Winkel als Bogenlänge
Auf dem Einheitskreis schneidet ein Winkel den markierten Bogen der Länge 2,5 aus. Welches Bogenmaß hat der Winkel?
Erklärung: Beim Einheitskreis (r = 1) ist das Bogenmaß die Bogenlänge selbst, also x = 2,5. Ein Gradzeichen oder ein Faktor π kommt nicht dazu.
Auf einem Kreis mit r = 3 gehört zu einem Bogen der Länge 6 derselbe Winkel wie auf dem Einheitskreis zu einem Bogen der Länge 2.
Erklärung: Der Winkel im Bogenmaß ist x = b : r. Auf dem großen Kreis ist 6 : 3 = 2, auf dem Einheitskreis 2 : 1 = 2. Beide Male ist x = 2.
Ein Winkel hat das Bogenmaß 3. Wie lang ist der zugehörige Bogen auf dem Einheitskreis?
Erklärung: Am Einheitskreis ist die Bogenlänge gleich dem Bogenmaß: 3. Wer mit π multipliziert, verwechselt das Bogenmaß mit einem Vielfachen von π; wer durch 2π teilt, bildet den Bruchteil des Kreises.
Ein Kreis hat den Radius 2 cm. Zum Winkel x = 1,5 gehört auf diesem Kreis ein Bogen von ___ cm.
Erklärung: b = x · r = 1,5 · 2 cm = 3 cm.
Ein Kreisbogen auf einem Kreis mit r = 5 m ist 12,5 m lang. Wie groß ist der zugehörige Winkel im Bogenmaß?
Erklärung: x = b : r = 12,5 m : 5 m = 2,5.
Ein Scheibenwischer ist 45 cm lang. Seine Spitze überstreicht einen Bogen von 63 cm. Wie groß ist der Winkel im Bogenmaß?
Erklärung: x = b : r = 63 cm : 45 cm = 1,4.
Wie lang ist der Bogen, den der Vollwinkel aus dem Einheitskreis schneidet?
Erklärung: Der Vollwinkel schneidet den ganzen Kreis aus, und der Einheitskreis hat den Umfang 2π · 1 = 2π. Die 360 gehört zum Gradmaß, π zum Halbkreis.
Der markierte Bogen ist ein Viertel des Einheitskreises. Welches Bogenmaß hat der zugehörige Winkel?
Erklärung: Ein Viertel von 2π ist 2π : 4 = π/2. Bei π/4 wäre es ein Achtel, und 90 ist die Gradzahl des rechten Winkels, nicht sein Bogenmaß.
Der gestreckte Winkel hat das Bogenmaß 2π.
Erklärung: Der gestreckte Winkel ist ein Halbkreis, seine Bogenlänge ist die Hälfte von 2π, also π. Erst der Vollwinkel hat 2π.
Der Vollwinkel hat das Bogenmaß 2π. Gib diese Zahl auf zwei Dezimalstellen gerundet an.
Erklärung: 2π = 2 · 3,14159… ≈ 6,28.
Der markierte Bogen ist drei Viertel des Einheitskreises lang. Wie lang ist er (auf zwei Dezimalstellen)?
Erklärung: Drei Viertel von 2π: 3/4 · 2π = 3π/2 ≈ 4,71.
Eine Kugel läuft dreimal um den Einheitskreis. Welche Strecke legt sie zurück (auf zwei Dezimalstellen)?
Erklärung: Ein Umlauf ist 2π lang, drei Umläufe sind 6π ≈ 18,85.
Ein Winkel hat das Bogenmaß 1. Wie groß ist er ungefähr?
Erklärung: Der Bogen ist so lang wie der Radius. Da 2π ≈ 6,28 Radien den Kreis umlaufen, passt ein Radius etwa 6,28-mal in den Vollwinkel: 360° : 6,28 ≈ 57°. 1° ist viel zu klein, und 180° gehört zu π.
Der markierte Bogen gehört zum rechten Winkel. Ein Winkel von 2 rad ist größer als dieser rechte Winkel.
Erklärung: Der rechte Winkel hat das Bogenmaß π/2 ≈ 1,57. Weil 2 > 1,57 ist, ist ein Winkel von 2 rad (etwa 115°) größer.
Welcher Winkel ist am größten?
Erklärung: 1 rad ≈ 57,3° ist größer als 50°, und 0,5 rad ≈ 28,6° ist noch kleiner. Die Zahl 50 wirkt groß, gehört aber zu einer kleinen Einheit.
1 rad entspricht etwa ___ Grad (auf ganze Grad gerundet).
Erklärung: 1 rad = 180°/π ≈ 57,3°, gerundet 57°.
Auf einem Kreis mit r = 8 cm ist ein Bogen 16 cm lang. Wie groß ist der Winkel in Grad (auf ganze Grad gerundet)?
Erklärung: x = 16 : 8 = 2 rad. Wegen 1 rad ≈ 57,3° sind das 2 · 57,3° ≈ 114,6°, gerundet 115°.
Zum Winkel x = 2 gehört auf dem Einheitskreis ein Bogen der Länge 2. Zeichne eine Skizze des Einheitskreises mit diesem Bogen. Bestimme, welcher Bruchteil des Kreisumfangs 2π der Bogen ist, und rechne daraus den Winkel in Grad aus.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Der Vollwinkel hat die Bogenlänge 2π. Ein Bogen der Länge 2 ist der Anteil 2/(2π) davon, also 2/(2π) · 360° = 360°/π ≈ 114,6°.