Periode und Verschiebung

Period and shift

Mathematik Klasse 10 16 Aufgaben
TrigonometrieFunktionenPeriodizitätSinus

In f(x) = sin(b · (x + c)) staucht b den Graphen in x-Richtung: Die Periode ist p = 2π/b, ein größeres b macht sie kürzer. Die Zahl c verschiebt um |c| nach links, wenn c > 0, und nach rechts, wenn c < 0. Steht sin(bx + φ) ohne Klammer, klammert man b aus: die Verschiebung ist φ/b. Der Abschnitt räumt aus, dass (x + c) nach rechts schiebt (Zazkis, Liljedahl und Gadowsky 2003), dass die Periode b sei und dass φ statt φ/b schiebt. Er bereitet das Ablesen von b und c aus dem Graphen vor.

Die Periode b

In läuft das Argument b·x doppelt so schnell durch die Werte von 0 bis 2π, wenn b = 2 ist. Die volle Welle ist zu Ende, sobald b·x den Wert 2π erreicht, also bei . Die Periode ist . Bei b = 2 ist p = π, bei b = 0,5 ist p = 4π. Ein größeres b heißt eine kürzere Periode: Die Welle wird gestaucht. Ist b kleiner als 1, wird sie gestreckt.

Ändere b und beobachte den Punkt p. Was passiert mit der Welle, wenn b kleiner als 1 ist?

Die Verschiebung c

In verschiebt c den Graphen um |c|: für c > 0 nach links, für c < 0 nach rechts. Der Grund: Die Klammer ist null bei x = −c, dort steigt die Welle durch die Mittellinie. Bei liegt diese Stelle bei x = −⁠1, also eine Einheit links vom Ursprung. Steht die Zahl nicht in einer Klammer, klammert man zuerst b aus: verschiebt um π⁠/⁠2, nicht um π.

Ändere c. Auf welcher Seite des Ursprungs liegt Z, wenn c positiv ist?

Voraussetzungen (1)

Vom Kreis zum Graphen
Klasse 10
›

Ermöglicht (1)

Term aus dem Graphen
Klasse 10
›
Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welche Periode hat f(x) = sin(3x)?

  • ● 2π/3
  • ○ 6π
  • ○ 3
Die Welle ist vollständig, wenn das Argument 3x den Wert 2π erreicht, also bei x = 2π/3. 6π ergäbe sich, wenn man 2π mit 3 multipliziert (die Welle würde gestreckt statt gestaucht), und 3 ist der Faktor b, nicht die Periode.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Der Graph gehört zu f(x) = sin(b · x). Welchen Wert hat b?

  • ● 2
  • ○ 1/2
  • ○ π
Zwischen 0 und 2π liegen zwei volle Wellen, die Periode ist also π. Aus p = 2π/b folgt b = 2π/π = 2. Bei b = 1/2 wäre die Periode 4π (nur eine halbe Welle im Bild), und π ist die Periode selbst.
Multiple Choice #3 15s ▶ Testen

Welcher der drei Graphen gehört zu f(x) = sin(0,5 · x)?

  • ● Graph C
  • ○ Graph A
  • ○ Graph B
Die Periode ist 2π/0,5 = 4π: Im Intervall von 0 bis 4π läuft genau eine volle Welle (Graph C). Zwei Wellen (Graph A) gehören zu b = 1, vier Wellen (Graph B) zu b = 2; ein kleines b streckt die Welle, es staucht sie nicht.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Welcher der drei Graphen gehört zu f(x) = sin(x + 2)?

  • ● Graph A
  • ○ Graph B
  • ○ Graph C
Die Klammer x + 2 ist bei x = −2 null, dort steigt die Welle durch die Mittellinie (bei sin x geschieht das bei 0): Der Graph liegt 2 weiter links (Graph A). Graph B ist nach rechts verschoben (das wäre sin(x − 2)), Graph C nach oben (das wäre sin x + 2, der Summand steht außerhalb der Funktion).
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Der orange Graph gehört zu f(x) = sin(x + c), der gestrichelte zu sin x. Welchen Wert hat c?

  • ● −1
  • ○ 1
  • ○ −2
Der orange Graph liegt 1 weiter rechts, seine aufsteigende Nullstelle ist bei x = 1 statt bei 0. Die Klammer x + c ist dort null: 1 + c = 0, also c = −1. Bei c = 1 läge der Graph links; bei −2 wäre er um 2 verschoben.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = sin(x − 3) hat bei x = 3 eine Nullstelle.

