Amplitude und Mittellinie

Amplitude and midline

Mathematik Klasse 10 16 Aufgaben
TrigonometrieFunktionenSinus

In f(x) = a · sin x + d streckt a den Graphen in y-Richtung (Amplitude |a|, für a < 0 gespiegelt an der x-Achse) und d verschiebt ihn nach oben: Die Welle schwingt um y = d zwischen d − |a| und d + |a|. Der Abschnitt räumt aus, dass die Amplitude die ganze Höhe von Tief- zu Hochpunkt sei, dass d die Amplitude ändere und dass a nicht negativ sein dürfe. Er bereitet das Ablesen von a und d aus Extremwerten und die Modellierung mit Mittelwert und halber Schwankung vor.

Die Amplitude a

Ein Faktor a in streckt den Graphen in y-Richtung: Alle Höhen werden mit a multipliziert. Die Amplitude ist , der Abstand vom Hochpunkt zur x-Achse, um die die Welle schwingt, nicht die ganze Höhe von Tief- zu Hochpunkt. Bei liegen die Werte zwischen −⁠3 und 3; die Periode bleibt 2π. Ist a negativ, wird der Graph an der x-Achse gespiegelt, und die Amplitude ist dann der Betrag |a|, denn ein Abstand ist nie negativ: beginnt nicht mit einem Anstieg, sondern mit einem Abstieg.

Ändere a, auch ins Negative. Was bleibt gleich, was ändert sich?

Die Mittellinie d

Ein Summand d in verschiebt den ganzen Graphen um d nach oben, bei negativem d nach unten. Die Wellen schwingen jetzt um die Mittellinie . Hochpunkt und Tiefpunkt liegen bei und . Bei laufen die Werte von −⁠0,5 bis 2,5, und die Amplitude ist weiterhin 1,5: d ändert die Lage der Welle, nicht ihre Höhe. Der Wertebereich ist das Intervall von d − |a| bis d + |a|.

Ändere d und a. Welche Größe bestimmt die Mitte der Welle, welche ihre Höhe?

Voraussetzungen (1)

Vom Kreis zum Graphen
Klasse 10
›

Ermöglicht (1)

Term aus dem Graphen
Klasse 10
›
Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welche Amplitude hat f(x) = 3 · sin x?

  • ● 3
  • ○ 6
  • ○ 1
Der Faktor 3 multipliziert alle Höhen des Sinus: Die Werte laufen von −3 bis 3, die Amplitude (Abstand von der Mitte zum Hochpunkt) ist 3. Die Gesamthöhe von −3 bis 3 wäre 6; die 1 ist die Amplitude von sin x ohne Faktor.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Der Graph gehört zu f(x) = a · sin x mit a > 0. Welchen Wert hat a?

  • ● 2,5
  • ○ 5
  • ○ 1,25
Der Hochpunkt liegt bei y = 2,5 und der Tiefpunkt bei y = −2,5. Die Amplitude ist der Abstand von der Mitte zum Hochpunkt, also a = 2,5. Die 5 wäre die ganze Höhe, 1,25 die Hälfte des Hochpunkts.
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Welcher Term gehört zum Graphen?

  • ● −2 · sin x
  • ○ 2 · sin x
  • ○ −0,5 · sin x
Die Werte laufen von −2 bis 2, also |a| = 2. Der Graph fällt zuerst, statt zu steigen: Er ist an der x-Achse gespiegelt, also a = −2. Bei 2 · sin x würde er zuerst steigen; −0,5 hätte die Amplitude 0,5.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Welcher der drei Graphen gehört zu f(x) = −3 · sin x?

  • ● Graph C
  • ○ Graph A
  • ○ Graph B
Der Faktor −3 streckt auf die Amplitude 3 und spiegelt an der x-Achse: Der Graph fällt zuerst bis −3 (Graph C). Graph A steigt zuerst (Faktor +3, das Vorzeichen fehlt), und Graph B hat nur die Amplitude 1 (der Faktor 3 fehlt).
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Welche Gerade ist die Mittellinie von f(x) = 2 · sin x + 3?

  • ● y = 3
  • ○ y = 2
  • ○ y = 5
Der Summand 3 verschiebt den ganzen Graphen um 3 nach oben, also schwingt die Welle um y = 3. y = 2 ist die Amplitude, y = 5 der Hochpunkt.
Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Der Graph gehört zu f(x) = a · sin x + d. Welchen Wert hat d?

