Amplitude und Mittellinie
Welche Amplitude hat f(x) = 3 · sin x?
Erklärung: Der Faktor 3 multipliziert alle Höhen des Sinus: Die Werte laufen von −3 bis 3, die Amplitude (Abstand von der Mitte zum Hochpunkt) ist 3. Die Gesamthöhe von −3 bis 3 wäre 6; die 1 ist die Amplitude von sin x ohne Faktor.
Der Graph gehört zu f(x) = a · sin x mit a > 0. Welchen Wert hat a?
Erklärung: Der Hochpunkt liegt bei y = 2,5 und der Tiefpunkt bei y = −2,5. Die Amplitude ist der Abstand von der Mitte zum Hochpunkt, also a = 2,5. Die 5 wäre die ganze Höhe, 1,25 die Hälfte des Hochpunkts.
Es sei f(x) = 1,5 · sin x. Der größte Funktionswert von f ist ___.
Erklärung: Der Sinus hat den größten Wert 1, mit 1,5 multipliziert ergibt sich 1,5.
Eine Schwingung um die x-Achse hat einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt im Abstand von 10 voneinander (Modell a · sin x mit a > 0). Wie groß ist a?
Erklärung: Der Abstand 10 reicht vom Tiefpunkt −a bis zum Hochpunkt a, also 2a = 10 und a = 5.
Welcher Term gehört zum Graphen?
Erklärung: Die Werte laufen von −2 bis 2, also |a| = 2. Der Graph fällt zuerst, statt zu steigen: Er ist an der x-Achse gespiegelt, also a = −2. Bei 2 · sin x würde er zuerst steigen; −0,5 hätte die Amplitude 0,5.
Welcher der drei Graphen gehört zu f(x) = −3 · sin x?
Erklärung: Der Faktor −3 streckt auf die Amplitude 3 und spiegelt an der x-Achse: Der Graph fällt zuerst bis −3 (Graph C). Graph A steigt zuerst (Faktor +3, das Vorzeichen fehlt), und Graph B hat nur die Amplitude 1 (der Faktor 3 fehlt).
Es sei f(x) = −2 · sin x. Berechne f(3π/2).
Erklärung: sin(3π/2) = −1, also f(3π/2) = −2 · (−1) = 2. Dort liegt der Hochpunkt der gespiegelten Welle.
Der Graph von f(x) = 2 · sin x wird an der x-Achse gespiegelt. Der neue Graph gehört zu a · sin x mit a = ___.
Erklärung: Spiegeln an der x-Achse ändert das Vorzeichen aller Höhen: a = −2. Die Amplitude bleibt |a| = 2.
Welche Gerade ist die Mittellinie von f(x) = 2 · sin x + 3?
Erklärung: Der Summand 3 verschiebt den ganzen Graphen um 3 nach oben, also schwingt die Welle um y = 3. y = 2 ist die Amplitude, y = 5 der Hochpunkt.
Der Graph gehört zu f(x) = a · sin x + d. Welchen Wert hat d?
Erklärung: Die Mitte zwischen Hochpunkt (0,5) und Tiefpunkt (−2,5) ist (0,5 + (−2,5)) : 2 = −1, das ist d. Die Zahlen −2,5 und 0,5 sind die Extremwerte selbst.
Welche Werte haben Hochpunkt und Tiefpunkt von f(x) = 1,5 · sin x + 1?
Erklärung: Die Mittellinie ist y = 1, die Amplitude 1,5: Hochpunkt 1 + 1,5 = 2,5, Tiefpunkt 1 − 1,5 = −0,5. Bei „1,5 und −1,5“ fehlt d, und bei „2,5 und −1,5“ wurde d nur beim Hochpunkt beachtet.
Es sei f(x) = 2 · sin x − 1. Der kleinste Funktionswert von f ist ___.
Erklärung: Der kleinste Wert von sin x ist −1: 2 · (−1) − 1 = −3. Allgemein d − |a| = −1 − 2 = −3.
Ein Riesenrad hat die Nabenhöhe 30 m und den Radius 25 m. Die Höhe einer Gondel wird durch a · sin(…) + d beschrieben (a > 0). Wie hoch ist der höchste Punkt (in m)?
Erklärung: Die Nabenhöhe ist die Mittellinie d = 30, der Radius die Amplitude a = 25. Höchster Punkt: d + a = 30 + 25 = 55 m.
Welcher Term gehört zum Graphen?
Erklärung: Hochpunkt 1 und Tiefpunkt −3 geben a = (1 − (−3)) : 2 = 2 und d = (1 + (−3)) : 2 = −1. Bei „4 · sin x“ wurde die ganze Höhe als a genommen, bei „+ 1“ das Vorzeichen von d vertauscht (die Welle läge dann zwischen −1 und 3).
Welcher der drei Graphen gehört zu f(x) = 3 · sin x + 2?
Erklärung: Die Welle schwingt um die Mittellinie y = 2 zwischen 2 − 3 = −1 und 2 + 3 = 5: Graph B. Graph A hat a und d vertauscht (2 · sin x + 3, Mittellinie y = 3), Graph C hat das falsche Vorzeichen bei d (Mittellinie y = −2).
Der Graph von f(x) = 2 · sin x wird zuerst an der x-Achse gespiegelt und dann um 1,5 nach oben verschoben. Gib den Term der neuen Funktion an und bestimme Mittellinie, Amplitude, Hochpunkt und Tiefpunkt im Intervall von 0 bis 2π. Skizziere den Graphen.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Erst mit −1 multiplizieren (Spiegelung), dann 1,5 addieren (Verschiebung). Extrema: 1,5 ± 2.