Körper berechnen

Calculating solids

Mathematik Klasse 12 18 Aufgaben

GeometrieVektorenSkalarproduktVektorproduktKörper

Legt man einen Körper in ein Koordinatensystem, lassen sich Winkel, Rechtecke und Volumen mit Skalar- und Vektorprodukt bestimmen, oft aber auch mit den Mitteln der Mittelstufe (Pythagoras, Trigonometrie, ⅓·G·h). Der Abschnitt rechnet Winkel im Würfel und in der Pyramide, weist ein Rechteck nach und bestimmt ein Pyramidenvolumen jeweils auf beiden Wegen und nutzt den einen als Kontrolle des anderen. Räumt aus, Seitenhöhe und Pyramidenhöhe oder Kante und Höhe zu verwechseln, einen Weg für den einzig richtigen zu halten und Winkel im Schrägbild abzumessen (Blum & Leiß 2007 zum Validieren, Henn & Filler 2015). Schließt den Kurs ab; bereitet Abstände und Lagebeziehungen vor.

Winkel an Körpern

Legt man einen Körper in ein Koordinatensystem, wird jede Kante zum Vektor. Beim Würfel mit der Kante a ist $A B = (a; 0; 0)$ und die Raumdiagonale $A G = (a; a; a)$ . Für den Winkel φ zwischen beiden gilt $cos φ = \frac{a ^{2}}{a \cdot a 3} = \frac{1}{3}$ , also $φ \approx 54, 7°$ – für jede Kantenlänge.

Verändere a. Was ändert sich, und was bleibt gleich?

Die Mittelstufe kommt zum selben Ergebnis: Das Dreieck ABG ist bei B rechtwinklig, mit AB = a und AG = a·√3 ist $cos φ = a / (a 3)$ . Zwei Wege, ein Ergebnis: Wer beide kennt, kontrolliert den einen mit dem anderen und wählt den kürzeren. Winkel im Schrägbild abzumessen führt dagegen in die Irre.

Figuren und Volumen

Auch Figuren weist man mit Vektoren nach: Ein Viereck ABCD ist ein Rechteck, wenn $A B = D C$ (Parallelogramm) und $A B \cdot A D = 0$ (rechter Winkel) gilt. Für das Zelt ABCDS mit $A (0 ∣ 0 ∣ 0)$ , $B (4 ∣ 0 ∣ 0)$ , $C (4 ∣ 4 ∣ 0)$ , $D (0 ∣ 4 ∣ 0)$ und $S (2 ∣ 2 ∣ 3)$ liefert das Spatprodukt $V = \frac{1}{3} ∣ (A B \times A D) \cdot A S ∣ = \frac{1}{3} \cdot 48 = 16$ . Die Mittelstufe gibt $\frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 3 = 16$ , dieselbe Zahl.

Das Zelt ABCDS: Grundfläche 4 × 4, Höhe 3, Volumen 16.

Auch eine Dachseite rechnet man doppelt: $\frac{1}{2} ∣ A B \times A S ∣ = \frac{1}{2} 208 \approx 7, 21$ und mit der Seitenhöhe $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 13 \approx 7, 21$ . Stimmen beide Wege überein, ist die Rechnung verlässlich. Welcher Weg kürzer ist, hängt von der Lage ab: Liegt die Grundfläche in einer Koordinatenebene, ist $\frac{1}{3} G h$ kürzer; liegt der Körper schief, das Spatprodukt. Wer den Lösungsweg begründet und den zweiten zur Kontrolle nutzt, rechnet sicherer.

Voraussetzungen (1)

Spat und Pyramide

Klasse 12

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Die Seitenfläche ABS der Pyramide hat mit dem Vektorprodukt den Flächeninhalt 7,21. Welche Rechnung kontrolliert das mit der Mittelstufe?

● ½·4·√13
○ ½·4·√17
○ ½·4·3

Die Höhe im Dreieck ABS auf AB ist die Seitenhöhe √(2² + 3²) = √13, also ½·4·√13 ≈ 7,21. √17 ist die Kante SA, 3 die Pyramidenhöhe: beides sind nicht die Höhe der Seitenfläche.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Die Pyramide ABCDS steht mit der Grundfläche in der x₁x₂-Ebene, S(2 | 2 | 3). Wie hoch ist sie?

