Term aus dem Graphen

Term from the graph

Mathematik Klasse 10 18 Aufgaben

TrigonometrieFunktionenSinus

Aus dem Graphen einer Sinusfunktion liest man den Term a · sin(b(x + c)) + d ab: a = (Max − Min)/2 und d = (Max + Min)/2 aus den Extremwerten, b = 2π/p aus dem Abstand zweier Hochpunkte, c aus einer Stelle, an der die Welle auf der Mittellinie ansteigt (dort ist x = −c). Der Abschnitt räumt aus, a aus dem größten Wert zu lesen, die Periode an einer halben Welle abzulesen und das Vorzeichen von c zu vertauschen. Er bereitet die Modellierung periodischer Vorgänge vor.

a und d ablesen

Um zu einem Graphen den Term $a sin (b (x + c)) + d$ zu finden, liest man zuerst die Extremwerte ab. Der Hochpunkt liegt bei y = Max, der Tiefpunkt bei y = Min. Dann ist die Amplitude die halbe Schwankung und die Mittellinie der Mittelwert: $a = \frac{Max - Min}{2}$ und $d = \frac{Max + Min}{2}$ . Im Bild ist Max = 4 und Min = −⁠2, also a = 3 und d = 1. Die Zahl a ist nicht der größte Wert, denn der enthält schon d.

Lies Hochpunkt H und Tiefpunkt T ab. Wo liegt die Mitte zwischen ihnen?

b und c ablesen

Die Periode p ist der Abstand zweier benachbarter Hochpunkte, hier von H bei π⁠/⁠2 bis H′ bei 3π⁠/⁠2, also p = π. Daraus folgt $b = \frac{2 π}{p} = 2$ . Für die Verschiebung sucht man eine Stelle, an der die Welle auf der Mittellinie ansteigt: Z bei π⁠/⁠4. Dort ist die Klammer null, also $- c = \frac{π}{4}$ und $c = - \frac{π}{4}$ . Der Term ist $f (x) = 3 sin (2 (x - \frac{π}{4})) + 1$ . Probe: $f (\frac{π}{2}) = 3 sin \frac{π}{2} + 1 = 4$ , das ist der Hochpunkt. Solche Proben an einem abgelesenen Punkt fangen Vorzeichenfehler bei c sofort ab.

Stelle a, b, c und d so ein, dass die farbige Kurve die gestrichelte deckt. Beginne mit d und a.

Voraussetzungen (2)

Amplitude und Mittellinie

Klasse 10

›

Periode und Verschiebung

Klasse 10

›

Ermöglicht (1)

Periodische Vorgänge

Klasse 10

›

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Der Graph gehört zu f(x) = a · sin x + d. Welche Werte haben a und d?

● a = 3, d = 2
○ a = 5, d = −1
○ a = 6, d = 2

Hochpunkt 5, Tiefpunkt −1: a = (5 − (−1)) : 2 = 3 und d = (5 + (−1)) : 2 = 2. Die Wahl a = 5 nimmt den Hochpunkt als Amplitude (er enthält aber schon d), a = 6 ist die ganze Höhe statt der halben.

Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Eine Welle hat den Hochpunkt bei y = 7 und den Tiefpunkt bei y = 1. Welche Werte haben a und d in a · sin(b(x + c)) + d?

● a = 3, d = 4
○ a = 7, d = 1
○ a = 6, d = 4

a = (7 − 1) : 2 = 3 und d = (7 + 1) : 2 = 4. Wer die Extremwerte direkt als a und d übernimmt (7 und 1), verwechselt Lage und Höhe; a = 6 ist die ganze Schwankung.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Der Graph gehört zu f(x) = sin(b · x). Zwei benachbarte Hochpunkte sind markiert. Welchen Wert hat b?

