Werte für reelle Zahlen

Values for real numbers

Mathematik Klasse 10 17 Aufgaben
TrigonometrieEinheitskreisPeriodizität

Zu jeder reellen Zahl x gehört der Punkt P am Ende des Bogens x auf dem Einheitskreis, und cos x und sin x sind seine Koordinaten. Der Abschnitt liest Werte und Vorzeichen am Kreis ab, führt Argumente über 2π und negative Argumente auf einen Umlauf zurück und findet zu einem gegebenen Wert beide Winkel (x und π − x beim Sinus). Er räumt aus, 360 statt 2π abzuziehen, sin(−x) = sin x zu setzen und nur eine Lösung zu nennen. Er bereitet den Graphen und die trigonometrischen Gleichungen im Modell vor.

Werte am Kreis ablesen

Trage vom Punkt (1 | 0) aus den Bogen x gegen den Uhrzeigersinn ab. Der Endpunkt P hat die Koordinaten : die x-Koordinate ist cos x, die y-Koordinate sin x. Das gilt für jede Zahl x, nicht nur für Winkel im Dreieck. Das Vorzeichen liest man aus dem Quadranten: im ersten (0 < x < π⁠/⁠2) sind beide positiv, im zweiten (π⁠/⁠2 < x < π) ist nur sin positiv, im dritten (π < x < 3π⁠/⁠2) sind beide negativ, im vierten ist nur cos positiv. Bei x = 2,4 liegt P im zweiten Quadranten: cos 2,4 ≈ −⁠0,74 und sin 2,4 ≈ 0,68.

Ziehe x durch alle vier Quadranten. Wann ist sin x negativ, wann cos x?

Zurückführen auf einen Umlauf

Nach einem vollen Umlauf steht P wieder am selben Ort: und . Für x = 7 zieht man einmal 2π ab, 7 − 2π ≈ 0,72, und erhält sin 7 = sin 0,72 ≈ 0,66. Abgezogen wird 2π, nicht 360. Negative Zahlen laufen im Uhrzeigersinn: −x liegt spiegelbildlich zu x an der x-Achse, deshalb und .

Stelle x = 7 ein und dann x = 7 − 2π ≈ 0,72. Was fällt an P auf?

Zwei Winkel, ein Wert

Fragt man umgekehrt nach x mit , gibt es zwischen 0 und 2π zwei Lösungen: Auf einer waagerechten Höhe liegen zwei Punkte des Kreises, spiegelbildlich zur y-Achse. Zu x gehört also auch . Für einen Kosinuswert liegen die zwei Punkte spiegelbildlich zur x-Achse: x und . Der Taschenrechner (RAD) nennt nur die erste Lösung, die zweite ergänzt man selbst.

Verändere x. Was haben die beiden Punkte gemeinsam, und wie hängen ihre Winkel zusammen?

Voraussetzungen (1)

Grad und Bogenmaß
Klasse 10
›

Ermöglicht (1)

Vom Kreis zum Graphen
Klasse 10
›
Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Der Punkt P liegt am Ende des Bogens x = π/3 auf dem Einheitskreis. Welche Koordinaten hat P?

  • ● (0,5 | 0,87)
  • ○ (0,87 | 0,5)
  • ○ (1,05 | 0,87)
Am Einheitskreis ist P = (cos x | sin x) = (cos π/3 | sin π/3) = (0,5 | 0,866). Vertauscht man die Koordinaten, hat man sin und cos verwechselt; und der Bogen x ≈ 1,05 ist eine Länge, keine Koordinate.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Der Punkt P gehört zum Bogen x = 2,4. Wie groß ist cos 2,4?

  • ● −0,74
  • ○ 0,68
  • ○ 0,74
cos 2,4 ist die x-Koordinate von P: −0,737, also links von der y-Achse und damit negativ. 0,68 ist die y-Koordinate (sin 2,4), und 0,74 hätte das falsche Vorzeichen.
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Der Bogen x = 5 endet in einem der markierten Punkte A, B oder C. Welcher Punkt ist es?

  • ● Punkt B
  • ○ Punkt A
  • ○ Punkt C
Wegen 3π/2 ≈ 4,71 < 5 < 2π ≈ 6,28 endet der Bogen im vierten Quadranten (rechts unten): Punkt B mit sin 5 ≈ −0,96 (negativ) und cos 5 ≈ 0,28 (positiv). Punkt C gehört zu 2π − 5 ≈ 1,28 (an der x-Achse gespiegelt), Punkt A zu 5 − π ≈ 1,86 (der gegenüberliegende Punkt).
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Welche Vorzeichen haben sin x und cos x für den Bogen x zum Punkt P im Bild (in dieser Reihenfolge)?

  • ● +, −
  • ○ −, +
  • ○ −, −
P liegt links (x-Koordinate cos x < 0) und oberhalb der x-Achse (y-Koordinate sin x > 0): sin 2,7 ≈ 0,43, cos 2,7 ≈ −0,90.
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Der Bogen x = 8 ist länger als ein Umlauf. Welche Zahl hat denselben Sinus wie 8?

  • ● 8 − 2π ≈ 1,72
  • ○ 8 − 360 = −352
  • ○ 8 − π ≈ 4,86
Nach einem vollen Umlauf (Bogenlänge 2π) steht P wieder am selben Ort, also sin 8 = sin(8 − 2π) = sin 1,72. 360 ist das Gradmaß des Vollwinkels und passt nicht zum Bogenmaß; 8 − π wäre erst ein halber Umlauf.
Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Es ist sin 0,5 ≈ 0,48. Welchen Wert hat sin(−0,5)?