● 3
○ 4,12
○ 2

Die Höhe ist der Abstand der Spitze zur x₁x₂-Ebene, also die x₃-Koordinate 3. 4,12 = |AS| ist die Kantenlänge, 2 ist die x₁-Koordinate.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Die Kante SA der Pyramide mit A(0 | 0 | 0), B(4 | 0 | 0) und S(2 | 2 | 3) ist √13 lang.

✓ Falsch

|SA| = |(−2; −2; −3)| = √(4 + 4 + 9) = √17 ≈ 4,12. √13 ist die Seitenhöhe im Dreieck ABS, nicht die Kante; der Betrag von SA ist der zweifache Pythagoras.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Im Würfel ABCDEFGH mit der Kantenlänge 3 cm: Wie groß ist der Winkel zwischen der Kante AB und der Raumdiagonalen AG?

● 54,7°
○ 35,3°
○ 45°

AB = (3; 0; 0), AG = (3; 3; 3): cos φ = 9/(3·3√3) = 1/√3, φ ≈ 54,7°. 35,3° ist der Winkel zwischen AG und der Flächendiagonalen AC, 45° gehört zur Flächendiagonalen AC und der Kante AB.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Im Würfel ABCDEFGH ist AG die Raumdiagonale und AC die Flächendiagonale der Grundfläche. Wie groß ist der Winkel zwischen AG und AC?

● 35,3°
○ 54,7°
○ 45°

AC = (1; 1; 0), AG = (1; 1; 1): AC·AG = 2, |AC|·|AG| = √2·√3, cos φ = 2/√6 ≈ 0,816, φ ≈ 35,3°. 54,7° ist der Winkel zwischen AG und einer Kante.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

ABCD ist ein Parallelogramm (AB = DC). Welche zusätzliche Bedingung zeigt, dass es ein Rechteck ist?

● AB·AD = 0
○ |AB| = |AD|
○ AB × AD = o

Ein rechter Winkel bei A bedeutet AB·AD = 0. |AB| = |AD| gäbe eine Raute, und AB × AD = o hieße, dass die Fläche 0 ist, das Viereck also flach.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welche Figur ist das Viereck ABCD mit A(0 | 0 | 2), B(2 | 1 | 0), C(4 | 5 | 4), D(2 | 4 | 6)?

● ein Rechteck, aber kein Quadrat
○ ein Quadrat
○ ein Parallelogramm ohne rechten Winkel

AB = (2; 1; −2) = DC, also ein Parallelogramm. AB·AD = (2; 1; −2)·(2; 4; 4) = 4 + 4 − 8 = 0: rechter Winkel. |AB| = 3, |AD| = 6: nicht gleich lang, also kein Quadrat.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Pyramide mit A(0 | 0 | 0), B(4 | 0 | 0), C(4 | 4 | 0), D(0 | 4 | 0), S(2 | 2 | 3). Wie groß ist das Volumen?

● 16
○ 48
○ 24

(AB × AD)·AS = (0; 0; 16)·(2; 2; 3) = 48, davon ⅓: 16. Mittelstufe: ⅓·16·3 = 16. 48 vergisst das ⅓, 24 nimmt ½ statt ⅓.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Das Tetraeder ABDS (Grundfläche: das Dreieck ABD) hat das halbe Volumen der Pyramide ABCDS.

✓ Wahr

Die Grundfläche ABD ist das halbe Quadrat ABCD, Höhe und Spitze bleiben: V = ½·16 = 8. Mit dem Spatprodukt: ⅙·48 = 8.

Mittel

Zahleneingabe #1 50s ▶ Testen

Wie lang ist die Seitenhöhe im Dreieck ABS (Höhe auf AB) der Pyramide mit A(0 | 0 | 0), B(4 | 0 | 0), S(2 | 2 | 3) (auf 0,01 genau)?

✓ Antwort: 3.61

Der Höhenfußpunkt ist die Mitte M(2 | 0 | 0) von AB, MS = (0; 2; 3), |MS| = √13 ≈ 3,61.

Zahleneingabe #2 60s ▶ Testen

Berechne den Winkel zwischen den Kanten SA und SB der Pyramide mit A(0 | 0 | 0), B(4 | 0 | 0), S(2 | 2 | 3) (auf 0,1° genau).

