Term aus dem Graphen
Der Graph gehört zu f(x) = a · sin x + d. Welche Werte haben a und d?
Erklärung: Hochpunkt 5, Tiefpunkt −1: a = (5 − (−1)) : 2 = 3 und d = (5 + (−1)) : 2 = 2. Die Wahl a = 5 nimmt den Hochpunkt als Amplitude (er enthält aber schon d), a = 6 ist die ganze Höhe statt der halben.
Eine Welle hat den Hochpunkt bei y = 7 und den Tiefpunkt bei y = 1. Welche Werte haben a und d in a · sin(b(x + c)) + d?
Erklärung: a = (7 − 1) : 2 = 3 und d = (7 + 1) : 2 = 4. Wer die Extremwerte direkt als a und d übernimmt (7 und 1), verwechselt Lage und Höhe; a = 6 ist die ganze Schwankung.
Eine Welle hat den Hochpunkt bei y = 9 und den Tiefpunkt bei y = −3. Wie groß ist d (die Höhe der Mittellinie)?
Erklärung: d = (Max + Min) : 2 = (9 + (−3)) : 2 = 3. Die Mittellinie liegt genau in der Mitte zwischen den Extremwerten.
Ein Hafen hat bei Hochwasser 4,2 m und bei Niedrigwasser 1,0 m Wasserstand. Der Wasserstand wird durch a · sin(b(t + c)) + d beschrieben (a > 0). Wie groß ist a (in m)?
Erklärung: a = (4,2 − 1,0) : 2 = 1,6 m. Der Wasserstand schwankt um 1,6 m nach oben und unten um die Mittellinie d = 2,6 m.
Lies aus dem Graphen ab: Auf welcher Höhe liegt die Mittellinie?
Erklärung: Hochpunkt 2,5 und Tiefpunkt −0,5: Die Mitte ist (2,5 + (−0,5)) : 2 = 1. Die Welle schwingt um y = 1.
Der Graph gehört zu f(x) = sin(b · x). Zwei benachbarte Hochpunkte sind markiert. Welchen Wert hat b?
Erklärung: Der Abstand der Hochpunkte ist die Periode p = 5 − 1 = 4. Aus p = 2π/b folgt b = 2π/4 = π/2 ≈ 1,57. Die 4 ist die Periode selbst, und 8π entsteht, wenn man mit p multipliziert (b = 2π · p).
Zwei benachbarte Hochpunkte einer Sinuswelle liegen bei x = 1 und x = 4. Welchen Wert hat b in sin(b(x + c))?
Erklärung: Die Periode ist 4 − 1 = 3, also b = 2π/3 ≈ 2,09. Die 3 ist die Periode selbst; 6π ergäbe sich mit b = 2π · p.
Zwei benachbarte Hochpunkte einer Sinuswelle haben den Abstand π/3. Wie groß ist b?
Erklärung: p = π/3, also b = 2π/p = 2π · 3/π = 6.
Die Tageslänge in München schwankt mit der Periode 365 Tage (t in Tagen). Welchen Wert hat b in einem Sinusmodell sin(b · (t + c)) (auf drei Dezimalstellen)?
Erklärung: b = 2π/365 ≈ 0,01721, gerundet 0,017. Weil die Periode in Tagen angegeben ist, ist b in „pro Tag“.
Lies aus dem Graphen ab: Wie groß ist die Periode der Welle?
Erklärung: Der Abstand der beiden markierten Hochpunkte ist 3 − 0,5 = 2,5. Das ist die Periode p (nicht die x-Koordinate des ersten Hochpunkts).
Der Graph gehört zu f(x) = sin(x + c). Im markierten Punkt Z steigt er durch die Mittellinie. Welchen Wert hat c?
Erklärung: In Z ist die Klammer null: x + c = 0 mit x = −2, also c = 2. Bei c = −2 läge Z rechts vom Ursprung (Vorzeichenfehler). Der Wert 0,43 entsteht, wenn man c am Hochpunkt (x ≈ −0,43) abliest statt an der ansteigenden Nullstelle.
Eine Sinuswelle a · sin(b(x + c)) + d steigt bei x = π/4 durch ihre Mittellinie. Welchen Wert hat c?
Erklärung: An der ansteigenden Stelle ist die Klammer null: π/4 + c = 0, also c = −π/4. Bei π/4 wurde das Vorzeichen vergessen (die Welle läge links), π/2 ist die Stelle, an der der Sinus (mit b = 1) seinen Hochpunkt hat, nicht seine ansteigende Nullstelle.
Die Welle f(x) = sin(x + c) steigt bei x = 3 durch die Mittellinie. Wie groß ist c?
Erklärung: Dort ist die Klammer null: 3 + c = 0, also c = −3.
Die Funktion f(x) = cos(x + c) hat ihren Hochpunkt bei x = 2. Wie groß ist c?
Erklärung: Der Kosinus hat seinen Hochpunkt, wenn sein Argument 0 ist: 2 + c = 0, also c = −2.
Eine Welle f(x) = a · sin(b(x + c)) + d hat den Hochpunkt bei y = 4, den Tiefpunkt bei y = −2, die Periode π und steigt bei x = π/4 durch die Mittellinie. Wie groß ist c (auf zwei Dezimalstellen)?
Erklärung: c hängt nur von der ansteigenden Stelle ab: π/4 + c = 0, also c = −π/4 ≈ −0,7854, gerundet −0,79. (Nebenbei: a = 3, d = 1, b = 2.)
Welcher Term gehört zum Graphen?
Erklärung: Hochpunkt 2 und Tiefpunkt −4 geben a = (2 − (−4)) : 2 = 3 und d = (2 + (−4)) : 2 = −1. Zwei Hochpunkte liegen 4 auseinander (x = 2 und x = 6), also p = 4 und b = 2π/4 = π/2. Die Welle steigt bei x = 1 durch die Mittellinie, also x = −c und c = −1. Bei „(x + 1)“ wäre das Vorzeichen von c vertauscht, bei „2 · sin“ wurde a aus dem Hochpunkt statt aus der halben Schwankung gelesen.
Eine Welle f(x) = a · sin(b(x + c)) + d hat den Hochpunkt (π/3 | 5) und den benachbarten Tiefpunkt (2π/3 | −1). Bestimme a, d, b und c und gib den Term an. Führe zum Schluss eine Probe an einem der beiden Extrempunkte durch.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Amplitude und Mittellinie aus den Extremwerten, b aus der Periode (zwei Extrema liegen eine halbe Periode auseinander), c aus der Bedingung, dass das Argument am Hochpunkt π/2 ist.
Ein Graph hat die Hochpunkte (1 | 4) und (7 | 4) und dazwischen den Tiefpunkt (4 | −2). Bestimme einen Term der Form f(x) = a · cos(b(x + c)) + d. Erkläre dabei, wie du a, d, b und c aus den Punkten liest, und prüfe deinen Term am Tiefpunkt.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Beim Kosinus liegt der Hochpunkt dort, wo die Klammer null ist: x = −c. Daher c = −1.