Orthogonale Vektoren

Orthogonal vectors

Mathematik Klasse 12 18 Aufgaben

GeometrieVektorenSkalarproduktOrthogonalität

Zwei Vektoren ungleich dem Nullvektor sind genau dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist: der Sonderfall cos 90° = 0 der Winkelformel. Der Abschnitt nutzt das für den Test, für Gleichungen mit einem Parameter und für rechte Winkel in Dreiecken, Rechtecken und Rauten, die man im Schrägbild nicht ablesen kann. Räumt aus, aus a·b = 0 auf a = o oder b = o zu schließen (Zahlenregel), Orthogonalität am Bild zu beurteilen und Produkte statt Summen gleich null zu setzen. Bereitet den Normalenvektor, die Probe beim Vektorprodukt und Ebenengleichungen vor.

Der Orthogonalitätstest

Bei $φ = 90°$ ist $cos φ = 0$ , also muss der Zähler der Winkelformel null sein. Für Vektoren, die nicht der Nullvektor sind, gilt deshalb:

$a ⊥ b ⟺ a \cdot b = 0$

Für $a = (2; 1; - 2)$ und $b = (1; 2; 2)$ ist $a \cdot b = 2 + 2 - 4 = 0$ : Die Vektoren sind orthogonal. Im Schrägbild sieht man das nicht, denn rechte Winkel werden verzerrt gezeichnet. Entscheiden kann nur die Rechnung. Anschaulich heißt $a \cdot b = 0$ : Keiner der beiden Vektoren hat einen Anteil in Richtung des anderen.

Bewege b weg von (1; 2; 2). Finde ein anderes b mit a·b = 0 – erkennst du es im Bild?

Vorsicht: Bei Zahlen folgt aus $a \cdot b = 0$ , dass ein Faktor null ist. Bei Vektoren nicht: $(1; 0; 0) \cdot (0; 1; 0) = 0$ , und keiner ist der Nullvektor. Nur der Nullvektor ist zu jedem Vektor orthogonal.

Parameter und rechte Winkel

Oft steckt ein Parameter im Vektor. Für $b (t) = (t; 2; 3)$ ist $a \cdot b (t) = 2 t + 2 - 6 = 2 t - 4$ . Man setzt die Summe gleich null und löst: $t = 2$ . Die einzelnen Produkte gleich null zu setzen wäre falsch. Steht der Parameter im Quadrat, etwa $t^{2} - 16 = 0$ , gibt es zwei Lösungen, $t = \pm 4$ , und beide gehören dazu.

Ändere t. Bei welchem t wird a·b(t) null, und wie sieht b(t) dann im Bild aus?

So prüft man auch Figuren: Ein rechter Winkel bei B im Dreieck ABC bedeutet $B A \cdot B C = 0$ . Beim Dreieck PQR unten liegt er bei Q, denn $QP \cdot QR = 2 + 2 - 4 = 0$ – im Bild ist er nicht zu erkennen. Auch in einer Raute stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander.

Dreieck PQR mit P(3 | 2 | 4), Q(1 | 1 | 2), R(2 | 3 | 0): QP = (2; 1; 2) (gelb), QR = (1; 2; −2) (cyan).

Voraussetzungen (1)

Winkel zwischen Vektoren

Klasse 12

›

Ermöglicht (1)

Das Vektorprodukt

Klasse 12

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welches Paar ist orthogonal?

● (2; 1; −2) und (1; 2; 2)
○ (2; 1; −2) und (1; 2; −2)
○ (2; 1; −2) und (2; 1; −2)

2·1 + 1·2 + (−2)·2 = 0. Beim zweiten Paar ist das Skalarprodukt 2 + 2 + 4 = 8 (ein Vorzeichen anders), beim dritten 4 + 1 + 4 = 9 (ein Vektor mit sich selbst).

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Im Schrägbild sind a = (2; 1; −2) und b = (1; 2; 2) eingezeichnet. Sind sie orthogonal?

● Ja, denn a·b = 0
○ Nein, denn a·b = 8
○ Nein, denn sie sehen nicht rechtwinklig aus

a·b = 2 + 2 − 4 = 0, also ja. Ein Schrägbild verzerrt rechte Winkel; der Augenschein entscheidet nicht, und 8 stammt aus einem Vorzeichenfehler.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Für a = (1; 0; 0) gilt a·b = 0. Welchen Vektor b ≠ o kann man einsetzen?

● (0; 5; 7)
○ (5; 0; 0)
○ (1; 1; 1)

a·b = 1·b₁, also muss b₁ = 0 sein: (0; 5; 7) passt, ohne selbst o zu sein. (5; 0; 0) gibt 5 und (1; 1; 1) gibt 1.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Aus (1; 0; 0)·(0; 1; 0) = 0 folgt, dass einer der beiden Vektoren der Nullvektor ist.

✓ Falsch

Beide Vektoren sind ungleich o, ihr Skalarprodukt ist trotzdem 0: Sie stehen aufeinander senkrecht. Die Regel „ein Faktor ist 0“ gilt nur für Zahlen.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Für welches t sind a = (2; 1; −2) und b = (t; 2; 3) orthogonal?

● 2
○ 4
○ −2

a·b = 2t + 2 − 6 = 2t − 4 = 0, also t = 2. t = 4 vergisst den Faktor 2, t = −2 verdreht das Vorzeichen.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Für a = (t; 3; 1) und b = (2; t; −4) soll a·b = 0 gelten. Welche Gleichung entsteht?

