂte g mit P(X †g) †0,05 ist 31, denn P(X †32) = 0,0615 ist zu groĂ.
Umfrage: n = 100, pâ = 0,4, α = 1 %. P(X †27) = 0,0046, P(X †28) = 0,0084, P(X †29) = 0,0148. Der Ablehnungsbereich ist {0, âŠ, g} mit g = ?
ErklĂ€rung: Das gröĂte g mit P(X †g) †0,01 ist 28 (0,0084). Bei 29 wĂ€re 0,0148 zu groĂ.
Eine Spielerin traf bisher 80 % ihrer FreiwĂŒrfe. Nach einer Verletzung vermutet der Trainer, dass die Quote gesunken ist. Er lĂ€sst sie 20 FreiwĂŒrfe werfen und testet zum Niveau α = 5 %. Aus der Tabelle (p = 0,8): P(X †11) = 0,0100, P(X †12) = 0,0321, P(X †13) = 0,0867. Formuliere Hâ und Hâ, bestimme den Ablehnungsbereich und entscheide fĂŒr 10 Treffer und fĂŒr 15 Treffer.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklĂ€rung: Linksseitig: g ist das gröĂte g mit P(X †g) †0,05, also g = 12. Bei 10 Treffern wird Hâ abgelehnt, bei 15 nicht.
Linksseitiger Test: n = 20, pâ = 0,6, α = 5 %. P(X †6) = 0,0065, P(X †7) = 0,0210, P(X †8) = 0,0565. Der Ablehnungsbereich ist {0, âŠ, k}. Trag k ein.
Der Bereich soll so groà wie möglich sein: Auch 7 hat P(X †7) †0,05.
P(X †8) ist gröĂer als 0,05.
Gesucht ist das gröĂte k mit P(X †k) †0,05. P(X †7) = 0,0210 passt, P(X †8) = 0,0565 ist zu groĂ. Also k = 7.
Linksseitiger Test: n = 20, pâ = 0,7, α = 5 %. P(X †9) = 0,0171, P(X †10) = 0,0480, P(X †11) = 0,1133. Der Ablehnungsbereich ist {0, âŠ, k}. Trag k ein.
Der Bereich soll so groà wie möglich sein: Auch 10 hat P(X †10) †0,05.
P(X †11) ist gröĂer als 0,05.
Gesucht ist das gröĂte k mit P(X †k) †0,05. P(X †10) = 0,0480 passt, P(X †11) = 0,1133 ist zu groĂ. Also k = 10.
Ein Hersteller sagt: Höchstens 10 % der Lampen sind defekt. Ein HÀndler vermutet mehr. Wie wird getestet?
Hâ: p > 0,1. Viele defekte Lampen sprechen gegen Hâ: der Ablehnungsbereich liegt rechts.
Eine Partei sagt: Mindestens 40 % wÀhlen uns. Eine Zeitung vermutet weniger. Wie wird getestet?
Hâ: p < 0,4. Wenige Stimmen sprechen gegen Hâ: der Ablehnungsbereich liegt links.
Linksseitiger Test: n = 50, pâ = 0,3, α = 5 %. P(X †8) = 0,0183, P(X †9) = 0,0402, P(X †10) = 0,0789. Der Ablehnungsbereich ist {0, âŠ, k}. Trag k ein.
Der Bereich soll so groà wie möglich sein: Auch 9 hat P(X †9) †0,05.
P(X †10) ist gröĂer als 0,05.
Gesucht ist das gröĂte k mit P(X †k) †0,05. P(X †9) = 0,0402 passt, P(X †10) = 0,0789 ist zu groĂ. Also k = 9.
Linksseitiger Test: n = 50, pâ = 0,5, α = 5 %. P(X †17) = 0,0164, P(X †18) = 0,0325, P(X †19) = 0,0595. Der Ablehnungsbereich ist {0, âŠ, k}. Trag k ein.
Der Bereich soll so groà wie möglich sein: Auch 18 hat P(X †18) †0,05.
P(X †19) ist gröĂer als 0,05.
Gesucht ist das gröĂte k mit P(X †k) †0,05. P(X †18) = 0,0325 passt, P(X †19) = 0,0595 ist zu groĂ. Also k = 18.
Linksseitiger Test: n = 50, pâ = 0,4, α = 1 %. P(X †10) = 0,0022, P(X †11) = 0,0057, P(X †12) = 0,0133. Der Ablehnungsbereich ist {0, âŠ, k}. Trag k ein.
Der Bereich soll so groà wie möglich sein: Auch 11 hat P(X †11) †0,01.
P(X †12) ist gröĂer als 0,01.
Gesucht ist das gröĂte k mit P(X †k) †0,01. P(X †11) = 0,0057 passt, P(X †12) = 0,0133 ist zu groĂ. Also k = 11.
Linksseitiger Test: n = 50, pâ = 0,6, α = 1 %. P(X †20) = 0,0034, P(X †21) = 0,0076, P(X †22) = 0,0160. Der Ablehnungsbereich ist {0, âŠ, k}. Trag k ein.
Der Bereich soll so groà wie möglich sein: Auch 21 hat P(X †21) †0,01.
P(X †22) ist gröĂer als 0,01.
Gesucht ist das gröĂte k mit P(X †k) †0,01. P(X †21) = 0,0076 passt, P(X †22) = 0,0160 ist zu groĂ. Also k = 21.