  • ● −0,48
  • ○ 0,48
  • ○ 0,88
Der Punkt zu −0,5 liegt spiegelbildlich zu dem Punkt zu 0,5 an der x-Achse: gleiche x-Koordinate, entgegengesetzte y-Koordinate. Also sin(−0,5) = −sin 0,5 ≈ −0,48. 0,48 hieße sin(−x) = sin x, und 0,88 ist cos 0,5.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Es ist sin 0,5 ≈ 0,48. Welche andere Zahl zwischen 0 und 2π hat denselben Sinus?

  • ● π − 0,5 ≈ 2,64
  • ○ 2π − 0,5 ≈ 5,78
  • ○ π + 0,5 ≈ 3,64
Gleicher Sinus heißt gleiche Höhe. Der zweite Punkt liegt spiegelbildlich an der y-Achse, also bei π − 0,5 ≈ 2,64. Bei 2π − 0,5 und π + 0,5 liegt der Punkt unter der x-Achse (sin negativ).
Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

P und Q liegen auf dem Einheitskreis und haben beide den Kosinus 0,54. Zu P gehört der Bogen x = 1 (siehe Bild). Welcher Bogen gehört zu Q (zwischen 0 und 2π)?

  • ● 5,28
  • ○ 2,14
  • ○ 4,14
Q liegt spiegelbildlich zu P an der x-Achse: x = 2π − 1 ≈ 5,28. π − 1 ≈ 2,14 wäre die Spiegelung an der y-Achse (gleicher Sinus, umgekehrter Kosinus), und 1 + π ≈ 4,14 liegt gegenüber von P.
Mittel
Zahleneingabe #1 15s ▶ Testen

Am Ende des Bogens x = π liegt der Punkt (−1 | 0) auf dem Einheitskreis. Wie groß ist cos π?

✓ Antwort: -1
cos π ist die x-Koordinate des Punktes (−1 | 0), also −1.
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

In welchem Quadranten (1, 2, 3 oder 4) liegt der Punkt P am Ende des Bogens x = 4 auf dem Einheitskreis?

✓ Antwort: 3
Es ist π ≈ 3,14 < 4 < 3π/2 ≈ 4,71. Der Bogen reicht über die linke Kreishälfte hinaus, aber noch nicht bis nach unten rechts: dritter Quadrant.
Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

Es gilt sin(x + p) = sin x für alle x. Wie lautet die kleinste positive Zahl p (auf zwei Dezimalstellen)?

✓ Antwort: 6.28
Ein voller Umlauf am Einheitskreis hat die Länge 2π ≈ 6,28.
Zahleneingabe #4 20s ▶ Testen

Es ist sin 0,3 ≈ 0,30. Eine zweite Zahl x₂ zwischen 0 und 2π hat denselben Sinus. Wie groß ist x₂ (auf zwei Dezimalstellen)?

✓ Antwort: 2.84
Gleicher Sinus heißt gleiche Höhe; der zweite Punkt liegt spiegelbildlich an der y-Achse: x₂ = π − 0,3 ≈ 2,842, gerundet 2,84.
Schwer
Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Ein Punkt läuft am Einheitskreis den Bogen 0,9 entlang (siehe Bild). Welche y-Koordinate hat er (auf zwei Dezimalstellen)?

✓ Antwort: 0.78
Die y-Koordinate von P ist sin 0,9 ≈ 0,7833, gerundet 0,78 (Rechner im RAD-Modus).
Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Wie viele der vier Zahlen sin 1, sin 2, sin 4, sin 5 sind positiv?

✓ Antwort: 2
Positiv ist sin x für 0 < x < π ≈ 3,14: Das trifft für 1 und 2 zu, nicht für 4 und 5 (sin 4 ≈ −0,76, sin 5 ≈ −0,96). Also zwei.
Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Bestimme die Zahl zwischen 0 und 2π, die denselben Sinus hat wie 15 (auf zwei Dezimalstellen).

✓ Antwort: 2.43
15 : 2π ≈ 2,39, also passen zwei volle Umläufe: 15 − 2 · 2π = 15 − 4π ≈ 2,434, gerundet 2,43. Diese Zahl liegt zwischen 0 und 2π ≈ 6,28.
Zahleneingabe #4 45s ▶ Testen

Löse sin x = 0,6 für x zwischen 0 und 2π. Gib die größere der beiden Lösungen an (auf zwei Dezimalstellen, Rechner im RAD-Modus).

✓ Antwort: 2.5
Der Rechner liefert die erste Lösung sin⁻¹(0,6) ≈ 0,6435. Die zweite ist π − 0,6435 ≈ 2,4981, gerundet 2,50. Das ist die größere.
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Bestimme alle Zahlen x zwischen 0 und 2π mit sin x = 0,4. Zeichne dazu einen Einheitskreis, markiere die Höhe 0,4 und beide Punkte. Berechne beide Lösungen auf zwei Dezimalstellen (Rechner im RAD-Modus) und begründe, warum es genau zwei sind. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze: Einheitskreis, waagerechte Gerade y = 0,4, zwei Schnittpunkte P (rechts oben) und Q (links oben, spiegelbildlich zur y-Achse). x₁ = sin⁻¹(0,4) ≈ 0,4115 ≈ 0,41; x₂ = π − x₁ ≈ 2,7301 ≈ 2,73. Zwei Lösungen, weil die Gerade den Kreis in zwei Punkten schneidet.
Der Rechner nennt nur die erste Lösung. Die zweite gehört zum Spiegelpunkt an der y-Achse: π − x₁.