  • ● −1
  • ○ −2,5
  • ○ 0,5
Die Mitte zwischen Hochpunkt (0,5) und Tiefpunkt (−2,5) ist (0,5 + (−2,5)) : 2 = −1, das ist d. Die Zahlen −2,5 und 0,5 sind die Extremwerte selbst.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Welche Werte haben Hochpunkt und Tiefpunkt von f(x) = 1,5 · sin x + 1?

  • ● 2,5 und −0,5
  • ○ 1,5 und −1,5
  • ○ 2,5 und −1,5
Die Mittellinie ist y = 1, die Amplitude 1,5: Hochpunkt 1 + 1,5 = 2,5, Tiefpunkt 1 − 1,5 = −0,5. Bei „1,5 und −1,5“ fehlt d, und bei „2,5 und −1,5“ wurde d nur beim Hochpunkt beachtet.
Multiple Choice #8 35s ▶ Testen

Welcher Term gehört zum Graphen?

  • ● 2 · sin x − 1
  • ○ 4 · sin x − 1
  • ○ 2 · sin x + 1
Hochpunkt 1 und Tiefpunkt −3 geben a = (1 − (−3)) : 2 = 2 und d = (1 + (−3)) : 2 = −1. Bei „4 · sin x“ wurde die ganze Höhe als a genommen, bei „+ 1“ das Vorzeichen von d vertauscht (die Welle läge dann zwischen −1 und 3).
Multiple Choice #9 30s ▶ Testen

Welcher der drei Graphen gehört zu f(x) = 3 · sin x + 2?

  • ● Graph B
  • ○ Graph A
  • ○ Graph C
Die Welle schwingt um die Mittellinie y = 2 zwischen 2 − 3 = −1 und 2 + 3 = 5: Graph B. Graph A hat a und d vertauscht (2 · sin x + 3, Mittellinie y = 3), Graph C hat das falsche Vorzeichen bei d (Mittellinie y = −2).
Mittel
Zahleneingabe #1 15s ▶ Testen

Es sei f(x) = 1,5 · sin x. Der größte Funktionswert von f ist ___.

✓ Antwort: 1.5
Der Sinus hat den größten Wert 1, mit 1,5 multipliziert ergibt sich 1,5.
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Es sei f(x) = −2 · sin x. Berechne f(3π/2).

✓ Antwort: 2
sin(3π/2) = −1, also f(3π/2) = −2 · (−1) = 2. Dort liegt der Hochpunkt der gespiegelten Welle.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Es sei f(x) = 2 · sin x − 1. Der kleinste Funktionswert von f ist ___.

✓ Antwort: -3
Der kleinste Wert von sin x ist −1: 2 · (−1) − 1 = −3. Allgemein d − |a| = −1 − 2 = −3.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Eine Schwingung um die x-Achse hat einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt im Abstand von 10 voneinander (Modell a · sin x mit a > 0). Wie groß ist a?

✓ Antwort: 5
Der Abstand 10 reicht vom Tiefpunkt −a bis zum Hochpunkt a, also 2a = 10 und a = 5.
Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = 2 · sin x wird an der x-Achse gespiegelt. Der neue Graph gehört zu a · sin x mit a = ___.

✓ Antwort: -2
Spiegeln an der x-Achse ändert das Vorzeichen aller Höhen: a = −2. Die Amplitude bleibt |a| = 2.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Riesenrad hat die Nabenhöhe 30 m und den Radius 25 m. Die Höhe einer Gondel wird durch a · sin(…) + d beschrieben (a > 0). Wie hoch ist der höchste Punkt (in m)?

✓ Antwort: 55
Die Nabenhöhe ist die Mittellinie d = 30, der Radius die Amplitude a = 25. Höchster Punkt: d + a = 30 + 25 = 55 m.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = 2 · sin x wird zuerst an der x-Achse gespiegelt und dann um 1,5 nach oben verschoben. Gib den Term der neuen Funktion an und bestimme Mittellinie, Amplitude, Hochpunkt und Tiefpunkt im Intervall von 0 bis 2π. Skizziere den Graphen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Spiegeln: −2 · sin x; Verschieben um 1,5 nach oben: g(x) = −2 · sin x + 1,5. Mittellinie y = 1,5; Amplitude 2; Hochpunkt bei x = 3π/2 mit g = 3,5 (denn sin = −1); Tiefpunkt bei x = π/2 mit g = −0,5. Der Graph beginnt bei (0 | 1,5) und fällt zuerst.
Erst mit −1 multiplizieren (Spiegelung), dann 1,5 addieren (Verschiebung). Extrema: 1,5 ± 2.