Orthogonale Vektoren
Welches Paar ist orthogonal?
ErklĂ€rung: 2·1 + 1·2 + (â2)·2 = 0. Beim zweiten Paar ist das Skalarprodukt 2 + 2 + 4 = 8 (ein Vorzeichen anders), beim dritten 4 + 1 + 4 = 9 (ein Vektor mit sich selbst).
Im SchrĂ€gbild sind a = (2; 1; â2) und b = (1; 2; 2) eingezeichnet. Sind sie orthogonal?
ErklĂ€rung: a·b = 2 + 2 â 4 = 0, also ja. Ein SchrĂ€gbild verzerrt rechte Winkel; der Augenschein entscheidet nicht, und 8 stammt aus einem Vorzeichenfehler.
Zwei Vektoren a, b â o sind genau dann orthogonal, wenn a·b = ___
ErklĂ€rung: Orthogonal heiĂt Ï = 90°, also cos Ï = 0 und damit a·b = 0.
Wie viele der vier Paare sind orthogonal? (1; 2; 3) und (3; 0; â1); (2; â2; 1) und (1; 1; 0); (1; 1; 1) und (1; â1; 1); (0; 0; 5) und (3; 4; 0).
ErklĂ€rung: Skalarprodukte: 3 â 3 = 0, 2 â 2 = 0, 1 â 1 + 1 = 1, 0. Orthogonal sind drei Paare; nur (1; 1; 1) und (1; â1; 1) nicht.
FĂŒr a = (1; 0; 0) gilt a·b = 0. Welchen Vektor b â o kann man einsetzen?
ErklĂ€rung: a·b = 1·bâ, also muss bâ = 0 sein: (0; 5; 7) passt, ohne selbst o zu sein. (5; 0; 0) gibt 5 und (1; 1; 1) gibt 1.
Aus (1; 0; 0)·(0; 1; 0) = 0 folgt, dass einer der beiden Vektoren der Nullvektor ist.
ErklĂ€rung: Beide Vektoren sind ungleich o, ihr Skalarprodukt ist trotzdem 0: Sie stehen aufeinander senkrecht. Die Regel âein Faktor ist 0â gilt nur fĂŒr Zahlen.
Der ___ ist zu jedem Vektor orthogonal.
ErklĂ€rung: FĂŒr den Nullvektor o ist o·a = 0 + 0 + 0 = 0 bei jedem a.
FĂŒr a = (2; 0; 0) und b = (x; 3; 5) gilt a·b = 0. Bestimme x.
ErklÀrung: a·b = 2x + 0 + 0 = 0, also x = 0. Die zweite und dritte Komponente von b sind frei.
FĂŒr welches t sind a = (2; 1; â2) und b = (t; 2; 3) orthogonal?
ErklĂ€rung: a·b = 2t + 2 â 6 = 2t â 4 = 0, also t = 2. t = 4 vergisst den Faktor 2, t = â2 verdreht das Vorzeichen.
FĂŒr a = (t; 3; 1) und b = (2; t; â4) soll a·b = 0 gelten. Welche Gleichung entsteht?
ErklĂ€rung: a·b = t·2 + 3·t + 1·(â4) = 5t â 4. Ein Produkt der Komponenten gleich 0 zu setzen ist falsch, und 3·t darf nicht zu 3 werden.
FĂŒr welches t sind a = (3; t; â1) und b = (2; 4; 2) orthogonal?
ErklĂ€rung: a·b = 6 + 4t â 2 = 4t + 4 = 0, also t = â1.
FĂŒr a = (t; 2; 0) und b = (t; â8; 5) gilt a·b = 0. Bestimme das positive t.
ErklĂ€rung: a·b = tÂČ â 16 = 0, also t = ±4. Das positive t ist 4.
Das Dreieck ABC hat bei B einen rechten Winkel. Welche Gleichung gilt dann?
ErklÀrung: Ein rechter Winkel bei B bedeutet BA·BC = 0, beide Vektoren beginnen in B. AB·AC = 0 wÀre der rechte Winkel bei A, und |BA| = |BC| sagt nur, dass das Dreieck gleichschenklig ist (etwa im gleichseitigen Dreieck ohne rechten Winkel).
Das Dreieck PQR hat die Ecken P(3 | 2 | 4), Q(1 | 1 | 2) und R(2 | 3 | 0). Bei welcher Ecke liegt der rechte Winkel?
ErklĂ€rung: QP = (2; 1; 2), QR = (1; 2; â2): QP·QR = 2 + 2 â 4 = 0. Bei P und bei R ist das Skalarprodukt der Seitenvektoren 9, also nicht 0.
Berechne BA·BC im Dreieck A(2 | 0 | 1), B(0 | 0 | 0), C(1 | 3 | 5).
ErklÀrung: BA = (2; 0; 1), BC = (1; 3; 5): BA·BC = 2 + 0 + 5 = 7. Ungleich 0: Der Winkel bei B ist kein rechter (das Vorzeichen zeigt: spitz).
Das Dreieck A(1 | 0 | 2), B(3 | 1 | 3), C(c | 3 | 1) hat bei B einen rechten Winkel. Bestimme c.
ErklĂ€rung: BA = (â2; â1; â1), BC = (c â 3; 2; â2): BA·BC = â2(c â 3) â 2 + 2 = â2c + 6 = 0, also c = 3.
Im Parallelogramm ABCD mit AB = (2; 1; 2) und AD = (1; 2; 2) stehen die Diagonalen AC und BD senkrecht aufeinander.
ErklĂ€rung: AC = AB + AD = (3; 3; 4), BD = AD â AB = (â1; 1; 0): AC·BD = â3 + 3 + 0 = 0. Wegen |AB| = |AD| = 3 ist ABCD eine Raute; im SchrĂ€gbild sehen die Diagonalen dennoch nicht senkrecht aus.
Zeige, dass das Dreieck P(3 | 2 | 4), Q(1 | 1 | 2), R(2 | 3 | 0) bei Q einen rechten Winkel hat, und bestimme die beiden anderen Winkel. ErklÀre, warum man den rechten Winkel in einem SchrÀgbild des Dreiecks nicht nachmessen kann.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklĂ€rung: Rechter Winkel bei Q â QP·QR = 0. Die anderen beiden Winkel folgen aus der Winkelformel (je 45°) und der Winkelsumme.