● π/2 ≈ 1,57
○ 4
○ 8π ≈ 25,13

Der Abstand der Hochpunkte ist die Periode p = 5 − 1 = 4. Aus p = 2π/b folgt b = 2π/4 = π/2 ≈ 1,57. Die 4 ist die Periode selbst, und 8π entsteht, wenn man mit p multipliziert (b = 2π · p).

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Zwei benachbarte Hochpunkte einer Sinuswelle liegen bei x = 1 und x = 4. Welchen Wert hat b in sin(b(x + c))?

● 2π/3 ≈ 2,09
○ 3
○ 6π ≈ 18,85

Die Periode ist 4 − 1 = 3, also b = 2π/3 ≈ 2,09. Die 3 ist die Periode selbst; 6π ergäbe sich mit b = 2π · p.

Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Der Graph gehört zu f(x) = sin(x + c). Im markierten Punkt Z steigt er durch die Mittellinie. Welchen Wert hat c?

● 2
○ −2
○ 0,43

In Z ist die Klammer null: x + c = 0 mit x = −2, also c = 2. Bei c = −2 läge Z rechts vom Ursprung (Vorzeichenfehler). Der Wert 0,43 entsteht, wenn man c am Hochpunkt (x ≈ −0,43) abliest statt an der ansteigenden Nullstelle.

Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Eine Sinuswelle a · sin(b(x + c)) + d steigt bei x = π/4 durch ihre Mittellinie. Welchen Wert hat c?

● −π/4
○ π/4
○ π/2

An der ansteigenden Stelle ist die Klammer null: π/4 + c = 0, also c = −π/4. Bei π/4 wurde das Vorzeichen vergessen (die Welle läge links), π/2 ist die Stelle, an der der Sinus (mit b = 1) seinen Hochpunkt hat, nicht seine ansteigende Nullstelle.

Multiple Choice #7 45s ▶ Testen

Welcher Term gehört zum Graphen?

● 3 · sin(π/2 · (x − 1)) − 1
○ 3 · sin(π/2 · (x + 1)) − 1
○ 2 · sin(π/2 · (x − 1)) − 1

Hochpunkt 2 und Tiefpunkt −4 geben a = (2 − (−4)) : 2 = 3 und d = (2 + (−4)) : 2 = −1. Zwei Hochpunkte liegen 4 auseinander (x = 2 und x = 6), also p = 4 und b = 2π/4 = π/2. Die Welle steigt bei x = 1 durch die Mittellinie, also x = −c und c = −1. Bei „(x + 1)“ wäre das Vorzeichen von c vertauscht, bei „2 · sin“ wurde a aus dem Hochpunkt statt aus der halben Schwankung gelesen.

Mittel

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Eine Welle hat den Hochpunkt bei y = 9 und den Tiefpunkt bei y = −3. Wie groß ist d (die Höhe der Mittellinie)?

✓ Antwort: 3

d = (Max + Min) : 2 = (9 + (−3)) : 2 = 3. Die Mittellinie liegt genau in der Mitte zwischen den Extremwerten.

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Zwei benachbarte Hochpunkte einer Sinuswelle haben den Abstand π/3. Wie groß ist b?

✓ Antwort: 6

p = π/3, also b = 2π/p = 2π · 3/π = 6.

Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

Die Welle f(x) = sin(x + c) steigt bei x = 3 durch die Mittellinie. Wie groß ist c?

✓ Antwort: -3

Dort ist die Klammer null: 3 + c = 0, also c = −3.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Hafen hat bei Hochwasser 4,2 m und bei Niedrigwasser 1,0 m Wasserstand. Der Wasserstand wird durch a · sin(b(t + c)) + d beschrieben (a > 0). Wie groß ist a (in m)?

✓ Antwort: 1.6

a = (4,2 − 1,0) : 2 = 1,6 m. Der Wasserstand schwankt um 1,6 m nach oben und unten um die Mittellinie d = 2,6 m.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Lies aus dem Graphen ab: Auf welcher Höhe liegt die Mittellinie?

