Spat und Pyramide
Wie groß ist (a × b)·c für a = (1; 0; 0), b = (0; 2; 0) und c = (1; 1; 3)?
Erklärung: a × b = (0; 0; 2), dann (0; 0; 2)·(1; 1; 3) = 0 + 0 + 6 = 6. Das Skalarprodukt ist eine Zahl, kein Vektor; 2 ist nur die Länge von a × b und vergisst c.
Für a = (1; 1; 0), b = (0; 1; 2) und c = (1; 0; 4) ist (a × b)·c = (2; 0; 4).
Erklärung: a × b = (2; −2; 1), und (2; −2; 1)·(1; 0; 4) = 2 + 0 + 4 = 6 ist eine Zahl. (2; 0; 4) entsteht durch komponentenweises Multiplizieren ohne Addieren.
Berechne (a × b)·c für a = (2; 1; 0), b = (1; 0; 1) und c = (0; 3; 1).
Erklärung: a × b = (1·1 − 0·0; 0·1 − 2·1; 2·0 − 1·1) = (1; −2; −1), dann (1; −2; −1)·(0; 3; 1) = 0 − 6 − 1 = −7.
Es ist (a × b)·c = 5. Wie groß ist (b × a)·c?
Erklärung: b × a = −(a × b), also (b × a)·c = −(a × b)·c = −5. Vertauscht man a und b, wechselt das Spatprodukt sein Vorzeichen.
(a × b)·c = −12. Wie groß ist das Volumen des Spats aus a, b und c?
Erklärung: Das Volumen ist der Betrag: |−12| = 12. Ein Volumen ist nie negativ, und 4 = 12/3 wäre (fälschlich) das Volumen einer Pyramide.
Der Spat im Bild wird von a = (2; 0; 0), b = (0; 3; 0) und c = (1; 1; 2) aufgespannt. Wie groß ist sein Volumen?
Erklärung: (a × b)·c = (0; 0; 6)·(1; 1; 2) = 12. 14,7 ist |a × b|·|c|, das Produkt der Längen statt des Skalarprodukts; 6 ist nur die Grundfläche.
Berechne das Volumen des Spats aus a = (1; 2; 0), b = (0; 1; 3) und c = (2; 0; 1).
Erklärung: a × b = (2·3 − 0·1; 0·0 − 1·3; 1·1 − 2·0) = (6; −3; 1), (a × b)·c = 12 + 0 + 1 = 13, also V = 13.
Ein schiefer Spat wird von a = (4; 0; 0), b = (0; 3; 0) und c = (2; 1; 5) aufgespannt. Wie groß ist sein Volumen?
Erklärung: (a × b)·c = (0; 0; 12)·(2; 1; 5) = 60. Nur c₃ = 5 zählt (Höhe 5 über der Grundfläche 12); dass c schräg steht, ändert das Volumen nicht.
Der Spat aus a, b, c hat das Volumen 12. Wie groß ist die Pyramide auf dem Grundparallelogramm mit der Spitze am Ende von c?
Erklärung: Eine Pyramide hat ein Drittel des Volumens von Grundfläche mal Höhe: 12/3 = 4. 12 wäre der Spat selbst, 6 die Hälfte.
Ein Tetraeder wird von den Kanten a, b, c ab einer Ecke aufgespannt. Der zugehörige Spat hat das Volumen 12. Wie groß ist das Tetraeder?
Erklärung: Die Grundfläche ist nur das halbe Parallelogramm, also V = ⅓·½·12 = ⅙·12 = 2. 4 wäre die Pyramide auf dem ganzen Parallelogramm, 6 die Hälfte des Spats.
Berechne das Volumen der Pyramide auf dem Parallelogramm aus a = (3; 0; 0) und b = (0; 4; 0) mit der Spitze am Ende von c = (1; 1; 6).
Erklärung: a × b = (0; 0; 12), (a × b)·c = 72, Pyramide: ⅓·72 = 24. Probe mit der Mittelstufe: ⅓·Grundfläche 12·Höhe 6 = 24.
Das Tetraeder hat die Ecken O(0 | 0 | 0), A(3 | 0 | 0), B(0 | 4 | 0) und C(0 | 0 | 5). Berechne sein Volumen.
Erklärung: OA = (3; 0; 0), OB = (0; 4; 0), OC = (0; 0; 5): (OA × OB)·OC = (0; 0; 12)·(0; 0; 5) = 60, Tetraeder: ⅙·60 = 10.
Die Vektoren a = (2; 0; 0), b = (1; 3; 0) und c = (1; 1; 4) spannen einen Spat auf. Berechne sein Volumen, das Volumen der Pyramide auf dem Grundparallelogramm mit der Spitze am Ende von c und das des Tetraeders. Kontrolliere den Spat mit „Grundfläche mal Höhe“.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Spatprodukt = Grundfläche mal Höhe. Die Pyramide ist davon ⅓, das Tetraeder ⅙.
Für welchen Vektor c liegen a = (1; 0; 0), b = (0; 1; 0) und c in einer Ebene?
Erklärung: (a × b)·c = (0; 0; 1)·c = c₃. Nur bei c₃ = 0, also c = (2; 3; 0), ist es 0. Bei (2; 3; 1) und (0; 0; 1) ragt c aus der x₁x₂-Ebene.
Die Vektoren a = (1; 2; 0), b = (0; 1; 1) und c = (1; 3; 1) liegen in einer Ebene.
Erklärung: a × b = (2; −1; 1) und (2; −1; 1)·(1; 3; 1) = 2 − 3 + 1 = 0. (Tatsächlich ist c = a + b.) Das Spatvolumen ist 0.
Für welches t liegen a = (1; 1; 0), b = (0; 1; 2) und c = (1; 0; t) in einer Ebene?
Erklärung: a × b = (2; −2; 1), (a × b)·c = 2 + 0 + t = 0, also t = −2. (Dann ist c = a − b.)
Die Punkte A(1 | 0 | 0), B(0 | 1 | 0), C(0 | 0 | 1) und D(1 | 1 | t) liegen in einer Ebene. Bestimme t.
Erklärung: AB = (−1; 1; 0), AC = (−1; 0; 1), AD = (0; 1; t). AB × AC = (1; 1; 1); (AB × AC)·AD = 0 + 1 + t = 0, also t = −1.