Winkel als Bogenlänge

Angle as arc length

Mathematik Klasse 10 18 Aufgaben
TrigonometrieEinheitskreisBogenmaß

Das Bogenmaß misst einen Winkel als Länge des Kreisbogens auf dem Einheitskreis: Der Vollwinkel ist 2π, der gestreckte π, der rechte π/2, und ein Bogen so lang wie der Radius ist 1 rad ≈ 57,3°. Auf jedem Kreis gilt x = b : r. Der Abschnitt räumt aus, dass das Bogenmaß nur eine seltsame Einheit für denselben Winkel sei oder dass 1 rad dasselbe wie 1° wäre (Moore 2013). Er bereitet die Umrechnung zwischen Grad und Bogenmaß vor und macht Argumente reelle Zahlen, die den Graphen über der x-Achse tragen.

Bogen statt Grad

Die 360 Grad sind eine Einteilung, die sich Menschen einmal ausgedacht haben. Es geht auch ohne: Wir legen um den Scheitel des Winkels einen Kreis mit Radius 1, den Einheitskreis, und messen, wie lang der Kreisbogen ist, den der Winkel aus ihm herausschneidet. Diese Länge heißt Bogenmaß x des Winkels. Der Einheitskreis hat den Umfang . Deshalb hat der Vollwinkel das Bogenmaß , der gestreckte Winkel und der rechte Winkel . Weil das Bogenmaß eine Länge ist, ist es eine gewöhnliche Zahl, ganz ohne Gradzeichen.

Ziehe x auf 3,14 und dann auf 6,28. Welcher Bruchteil des Kreises ist das jeweils, und wie lang ist der abgerollte Bogen im Vergleich zum Radius?

Ein Radiant

Ein Bogen der Länge 1 ist genau so lang wie der Radius. Der zugehörige Winkel heißt ein Radiant (1 rad). Weil zum Vollwinkel 360° der Bogen 2π gehört, misst 1 rad genau 360° : 2π ≈ 57,3°. Auf jedem Kreis gehört zu demselben Winkel dasselbe Verhältnis aus Bogen b und Radius r: . Auf einem Kreis mit r = 3 cm gehört zu einem Bogen von 6 cm also der Winkel . Die Einheit rad lässt man meist weg: „x = 2“ meint 2 rad, nicht 2°. Das Bogenmaß hat also den Vorteil, dass Winkel und Länge dieselbe Art Zahl sind, und genau darum kann man später jede reelle Zahl als Winkel lesen.

Verändere den Radius r. Was bleibt gleich, wenn der Kreis größer wird: der Bogen, der Winkel oder das Verhältnis b : r?

Ermöglicht (1)

Grad und Bogenmaß
Klasse 10
›
Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Auf dem Einheitskreis schneidet ein Winkel den markierten Bogen der Länge 2,5 aus. Welches Bogenmaß hat der Winkel?

  • ● 2,5
  • ○ 2,5°
  • ○ 2,5 · π
Beim Einheitskreis (r = 1) ist das Bogenmaß die Bogenlänge selbst, also x = 2,5. Ein Gradzeichen oder ein Faktor π kommt nicht dazu.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Auf einem Kreis mit r = 3 gehört zu einem Bogen der Länge 6 derselbe Winkel wie auf dem Einheitskreis zu einem Bogen der Länge 2.

✓ Wahr
Der Winkel im Bogenmaß ist x = b : r. Auf dem großen Kreis ist 6 : 3 = 2, auf dem Einheitskreis 2 : 1 = 2. Beide Male ist x = 2.
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Ein Winkel hat das Bogenmaß 3. Wie lang ist der zugehörige Bogen auf dem Einheitskreis?

  • ● 3
  • ○ 3π ≈ 9,42
  • ○ 3 : 2π ≈ 0,48
Am Einheitskreis ist die Bogenlänge gleich dem Bogenmaß: 3. Wer mit π multipliziert, verwechselt das Bogenmaß mit einem Vielfachen von π; wer durch 2π teilt, bildet den Bruchteil des Kreises.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Wie lang ist der Bogen, den der Vollwinkel aus dem Einheitskreis schneidet?

  • ● 2π
  • ○ 360
  • ○ π
Der Vollwinkel schneidet den ganzen Kreis aus, und der Einheitskreis hat den Umfang 2π · 1 = 2π. Die 360 gehört zum Gradmaß, π zum Halbkreis.
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Der markierte Bogen ist ein Viertel des Einheitskreises. Welches Bogenmaß hat der zugehörige Winkel?

