Das Skalarprodukt
Wie groß ist (2; 1; 3)·(1; 4; 0)?
Erklärung: 2·1 + 1·4 + 3·0 = 6. Die Spalte (2; 4; 0) lässt die Produkte stehen, statt sie zu addieren; 11 addiert alle sechs Zahlen.
Für a = (1; 0; 2) und b = (3; 5; 1) ist a·b = (3; 0; 2).
Erklärung: a·b = 1·3 + 0·5 + 2·1 = 5, eine Zahl. (3; 0; 2) entsteht, wenn man die Produkte nicht addiert.
Wie groß ist das Skalarprodukt der eingezeichneten Vektoren a = (2; −1; 3) und b = (1; 4; 2)?
Erklärung: 2·1 + (−1)·4 + 3·2 = 2 − 4 + 6 = 4. 12 entsteht, wenn man das Minuszeichen ignoriert; (2; −4; 6) lässt die Produkte stehen.
Berechne a·b für a = (3; −2; 5) und b = (−1; 4; 2).
Erklärung: 3·(−1) + (−2)·4 + 5·2 = −3 − 8 + 10 = −1.
Eine Kraft F = (3; 1; 2) (in N) verschiebt einen Wagen um s = (4; 2; 1) (in m). Die Arbeit ist W = F·s. Berechne W in Joule.
Erklärung: W = 3·4 + 1·2 + 2·1 = 12 + 2 + 2 = 16 J.
Berechne für a = (2; −3; 1) und b = (4; 1; −2) sowohl a·b als auch b·a und vergleiche die beiden Ergebnisse. Erkläre, warum das Ergebnis eine Zahl und kein Vektor ist.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Skalarprodukt: Komponenten paarweise multiplizieren und alle Produkte addieren. Weil jedes Produkt kommutiert, gilt a·b = b·a.
Wie groß ist (2; 3; 6)·(2; 3; 6)?
Erklärung: 4 + 9 + 36 = 49 = 7². 7 ist die Länge |a| (die Wurzel wird bei a·a nicht gezogen), 11 die Summe der Komponenten.
Für a = (0; 3; 4) gilt a·a = 25.
Erklärung: 0 + 9 + 16 = 25. Das ist |a|² mit |a| = 5.
Die Raumdiagonale einer Kiste ist der Vektor a = (3; 4; 12). Wie groß ist a·a?
Erklärung: 9 + 16 + 144 = 169 = 13². 13 wäre die Länge der Diagonalen, 19 die Summe der Kanten.
Berechne die Länge von a = (1; 4; 8) mit |a| = √(a·a).
Erklärung: a·a = 1 + 16 + 64 = 81, also |a| = √81 = 9.
Der Vektor a = (2; 4; c) mit c > 0 hat a·a = 36. Bestimme c.
Erklärung: 4 + 16 + c² = 36, also c² = 16 und c = 4 (wegen c > 0).
Es ist a·b = 5 und a·c = 3. Wie groß ist a·(b + c)?
Erklärung: Das Skalarprodukt ist distributiv: a·(b + c) = a·b + a·c = 5 + 3 = 8. 15 multipliziert die Ergebnisse, 2 subtrahiert sie.
Für a = (1; 4; 2) und b = (2; −3; 7) gilt b·a = a·b.
Erklärung: a·b = 2 − 12 + 14 = 4 und b·a = 2 − 12 + 14 = 4: Jedes Produkt kommutiert, also darf man vertauschen.
Es ist a·b = 5. Wie groß ist (−2·a)·b?
Erklärung: (−2·a)·b = −2·(a·b) = −2·5 = −10. Der Faktor darf vor das Skalarprodukt gezogen werden, sein Vorzeichen bleibt. 3 addiert, 10 verliert das Vorzeichen.
Es ist |a| = 2, |b| = 3 und a·b = 4 (Bild: a und b mit der Summe a + b). Wie groß ist |a + b|²?
Erklärung: |a + b|² = (a + b)·(a + b) = a·a + 2·a·b + b·b = 4 + 8 + 9 = 21. 13 lässt das Mischglied 2·a·b weg, 25 rechnet (2 + 3)².
Der Ausdruck (1; 2; 3)·((1; 0; 1)·(2; 2; 2)) lässt sich als Skalarprodukt berechnen.
Erklärung: Die Klammer (1; 0; 1)·(2; 2; 2) = 4 ist eine Zahl; das Skalarprodukt von (1; 2; 3) mit einer Zahl ist nicht definiert. Ein Assoziativgesetz gibt es nicht.
Es ist a·b = 7 und a·c = −2. Berechne a·(2b − c).
Erklärung: a·(2b − c) = 2·(a·b) − a·c = 14 − (−2) = 16.
Es ist |a| = 3, |b| = 4 und a·b = −6. Berechne |a − b|².
Erklärung: |a − b|² = a·a − 2·a·b + b·b = 9 − 2·(−6) + 16 = 9 + 12 + 16 = 37. Beim Minus ändert nur das Mischglied sein Vorzeichen.