Körper berechnen
Die SeitenflÀche ABS der Pyramide hat mit dem Vektorprodukt den FlÀcheninhalt 7,21. Welche Rechnung kontrolliert das mit der Mittelstufe?
ErklĂ€rung: Die Höhe im Dreieck ABS auf AB ist die Seitenhöhe â(2ÂČ + 3ÂČ) = â13, also œ·4·â13 â 7,21. â17 ist die Kante SA, 3 die Pyramidenhöhe: beides sind nicht die Höhe der SeitenflĂ€che.
Die Pyramide ABCDS steht mit der GrundflĂ€che in der xâxâ-Ebene, S(2 | 2 | 3). Wie hoch ist sie?
ErklĂ€rung: Die Höhe ist der Abstand der Spitze zur xâxâ-Ebene, also die xâ-Koordinate 3. 4,12 = |AS| ist die KantenlĂ€nge, 2 ist die xâ-Koordinate.
Die Kante SA der Pyramide mit A(0 | 0 | 0), B(4 | 0 | 0) und S(2 | 2 | 3) ist â13 lang.
ErklĂ€rung: |SA| = |(â2; â2; â3)| = â(4 + 4 + 9) = â17 â 4,12. â13 ist die Seitenhöhe im Dreieck ABS, nicht die Kante; der Betrag von SA ist der zweifache Pythagoras.
Wie lang ist die Seitenhöhe im Dreieck ABS (Höhe auf AB) der Pyramide mit A(0 | 0 | 0), B(4 | 0 | 0), S(2 | 2 | 3) (auf 0,01 genau)?
ErklĂ€rung: Der HöhenfuĂpunkt ist die Mitte M(2 | 0 | 0) von AB, MS = (0; 2; 3), |MS| = â13 â 3,61.
Ein Zelt hat die Form der Pyramide ABCDS (GrundflĂ€che 4 m Ă 4 m, Höhe 3 m). Wie viele Quadratmeter Stoff brauchen die vier Dachseiten (auf 0,1 mÂČ genau)?
ErklĂ€rung: Jede Dachseite ist ein Dreieck mit Grundseite 4 m und Seitenhöhe â13 m: œ·4·â13 â 7,21 mÂČ. Vier Seiten: â 28,84 â 28,8 mÂČ. (Mit dem Vektorprodukt œ·|AB Ă AS| = œ·â208 dasselbe.)
Im WĂŒrfel ABCDEFGH mit der KantenlĂ€nge 3 cm: Wie groĂ ist der Winkel zwischen der Kante AB und der Raumdiagonalen AG?
ErklĂ€rung: AB = (3; 0; 0), AG = (3; 3; 3): cos Ï = 9/(3·3â3) = 1/â3, Ï â 54,7°. 35,3° ist der Winkel zwischen AG und der FlĂ€chendiagonalen AC, 45° gehört zur FlĂ€chendiagonalen AC und der Kante AB.
Im WĂŒrfel ABCDEFGH ist AG die Raumdiagonale und AC die FlĂ€chendiagonale der GrundflĂ€che. Wie groĂ ist der Winkel zwischen AG und AC?
ErklĂ€rung: AC = (1; 1; 0), AG = (1; 1; 1): AC·AG = 2, |AC|·|AG| = â2·â3, cos Ï = 2/â6 â 0,816, Ï â 35,3°. 54,7° ist der Winkel zwischen AG und einer Kante.
Berechne den Winkel zwischen den Kanten SA und SB der Pyramide mit A(0 | 0 | 0), B(4 | 0 | 0), S(2 | 2 | 3) (auf 0,1° genau).
ErklĂ€rung: SA = (â2; â2; â3), SB = (2; â2; â3): SA·SB = â4 + 4 + 9 = 9, |SA|·|SB| = 17, cos Ï = 9/17, Ï â 58°.
Wie groà ist der Neigungswinkel der Kante AS gegen die GrundflÀche, also der Winkel zwischen AS und AM mit M(2 | 2 | 0) (auf 0,1° genau)?