✓ Wahr
Bei x = 3 ist die Klammer x − 3 = 0, und sin 0 = 0. Der Graph ist um 3 nach rechts verschoben, die Nullstelle von sin x bei 0 wandert nach 3.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Der Graph von sin(3x + π/2) entsteht aus dem von sin(3x) durch eine Verschiebung um

  • ● π/6 nach links
  • ○ π/2 nach links
  • ○ π/6 nach rechts
Man klammert b = 3 aus: 3x + π/2 = 3 · (x + π/6). Die Verschiebung ist π/6 nach links, nicht π/2. Nach rechts würde nur ein Minuszeichen in der Klammer verschieben.
Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Welche Klammerform gehört zu sin(3x − 6)?

  • ● sin(3 · (x − 2))
  • ○ sin(3 · (x − 6))
  • ○ sin(3 · (x − 18))
3x − 6 = 3 · (x − 2): Man klammert 3 aus beiden Summanden aus, aus −6 wird −2. In den anderen Formen wurde −6 nicht durch 3 geteilt oder sogar mit 3 multipliziert.
Multiple Choice #9 40s ▶ Testen

Welcher Term gehört zum Graphen?

  • ● sin(2 · (x + 1))
  • ○ sin(2x + 1)
  • ○ sin(2 · (x − 1))
Zwei ansteigende Nullstellen liegen eine Periode auseinander (x = −1 und x = −1 + π ≈ 2,14), also p = π und b = 2π/π = 2. Die Welle steigt bei x = −1 durch die Mittellinie: Die Klammer ist dort null, x + c = 0, also c = 1 und sin(2 · (x + 1)). Bei „2x + 1“ läge die Nullstelle bei x = −0,5 (die 1 wurde nicht durch b geteilt), bei „(x − 1)“ bei x = +1 (Vorzeichenfehler).
Mittel
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Wie groß ist die Periode von f(x) = sin(5x) (auf zwei Dezimalstellen)?

✓ Antwort: 1.26
p = 2π/5 ≈ 1,2566, gerundet 1,26.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = sin(x + 1,5) steigt im Bereich −2 ≤ x ≤ 2 an genau einer Stelle durch die Mittellinie. Bei welchem x?

✓ Antwort: -1.5
Dort ist die Klammer null: x + 1,5 = 0, also x = −1,5. (Die nächste ansteigende Stelle wäre −1,5 + 2π, außerhalb des Bereichs.)
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = sin(4x + 2) entsteht aus sin(4x) durch Verschiebung nach links um die kleinste positive Zahl ___.

✓ Antwort: 0.5
4x + 2 = 4 · (x + 0,5): Die Verschiebung ist 2 : 4 = 0,5 nach links.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = sin(b · x) soll die Periode 4 haben. Wie groß ist b (auf zwei Dezimalstellen)?

✓ Antwort: 1.57
Aus p = 2π/b folgt b = 2π/p = 2π/4 = π/2 ≈ 1,5708, gerundet 1,57.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = sin(x + c) steigt bei x = 2,5 durch die Mittellinie. Wie groß ist c?

✓ Antwort: -2.5
Dort ist die Klammer null: 2,5 + c = 0, also c = −2,5. Der Graph ist um 2,5 nach rechts verschoben.
Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = sin(2x − π/2) entsteht aus dem von sin(2x) durch Verschiebung nach rechts um die kleinste positive Zahl ___ (auf zwei Dezimalstellen).

✓ Antwort: 0.79
2x − π/2 = 2 · (x − π/4): Die Verschiebung ist π/4 ≈ 0,7854 nach rechts, gerundet 0,79.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Gegeben ist f(x) = sin(3x − π/2). Klammere die 3 aus und bestimme Periode und Verschiebung gegenüber sin(3x) (mit Richtung). Gib die Stellen im Intervall von 0 bis π an, an denen der Graph auf der Mittellinie ansteigt, und skizziere den Graphen in diesem Intervall. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: sin(3x − π/2) = sin(3 · (x − π/6)). Periode p = 2π/3. Verschiebung um π/6 nach rechts (c = −π/6). Die Welle steigt durch die Mittellinie, wo die Klammer null ist: bei x = π/6 und eine Periode später bei π/6 + 2π/3 = 5π/6; beide liegen im Intervall [0; π]. Skizze: f(0) = sin(−π/2) = −1 (Tiefpunkt), Nullstelle bei π/6 (steigend), Hochpunkt bei π/3, Nullstelle bei π/2 (fallend), Tiefpunkt bei 2π/3, Nullstelle bei 5π/6 (steigend), Hochpunkt bei π.
Erst ausklammern: 3x − π/2 = 3 · (x − π/6). Dann Periode 2π/3 und Verschiebung π/6 nach rechts.