✓ Antwort: 1

Hochpunkt 2,5 und Tiefpunkt −0,5: Die Mitte ist (2,5 + (−0,5)) : 2 = 1. Die Welle schwingt um y = 1.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Die Tageslänge in München schwankt mit der Periode 365 Tage (t in Tagen). Welchen Wert hat b in einem Sinusmodell sin(b · (t + c)) (auf drei Dezimalstellen)?

✓ Antwort: 0.017

b = 2π/365 ≈ 0,01721, gerundet 0,017. Weil die Periode in Tagen angegeben ist, ist b in „pro Tag“.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Lies aus dem Graphen ab: Wie groß ist die Periode der Welle?

✓ Antwort: 2.5

Der Abstand der beiden markierten Hochpunkte ist 3 − 0,5 = 2,5. Das ist die Periode p (nicht die x-Koordinate des ersten Hochpunkts).

Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = cos(x + c) hat ihren Hochpunkt bei x = 2. Wie groß ist c?

✓ Antwort: -2

Der Kosinus hat seinen Hochpunkt, wenn sein Argument 0 ist: 2 + c = 0, also c = −2.

Zahleneingabe #6 40s ▶ Testen

Eine Welle f(x) = a · sin(b(x + c)) + d hat den Hochpunkt bei y = 4, den Tiefpunkt bei y = −2, die Periode π und steigt bei x = π/4 durch die Mittellinie. Wie groß ist c (auf zwei Dezimalstellen)?

✓ Antwort: -0.79

c hängt nur von der ansteigenden Stelle ab: π/4 + c = 0, also c = −π/4 ≈ −0,7854, gerundet −0,79. (Nebenbei: a = 3, d = 1, b = 2.)

KI-bewertete Rechnung #7 240s ▶ Testen

Eine Welle f(x) = a · sin(b(x + c)) + d hat den Hochpunkt (π/3 | 5) und den benachbarten Tiefpunkt (2π/3 | −1). Bestimme a, d, b und c und gib den Term an. Führe zum Schluss eine Probe an einem der beiden Extrempunkte durch. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: a = (5 − (−1)) : 2 = 3, d = (5 + (−1)) : 2 = 2. Hochpunkt und Tiefpunkt sind eine halbe Periode auseinander: p/2 = 2π/3 − π/3 = π/3, also p = 2π/3 und b = 2π/p = 3. Am Hochpunkt ist das Argument π/2: 3 · (π/3 + c) = π/2, also π + 3c = π/2 und c = −π/6. Term: f(x) = 3 · sin(3(x − π/6)) + 2. Probe: f(π/3) = 3 · sin(3 · π/6) + 2 = 3 · 1 + 2 = 5.

Amplitude und Mittellinie aus den Extremwerten, b aus der Periode (zwei Extrema liegen eine halbe Periode auseinander), c aus der Bedingung, dass das Argument am Hochpunkt π/2 ist.

KI-bewertete Rechnung #8 240s ▶ Testen

Ein Graph hat die Hochpunkte (1 | 4) und (7 | 4) und dazwischen den Tiefpunkt (4 | −2). Bestimme einen Term der Form f(x) = a · cos(b(x + c)) + d. Erkläre dabei, wie du a, d, b und c aus den Punkten liest, und prüfe deinen Term am Tiefpunkt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: a = (4 − (−2)) : 2 = 3, d = (4 + (−2)) : 2 = 1. Die Periode ist der Abstand der Hochpunkte: p = 7 − 1 = 6, also b = 2π/6 = π/3. Der Kosinus hat seinen Hochpunkt, wenn das Argument 0 ist: 1 + c = 0, also c = −1. Term: f(x) = 3 · cos(π/3 · (x − 1)) + 1. Probe am Tiefpunkt: f(4) = 3 · cos(π) + 1 = −3 + 1 = −2.

Beim Kosinus liegt der Hochpunkt dort, wo die Klammer null ist: x = −c. Daher c = −1.