● 5t − 4 = 0
○ t·3t·(−4) = 0
○ 2t + 3 − 4 = 0

a·b = t·2 + 3·t + 1·(−4) = 5t − 4. Ein Produkt der Komponenten gleich 0 zu setzen ist falsch, und 3·t darf nicht zu 3 werden.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Das Dreieck ABC hat bei B einen rechten Winkel. Welche Gleichung gilt dann?

● BA·BC = 0
○ AB·AC = 0
○ |BA| = |BC|

Ein rechter Winkel bei B bedeutet BA·BC = 0, beide Vektoren beginnen in B. AB·AC = 0 wäre der rechte Winkel bei A, und |BA| = |BC| sagt nur, dass das Dreieck gleichschenklig ist (etwa im gleichseitigen Dreieck ohne rechten Winkel).

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Das Dreieck PQR hat die Ecken P(3 | 2 | 4), Q(1 | 1 | 2) und R(2 | 3 | 0). Bei welcher Ecke liegt der rechte Winkel?

● bei Q
○ bei P
○ bei R

QP = (2; 1; 2), QR = (1; 2; −2): QP·QR = 2 + 2 − 4 = 0. Bei P und bei R ist das Skalarprodukt der Seitenvektoren 9, also nicht 0.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Im Parallelogramm ABCD mit AB = (2; 1; 2) und AD = (1; 2; 2) stehen die Diagonalen AC und BD senkrecht aufeinander.

✓ Wahr

AC = AB + AD = (3; 3; 4), BD = AD − AB = (−1; 1; 0): AC·BD = −3 + 3 + 0 = 0. Wegen |AB| = |AD| = 3 ist ABCD eine Raute; im Schrägbild sehen die Diagonalen dennoch nicht senkrecht aus.

Mittel

Lückentext #1 15s ▶ Testen

Zwei Vektoren a, b ≠ o sind genau dann orthogonal, wenn a·b = ___

✓ Antwort: 0

Orthogonal heißt φ = 90°, also cos φ = 0 und damit a·b = 0.

Lückentext #2 15s ▶ Testen

Der ___ ist zu jedem Vektor orthogonal.

✓ Antwort: Nullvektor

Für den Nullvektor o ist o·a = 0 + 0 + 0 = 0 bei jedem a.

Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Für welches t sind a = (3; t; −1) und b = (2; 4; 2) orthogonal?

✓ Antwort: -1

a·b = 6 + 4t − 2 = 4t + 4 = 0, also t = −1.

Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

Berechne BA·BC im Dreieck A(2 | 0 | 1), B(0 | 0 | 0), C(1 | 3 | 5).

✓ Antwort: 7

BA = (2; 0; 1), BC = (1; 3; 5): BA·BC = 2 + 0 + 5 = 7. Ungleich 0: Der Winkel bei B ist kein rechter (das Vorzeichen zeigt: spitz).

Schwer

Zahleneingabe #1 60s ▶ Testen

Wie viele der vier Paare sind orthogonal? (1; 2; 3) und (3; 0; −1); (2; −2; 1) und (1; 1; 0); (1; 1; 1) und (1; −1; 1); (0; 0; 5) und (3; 4; 0).

✓ Antwort: 3

Skalarprodukte: 3 − 3 = 0, 2 − 2 = 0, 1 − 1 + 1 = 1, 0. Orthogonal sind drei Paare; nur (1; 1; 1) und (1; −1; 1) nicht.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Für a = (2; 0; 0) und b = (x; 3; 5) gilt a·b = 0. Bestimme x.

✓ Antwort: 0

a·b = 2x + 0 + 0 = 0, also x = 0. Die zweite und dritte Komponente von b sind frei.

Zahleneingabe #3 50s ▶ Testen

Für a = (t; 2; 0) und b = (t; −8; 5) gilt a·b = 0. Bestimme das positive t.

✓ Antwort: 4

a·b = t² − 16 = 0, also t = ±4. Das positive t ist 4.

Zahleneingabe #4 60s ▶ Testen

Das Dreieck A(1 | 0 | 2), B(3 | 1 | 3), C(c | 3 | 1) hat bei B einen rechten Winkel. Bestimme c.

✓ Antwort: 3

BA = (−2; −1; −1), BC = (c − 3; 2; −2): BA·BC = −2(c − 3) − 2 + 2 = −2c + 6 = 0, also c = 3.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Zeige, dass das Dreieck P(3 | 2 | 4), Q(1 | 1 | 2), R(2 | 3 | 0) bei Q einen rechten Winkel hat, und bestimme die beiden anderen Winkel. Erkläre, warum man den rechten Winkel in einem Schrägbild des Dreiecks nicht nachmessen kann. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: QP = (2; 1; 2), QR = (1; 2; −2), QP·QR = 2 + 2 − 4 = 0, also ist der Winkel bei Q ein rechter. |QP| = 3, |QR| = 3, |PR| = √18. Winkel bei P: PQ = (−2; −1; −2), PR = (−1; 1; −4), PQ·PR = 9, |PQ|·|PR| = 3·√18, cos = 9/(3·√18) = 1/√2, also 45°; bei R ebenfalls 45° (Winkelsumme 180°). Im Schrägbild werden Längen und Winkel verzerrt (x₁-Richtung verkürzt und schräg), deshalb entscheidet nur die Rechnung.

Rechter Winkel bei Q ⇔ QP·QR = 0. Die anderen beiden Winkel folgen aus der Winkelformel (je 45°) und der Winkelsumme.