  • ● π/2
  • ○ π/4
  • ○ 90
Ein Viertel von 2π ist 2π : 4 = π/2. Bei π/4 wäre es ein Achtel, und 90 ist die Gradzahl des rechten Winkels, nicht sein Bogenmaß.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Der gestreckte Winkel hat das Bogenmaß 2π.

✓ Falsch
Der gestreckte Winkel ist ein Halbkreis, seine Bogenlänge ist die Hälfte von 2π, also π. Erst der Vollwinkel hat 2π.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Ein Winkel hat das Bogenmaß 1. Wie groß ist er ungefähr?

  • ● 57°
  • ○ 1°
  • ○ 180°
Der Bogen ist so lang wie der Radius. Da 2π ≈ 6,28 Radien den Kreis umlaufen, passt ein Radius etwa 6,28-mal in den Vollwinkel: 360° : 6,28 ≈ 57°. 1° ist viel zu klein, und 180° gehört zu π.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Der markierte Bogen gehört zum rechten Winkel. Ein Winkel von 2 rad ist größer als dieser rechte Winkel.

✓ Wahr
Der rechte Winkel hat das Bogenmaß π/2 ≈ 1,57. Weil 2 > 1,57 ist, ist ein Winkel von 2 rad (etwa 115°) größer.
Multiple Choice #9 25s ▶ Testen

Welcher Winkel ist am größten?

  • ● 1 rad
  • ○ 50°
  • ○ 0,5 rad
1 rad ≈ 57,3° ist größer als 50°, und 0,5 rad ≈ 28,6° ist noch kleiner. Die Zahl 50 wirkt groß, gehört aber zu einer kleinen Einheit.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Kreis hat den Radius 2 cm. Zum Winkel x = 1,5 gehört auf diesem Kreis ein Bogen von ___ cm.

✓ Antwort: 3
b = x · r = 1,5 · 2 cm = 3 cm.
Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Der Vollwinkel hat das Bogenmaß 2π. Gib diese Zahl auf zwei Dezimalstellen gerundet an.

✓ Antwort: 6.28
2π = 2 · 3,14159… ≈ 6,28.
Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

1 rad entspricht etwa ___ Grad (auf ganze Grad gerundet).

✓ Antwort: 57
1 rad = 180°/π ≈ 57,3°, gerundet 57°.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Kreisbogen auf einem Kreis mit r = 5 m ist 12,5 m lang. Wie groß ist der zugehörige Winkel im Bogenmaß?

✓ Antwort: 2.5
x = b : r = 12,5 m : 5 m = 2,5.
Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Ein Scheibenwischer ist 45 cm lang. Seine Spitze überstreicht einen Bogen von 63 cm. Wie groß ist der Winkel im Bogenmaß?

✓ Antwort: 1.4
x = b : r = 63 cm : 45 cm = 1,4.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Der markierte Bogen ist drei Viertel des Einheitskreises lang. Wie lang ist er (auf zwei Dezimalstellen)?

✓ Antwort: 4.71
Drei Viertel von 2π: 3/4 · 2π = 3π/2 ≈ 4,71.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Eine Kugel läuft dreimal um den Einheitskreis. Welche Strecke legt sie zurück (auf zwei Dezimalstellen)?

✓ Antwort: 18.85
Ein Umlauf ist 2π lang, drei Umläufe sind 6π ≈ 18,85.
Zahleneingabe #5 40s ▶ Testen

Auf einem Kreis mit r = 8 cm ist ein Bogen 16 cm lang. Wie groß ist der Winkel in Grad (auf ganze Grad gerundet)?

✓ Antwort: 115
x = 16 : 8 = 2 rad. Wegen 1 rad ≈ 57,3° sind das 2 · 57,3° ≈ 114,6°, gerundet 115°.
KI-bewertete Rechnung #6 240s ▶ Testen

Zum Winkel x = 2 gehört auf dem Einheitskreis ein Bogen der Länge 2. Zeichne eine Skizze des Einheitskreises mit diesem Bogen. Bestimme, welcher Bruchteil des Kreisumfangs 2π der Bogen ist, und rechne daraus den Winkel in Grad aus. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze: Einheitskreis, Bogen der Länge 2 gegen den Uhrzeigersinn ab (1 | 0), etwas mehr als ein Viertelkreis (π/2 ≈ 1,57). Anteil am Kreis: 2 : (2π) = 1/π ≈ 0,318. Winkel: 0,318 · 360° = 360°/π ≈ 114,6°.
Der Vollwinkel hat die Bogenlänge 2π. Ein Bogen der Länge 2 ist der Anteil 2/(2π) davon, also 2/(2π) · 360° = 360°/π ≈ 114,6°.