ErklĂ€rung: AS = (2; 2; 3), AM = (2; 2; 0): AS·AM = 8, |AS|·|AM| = â17·â8, cos Ï â 0,686, Ï â 46,7°. Mittelstufe: tan Ï = 3/â8, dasselbe Ergebnis.
ABCD ist ein Parallelogramm (AB = DC). Welche zusÀtzliche Bedingung zeigt, dass es ein Rechteck ist?
ErklĂ€rung: Ein rechter Winkel bei A bedeutet AB·AD = 0. |AB| = |AD| gĂ€be eine Raute, und AB Ă AD = o hieĂe, dass die FlĂ€che 0 ist, das Viereck also flach.
Welche Figur ist das Viereck ABCD mit A(0 | 0 | 2), B(2 | 1 | 0), C(4 | 5 | 4), D(2 | 4 | 6)?
ErklĂ€rung: AB = (2; 1; â2) = DC, also ein Parallelogramm. AB·AD = (2; 1; â2)·(2; 4; 4) = 4 + 4 â 8 = 0: rechter Winkel. |AB| = 3, |AD| = 6: nicht gleich lang, also kein Quadrat.
Ein Parallelogramm ABCD mit AB·AD = 0 ist ein ___ (Rechteck oder Raute).
ErklÀrung: AB·AD = 0 bedeutet einen rechten Winkel bei A: Das Parallelogramm ist ein Rechteck. Eine Raute brÀuchte |AB| = |AD|.
Im Viereck ABCD ist AB = DC, AB = (2; 1; 2) und AD = (x; 2; 1). FĂŒr welches x ist ABCD ein Rechteck?
ErklĂ€rung: AB·AD = 2x + 2 + 2 = 0, also x = â2.
Pyramide mit A(0 | 0 | 0), B(4 | 0 | 0), C(4 | 4 | 0), D(0 | 4 | 0), S(2 | 2 | 3). Wie groĂ ist das Volumen?
ErklĂ€rung: (AB Ă AD)·AS = (0; 0; 16)·(2; 2; 3) = 48, davon â
: 16. Mittelstufe: â
·16·3 = 16. 48 vergisst das â
, 24 nimmt Âœ statt â
.
Das Tetraeder ABDS (GrundflÀche: das Dreieck ABD) hat das halbe Volumen der Pyramide ABCDS.
ErklĂ€rung: Die GrundflĂ€che ABD ist das halbe Quadrat ABCD, Höhe und Spitze bleiben: V = œ·16 = 8. Mit dem Spatprodukt: â
·48 = 8.
Berechne das Spatprodukt (AB Ă AD)·AS fĂŒr A(0 | 0 | 0), B(4 | 0 | 0), D(0 | 4 | 0), S(2 | 2 | 3).
ErklĂ€rung: AB Ă AD = (0·0 â 0·4; 0·0 â 4·0; 4·4 â 0·0) = (0; 0; 16), (0; 0; 16)·(2; 2; 3) = 48.
Ein Zelt mit quadratischer GrundflĂ€che 4 m Ă 4 m soll 24 mÂł Luft fassen. Wie hoch muss die Spitze ĂŒber der GrundflĂ€che liegen?
ErklĂ€rung: V = â
·G·h = â
·16·h = 24, also h = 24·3/16 = 4,5 m. Mit dem Spatprodukt: â
·16·h, dasselbe.
Bestimme das Volumen der Pyramide A(0 | 0 | 0), B(6 | 0 | 0), C(6 | 4 | 0), D(0 | 4 | 0), S(3 | 2 | 5) auf zwei Wegen: (1) mit GrundflĂ€che und Höhe der Mittelstufe, (2) mit dem Spatprodukt. Vergleiche die Ergebnisse und sage, welcher Weg hier kĂŒrzer ist und warum.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklĂ€rung: Zwei Wege, ein Ergebnis: â
·G·h und â
·|Spatprodukt| geben 40. Liegt die GrundflĂ€che in einer Koordinatenebene, ist die Mittelstufe kĂŒrzer.