Periode und Verschiebung
Welche Periode hat f(x) = sin(3x)?
Erklärung: Die Welle ist vollständig, wenn das Argument 3x den Wert 2π erreicht, also bei x = 2π/3. 6π ergäbe sich, wenn man 2π mit 3 multipliziert (die Welle würde gestreckt statt gestaucht), und 3 ist der Faktor b, nicht die Periode.
Der Graph gehört zu f(x) = sin(b · x). Welchen Wert hat b?
Erklärung: Zwischen 0 und 2π liegen zwei volle Wellen, die Periode ist also π. Aus p = 2π/b folgt b = 2π/π = 2. Bei b = 1/2 wäre die Periode 4π (nur eine halbe Welle im Bild), und π ist die Periode selbst.
Welcher der drei Graphen gehört zu f(x) = sin(0,5 · x)?
Erklärung: Die Periode ist 2π/0,5 = 4π: Im Intervall von 0 bis 4π läuft genau eine volle Welle (Graph C). Zwei Wellen (Graph A) gehören zu b = 1, vier Wellen (Graph B) zu b = 2; ein kleines b streckt die Welle, es staucht sie nicht.
Wie groß ist die Periode von f(x) = sin(5x) (auf zwei Dezimalstellen)?
Erklärung: p = 2π/5 ≈ 1,2566, gerundet 1,26.
Die Funktion f(x) = sin(b · x) soll die Periode 4 haben. Wie groß ist b (auf zwei Dezimalstellen)?
Erklärung: Aus p = 2π/b folgt b = 2π/p = 2π/4 = π/2 ≈ 1,5708, gerundet 1,57.
Welcher der drei Graphen gehört zu f(x) = sin(x + 2)?
Erklärung: Die Klammer x + 2 ist bei x = −2 null, dort steigt die Welle durch die Mittellinie (bei sin x geschieht das bei 0): Der Graph liegt 2 weiter links (Graph A). Graph B ist nach rechts verschoben (das wäre sin(x − 2)), Graph C nach oben (das wäre sin x + 2, der Summand steht außerhalb der Funktion).
Der orange Graph gehört zu f(x) = sin(x + c), der gestrichelte zu sin x. Welchen Wert hat c?
Erklärung: Der orange Graph liegt 1 weiter rechts, seine aufsteigende Nullstelle ist bei x = 1 statt bei 0. Die Klammer x + c ist dort null: 1 + c = 0, also c = −1. Bei c = 1 läge der Graph links; bei −2 wäre er um 2 verschoben.
Die Funktion f(x) = sin(x − 3) hat bei x = 3 eine Nullstelle.
Erklärung: Bei x = 3 ist die Klammer x − 3 = 0, und sin 0 = 0. Der Graph ist um 3 nach rechts verschoben, die Nullstelle von sin x bei 0 wandert nach 3.
Die Funktion f(x) = sin(x + 1,5) steigt im Bereich −2 ≤ x ≤ 2 an genau einer Stelle durch die Mittellinie. Bei welchem x?
Erklärung: Dort ist die Klammer null: x + 1,5 = 0, also x = −1,5. (Die nächste ansteigende Stelle wäre −1,5 + 2π, außerhalb des Bereichs.)
Der Graph von f(x) = sin(x + c) steigt bei x = 2,5 durch die Mittellinie. Wie groß ist c?
Erklärung: Dort ist die Klammer null: 2,5 + c = 0, also c = −2,5. Der Graph ist um 2,5 nach rechts verschoben.
Der Graph von sin(3x + π/2) entsteht aus dem von sin(3x) durch eine Verschiebung um
Erklärung: Man klammert b = 3 aus: 3x + π/2 = 3 · (x + π/6). Die Verschiebung ist π/6 nach links, nicht π/2. Nach rechts würde nur ein Minuszeichen in der Klammer verschieben.
Welche Klammerform gehört zu sin(3x − 6)?
Erklärung: 3x − 6 = 3 · (x − 2): Man klammert 3 aus beiden Summanden aus, aus −6 wird −2. In den anderen Formen wurde −6 nicht durch 3 geteilt oder sogar mit 3 multipliziert.
Die Funktion f(x) = sin(4x + 2) entsteht aus sin(4x) durch Verschiebung nach links um die kleinste positive Zahl ___.
Erklärung: 4x + 2 = 4 · (x + 0,5): Die Verschiebung ist 2 : 4 = 0,5 nach links.
Der Graph von f(x) = sin(2x − π/2) entsteht aus dem von sin(2x) durch Verschiebung nach rechts um die kleinste positive Zahl ___ (auf zwei Dezimalstellen).
Erklärung: 2x − π/2 = 2 · (x − π/4): Die Verschiebung ist π/4 ≈ 0,7854 nach rechts, gerundet 0,79.
Welcher Term gehört zum Graphen?
Erklärung: Zwei ansteigende Nullstellen liegen eine Periode auseinander (x = −1 und x = −1 + π ≈ 2,14), also p = π und b = 2π/π = 2. Die Welle steigt bei x = −1 durch die Mittellinie: Die Klammer ist dort null, x + c = 0, also c = 1 und sin(2 · (x + 1)). Bei „2x + 1“ läge die Nullstelle bei x = −0,5 (die 1 wurde nicht durch b geteilt), bei „(x − 1)“ bei x = +1 (Vorzeichenfehler).
Gegeben ist f(x) = sin(3x − π/2). Klammere die 3 aus und bestimme Periode und Verschiebung gegenüber sin(3x) (mit Richtung). Gib die Stellen im Intervall von 0 bis π an, an denen der Graph auf der Mittellinie ansteigt, und skizziere den Graphen in diesem Intervall.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Erst ausklammern: 3x − π/2 = 3 · (x − π/6). Dann Periode 2π/3 und Verschiebung π/6 nach rechts.