Der Punkt P liegt am Ende des Bogens x = π/3 auf dem Einheitskreis. Welche Koordinaten hat P?

Erklärung: Am Einheitskreis ist P = (cos x | sin x) = (cos π/3 | sin π/3) = (0,5 | 0,866). Vertauscht man die Koordinaten, hat man sin und cos verwechselt; und der Bogen x ≈ 1,05 ist eine Länge, keine Koordinate.

Der Punkt P gehört zum Bogen x = 2,4. Wie groß ist cos 2,4?

Erklärung: cos 2,4 ist die x-Koordinate von P: −0,737, also links von der y-Achse und damit negativ. 0,68 ist die y-Koordinate (sin 2,4), und 0,74 hätte das falsche Vorzeichen.

Am Ende des Bogens x = π liegt der Punkt (−1 | 0) auf dem Einheitskreis. Wie groß ist cos π?

Erklärung: cos π ist die x-Koordinate des Punktes (−1 | 0), also −1.

Ein Punkt läuft am Einheitskreis den Bogen 0,9 entlang (siehe Bild). Welche y-Koordinate hat er (auf zwei Dezimalstellen)?

Erklärung: Die y-Koordinate von P ist sin 0,9 ≈ 0,7833, gerundet 0,78 (Rechner im RAD-Modus).

Der Bogen x = 5 endet in einem der markierten Punkte A, B oder C. Welcher Punkt ist es?

Erklärung: Wegen 3π/2 ≈ 4,71 < 5 < 2π ≈ 6,28 endet der Bogen im vierten Quadranten (rechts unten): Punkt B mit sin 5 ≈ −0,96 (negativ) und cos 5 ≈ 0,28 (positiv). Punkt C gehört zu 2π − 5 ≈ 1,28 (an der x-Achse gespiegelt), Punkt A zu 5 − π ≈ 1,86 (der gegenüberliegende Punkt).

Welche Vorzeichen haben sin x und cos x für den Bogen x zum Punkt P im Bild (in dieser Reihenfolge)?

Erklärung: P liegt links (x-Koordinate cos x < 0) und oberhalb der x-Achse (y-Koordinate sin x > 0): sin 2,7 ≈ 0,43, cos 2,7 ≈ −0,90.

In welchem Quadranten (1, 2, 3 oder 4) liegt der Punkt P am Ende des Bogens x = 4 auf dem Einheitskreis?

Erklärung: Es ist π ≈ 3,14 < 4 < 3π/2 ≈ 4,71. Der Bogen reicht über die linke Kreishälfte hinaus, aber noch nicht bis nach unten rechts: dritter Quadrant.

Wie viele der vier Zahlen sin 1, sin 2, sin 4, sin 5 sind positiv?

Erklärung: Positiv ist sin x für 0 < x < π ≈ 3,14: Das trifft für 1 und 2 zu, nicht für 4 und 5 (sin 4 ≈ −0,76, sin 5 ≈ −0,96). Also zwei.

Der Bogen x = 8 ist länger als ein Umlauf. Welche Zahl hat denselben Sinus wie 8?

Erklärung: Nach einem vollen Umlauf (Bogenlänge 2π) steht P wieder am selben Ort, also sin 8 = sin(8 − 2π) = sin 1,72. 360 ist das Gradmaß des Vollwinkels und passt nicht zum Bogenmaß; 8 − π wäre erst ein halber Umlauf.

Es ist sin 0,5 ≈ 0,48. Welchen Wert hat sin(−0,5)?

Erklärung: Der Punkt zu −0,5 liegt spiegelbildlich zu dem Punkt zu 0,5 an der x-Achse: gleiche x-Koordinate, entgegengesetzte y-Koordinate. Also sin(−0,5) = −sin 0,5 ≈ −0,48. 0,48 hieße sin(−x) = sin x, und 0,88 ist cos 0,5.

Es gilt sin(x + p) = sin x für alle x. Wie lautet die kleinste positive Zahl p (auf zwei Dezimalstellen)?

Erklärung: Ein voller Umlauf am Einheitskreis hat die Länge 2π ≈ 6,28.

Bestimme die Zahl zwischen 0 und 2π, die denselben Sinus hat wie 15 (auf zwei Dezimalstellen).

Erklärung: 15 : 2π ≈ 2,39, also passen zwei volle Umläufe: 15 − 2 · 2π = 15 − 4π ≈ 2,434, gerundet 2,43. Diese Zahl liegt zwischen 0 und 2π ≈ 6,28.

Es ist sin 0,5 ≈ 0,48. Welche andere Zahl zwischen 0 und 2π hat denselben Sinus?

Erklärung: Gleicher Sinus heißt gleiche Höhe. Der zweite Punkt liegt spiegelbildlich an der y-Achse, also bei π − 0,5 ≈ 2,64. Bei 2π − 0,5 und π + 0,5 liegt der Punkt unter der x-Achse (sin negativ).

P und Q liegen auf dem Einheitskreis und haben beide den Kosinus 0,54. Zu P gehört der Bogen x = 1 (siehe Bild). Welcher Bogen gehört zu Q (zwischen 0 und 2π)?

Erklärung: Q liegt spiegelbildlich zu P an der x-Achse: x = 2π − 1 ≈ 5,28. π − 1 ≈ 2,14 wäre die Spiegelung an der y-Achse (gleicher Sinus, umgekehrter Kosinus), und 1 + π ≈ 4,14 liegt gegenüber von P.

Es ist sin 0,3 ≈ 0,30. Eine zweite Zahl x₂ zwischen 0 und 2π hat denselben Sinus. Wie groß ist x₂ (auf zwei Dezimalstellen)?

Erklärung: Gleicher Sinus heißt gleiche Höhe; der zweite Punkt liegt spiegelbildlich an der y-Achse: x₂ = π − 0,3 ≈ 2,842, gerundet 2,84.

Löse sin x = 0,6 für x zwischen 0 und 2π. Gib die größere der beiden Lösungen an (auf zwei Dezimalstellen, Rechner im RAD-Modus).

Erklärung: Der Rechner liefert die erste Lösung sin⁻¹(0,6) ≈ 0,6435. Die zweite ist π − 0,6435 ≈ 2,4981, gerundet 2,50. Das ist die größere.

Bestimme alle Zahlen x zwischen 0 und 2π mit sin x = 0,4. Zeichne dazu einen Einheitskreis, markiere die Höhe 0,4 und beide Punkte. Berechne beide Lösungen auf zwei Dezimalstellen (Rechner im RAD-Modus) und begründe, warum es genau zwei sind. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

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Erklärung: Der Rechner nennt nur die erste Lösung. Die zweite gehört zum Spiegelpunkt an der y-Achse: π − x₁.

Aufgabe 1 von 17