Das Skalarprodukt

The dot product

Mathematik Klasse 12 18 Aufgaben

GeometrieVektorenSkalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl: a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃, komponentenweise multipliziert und addiert. Mit sich selbst multipliziert liefert es das Quadrat der Länge, a·a = |a|², und es folgt den vertrauten Rechengesetzen (kommutativ, distributiv), aber nicht dem Assoziativgesetz. Räumt aus, das Ergebnis als Vektor (a₁b₁; a₂b₂; a₃b₃) zu schreiben, die Wurzel bei der Länge zu vergessen und das Mischglied in |a + b|² zu übersehen (Barniol & Zavala 2014). Bereitet den Winkel zwischen Vektoren und die Orthogonalität vor.

Die Rechenvorschrift

Zwei Vektoren lassen sich zu einer Zahl verrechnen. Das Skalarprodukt multipliziert die Komponenten paarweise und addiert die drei Produkte:

$a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$

Für $a = (1; 2; 3)$ und $b = (4; - 1; 2)$ ist $a \cdot b = 4 - 2 + 6 = 8$ . Das Ergebnis ist eine Zahl, kein Vektor: Die Produkte bleiben nicht als Spalte stehen, sondern werden addiert. Auch negative Komponenten sind erlaubt: $(3; 2; - 1) \cdot (2; - 4; 1) = 6 - 8 - 1 = - 3$ . Das Ergebnis darf positiv, null oder negativ sein. In der Physik ist es die Arbeit $W = F \cdot s$ ; was die Zahl geometrisch aussagt, klärt der nächste Abschnitt.

Verändere b. Welche der drei Produkte werden negativ, und wann ist die Summe 0?

Länge und Rechengesetze

Multipliziert man einen Vektor mit sich selbst, entstehen lauter Quadrate: $a \cdot a = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} = ∣ a ∣^{2}$ . Das Skalarprodukt mit sich selbst ist das Quadrat der Länge, also $∣ a ∣ = a \cdot a$ . Für $(1; 2; 2)$ ist $a \cdot a = 9$ und die Länge 3. Das ist derselbe Betrag wie im vorigen Kurs, jetzt als Wurzel aus einem Skalarprodukt geschrieben.

Stelle a ein und vergleiche a·a mit |a|. Wann ist |a| eine ganze Zahl?

Für Skalarprodukte gelten die vertrauten Gesetze: $a \cdot b = b \cdot a$ , $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ und $(s a) \cdot b = s (a \cdot b)$ . Daraus folgt $∣ a + b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + 2 a \cdot b + ∣ b ∣^{2}$ : Die Länge einer Summe hat ein Mischglied. Ein Assoziativgesetz gibt es nicht, denn $b \cdot c$ ist schon eine Zahl. Zur Probe: Für $(1; 0; 0)$ und $(0; 1; 0)$ ist $∣ a + b ∣^{2} = 2$ , nicht $(1 + 1)^{2} = 4$ .

Ermöglicht (1)

Winkel zwischen Vektoren

Klasse 12

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Wie groß ist (2; 1; 3)·(1; 4; 0)?

● 6
○ (2; 4; 0)
○ 11

2·1 + 1·4 + 3·0 = 6. Die Spalte (2; 4; 0) lässt die Produkte stehen, statt sie zu addieren; 11 addiert alle sechs Zahlen.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Für a = (1; 0; 2) und b = (3; 5; 1) ist a·b = (3; 0; 2).

✓ Falsch

a·b = 1·3 + 0·5 + 2·1 = 5, eine Zahl. (3; 0; 2) entsteht, wenn man die Produkte nicht addiert.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Wie groß ist das Skalarprodukt der eingezeichneten Vektoren a = (2; −1; 3) und b = (1; 4; 2)?

● 4
○ 12
○ (2; −4; 6)

2·1 + (−1)·4 + 3·2 = 2 − 4 + 6 = 4. 12 entsteht, wenn man das Minuszeichen ignoriert; (2; −4; 6) lässt die Produkte stehen.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Wie groß ist (2; 3; 6)·(2; 3; 6)?

● 49
○ 7
○ 11

4 + 9 + 36 = 49 = 7². 7 ist die Länge |a| (die Wurzel wird bei a·a nicht gezogen), 11 die Summe der Komponenten.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Für a = (0; 3; 4) gilt a·a = 25.