✓ Antwort: 58

SA = (−2; −2; −3), SB = (2; −2; −3): SA·SB = −4 + 4 + 9 = 9, |SA|·|SB| = 17, cos φ = 9/17, φ ≈ 58°.

Lückentext #3 15s ▶ Testen

Ein Parallelogramm ABCD mit AB·AD = 0 ist ein ___ (Rechteck oder Raute).

✓ Antwort: Rechteck

AB·AD = 0 bedeutet einen rechten Winkel bei A: Das Parallelogramm ist ein Rechteck. Eine Raute bräuchte |AB| = |AD|.

Zahleneingabe #4 50s ▶ Testen

Berechne das Spatprodukt (AB × AD)·AS für A(0 | 0 | 0), B(4 | 0 | 0), D(0 | 4 | 0), S(2 | 2 | 3).

✓ Antwort: 48

AB × AD = (0·0 − 0·4; 0·0 − 4·0; 4·4 − 0·0) = (0; 0; 16), (0; 0; 16)·(2; 2; 3) = 48.

Schwer

Zahleneingabe #1 70s ▶ Testen

Ein Zelt hat die Form der Pyramide ABCDS (Grundfläche 4 m × 4 m, Höhe 3 m). Wie viele Quadratmeter Stoff brauchen die vier Dachseiten (auf 0,1 m² genau)?

✓ Antwort: 28.8

Jede Dachseite ist ein Dreieck mit Grundseite 4 m und Seitenhöhe √13 m: ½·4·√13 ≈ 7,21 m². Vier Seiten: ≈ 28,84 ≈ 28,8 m². (Mit dem Vektorprodukt ½·|AB × AS| = ½·√208 dasselbe.)

Zahleneingabe #2 70s ▶ Testen

Wie groß ist der Neigungswinkel der Kante AS gegen die Grundfläche, also der Winkel zwischen AS und AM mit M(2 | 2 | 0) (auf 0,1° genau)?

✓ Antwort: 46.7

AS = (2; 2; 3), AM = (2; 2; 0): AS·AM = 8, |AS|·|AM| = √17·√8, cos φ ≈ 0,686, φ ≈ 46,7°. Mittelstufe: tan φ = 3/√8, dasselbe Ergebnis.

Zahleneingabe #3 45s ▶ Testen

Im Viereck ABCD ist AB = DC, AB = (2; 1; 2) und AD = (x; 2; 1). Für welches x ist ABCD ein Rechteck?

✓ Antwort: -2

AB·AD = 2x + 2 + 2 = 0, also x = −2.

Zahleneingabe #4 45s ▶ Testen

Ein Zelt mit quadratischer Grundfläche 4 m × 4 m soll 24 m³ Luft fassen. Wie hoch muss die Spitze über der Grundfläche liegen?

✓ Antwort: 4.5

V = ⅓·G·h = ⅓·16·h = 24, also h = 24·3/16 = 4,5 m. Mit dem Spatprodukt: ⅓·16·h, dasselbe.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Bestimme das Volumen der Pyramide A(0 | 0 | 0), B(6 | 0 | 0), C(6 | 4 | 0), D(0 | 4 | 0), S(3 | 2 | 5) auf zwei Wegen: (1) mit Grundfläche und Höhe der Mittelstufe, (2) mit dem Spatprodukt. Vergleiche die Ergebnisse und sage, welcher Weg hier kürzer ist und warum. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Weg 1: Grundfläche 6·4 = 24, Höhe = x₃-Koordinate von S = 5, V = ⅓·24·5 = 40. Weg 2: AB = (6; 0; 0), AD = (0; 4; 0), AS = (3; 2; 5): AB × AD = (0; 0; 24), (AB × AD)·AS = 120, V = ⅓·120 = 40. Beide Wege geben 40. Weg 1 ist kürzer, weil die Grundfläche in der x₁x₂-Ebene liegt und die Höhe direkt ablesbar ist; bei schief liegenden Körpern hilft das Spatprodukt.

Zwei Wege, ein Ergebnis: ⅓·G·h und ⅓·|Spatprodukt| geben 40. Liegt die Grundfläche in einer Koordinatenebene, ist die Mittelstufe kürzer.