✓ Wahr

0 + 9 + 16 = 25. Das ist |a|² mit |a| = 5.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Die Raumdiagonale einer Kiste ist der Vektor a = (3; 4; 12). Wie groß ist a·a?

● 169
○ 13
○ 19

9 + 16 + 144 = 169 = 13². 13 wäre die Länge der Diagonalen, 19 die Summe der Kanten.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Es ist a·b = 5 und a·c = 3. Wie groß ist a·(b + c)?

● 8
○ 15
○ 2

Das Skalarprodukt ist distributiv: a·(b + c) = a·b + a·c = 5 + 3 = 8. 15 multipliziert die Ergebnisse, 2 subtrahiert sie.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Für a = (1; 4; 2) und b = (2; −3; 7) gilt b·a = a·b.

✓ Wahr

a·b = 2 − 12 + 14 = 4 und b·a = 2 − 12 + 14 = 4: Jedes Produkt kommutiert, also darf man vertauschen.

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Es ist a·b = 5. Wie groß ist (−2·a)·b?

● −10
○ 10
○ 3

(−2·a)·b = −2·(a·b) = −2·5 = −10. Der Faktor darf vor das Skalarprodukt gezogen werden, sein Vorzeichen bleibt. 3 addiert, 10 verliert das Vorzeichen.

Multiple Choice #10 20s ▶ Testen

Es ist |a| = 2, |b| = 3 und a·b = 4 (Bild: a und b mit der Summe a + b). Wie groß ist |a + b|²?

● 21
○ 13
○ 25

|a + b|² = (a + b)·(a + b) = a·a + 2·a·b + b·b = 4 + 8 + 9 = 21. 13 lässt das Mischglied 2·a·b weg, 25 rechnet (2 + 3)².

Wahr / Falsch #11 15s ▶ Testen

Der Ausdruck (1; 2; 3)·((1; 0; 1)·(2; 2; 2)) lässt sich als Skalarprodukt berechnen.

✓ Falsch

Die Klammer (1; 0; 1)·(2; 2; 2) = 4 ist eine Zahl; das Skalarprodukt von (1; 2; 3) mit einer Zahl ist nicht definiert. Ein Assoziativgesetz gibt es nicht.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne a·b für a = (3; −2; 5) und b = (−1; 4; 2).

✓ Antwort: -1

3·(−1) + (−2)·4 + 5·2 = −3 − 8 + 10 = −1.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne die Länge von a = (1; 4; 8) mit |a| = √(a·a).

✓ Antwort: 9

a·a = 1 + 16 + 64 = 81, also |a| = √81 = 9.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Es ist a·b = 7 und a·c = −2. Berechne a·(2b − c).

✓ Antwort: 16

a·(2b − c) = 2·(a·b) − a·c = 14 − (−2) = 16.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Eine Kraft F = (3; 1; 2) (in N) verschiebt einen Wagen um s = (4; 2; 1) (in m). Die Arbeit ist W = F·s. Berechne W in Joule.

✓ Antwort: 16

W = 3·4 + 1·2 + 2·1 = 12 + 2 + 2 = 16 J.

KI-bewertete Rechnung #2 240s ▶ Testen

Berechne für a = (2; −3; 1) und b = (4; 1; −2) sowohl a·b als auch b·a und vergleiche die beiden Ergebnisse. Erkläre, warum das Ergebnis eine Zahl und kein Vektor ist. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: a·b = 2·4 + (−3)·1 + 1·(−2) = 8 − 3 − 2 = 3. b·a = 4·2 + 1·(−3) + (−2)·1 = 3, dasselbe Ergebnis, weil jedes Produkt kommutiert. Das Ergebnis ist eine Zahl, weil die drei Produkte addiert werden und nicht als Spalte stehen bleiben.

Skalarprodukt: Komponenten paarweise multiplizieren und alle Produkte addieren. Weil jedes Produkt kommutiert, gilt a·b = b·a.

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Der Vektor a = (2; 4; c) mit c > 0 hat a·a = 36. Bestimme c.

✓ Antwort: 4

4 + 16 + c² = 36, also c² = 16 und c = 4 (wegen c > 0).

Zahleneingabe #4 45s ▶ Testen

Es ist |a| = 3, |b| = 4 und a·b = −6. Berechne |a − b|².

✓ Antwort: 37

|a − b|² = a·a − 2·a·b + b·b = 9 − 2·(−6) + 16 = 9 + 12 + 16 = 37. Beim Minus ändert nur das Mischglied sein Vorzeichen.