Spat und Pyramide

Parallelepiped and pyramid

Mathematik Klasse 12 17 Aufgaben

GeometrieVektorenVektorproduktVolumen

Drei Vektoren a, b, c spannen einen Spat auf: Die Grundfläche ist |a × b|, die Höhe liefert das Skalarprodukt mit c, das Volumen ist V = |(a × b)·c| (Spatprodukt mit Betrag). Eine Pyramide auf dem Parallelogramm hat ein Drittel davon, ein Tetraeder ein Sechstel; ist das Spatprodukt 0, liegen die Vektoren in einer Ebene. Räumt aus, den Betrag wegzulassen und ein negatives Volumen zu nennen, |a × b|·|c| statt des Skalarprodukts zu nehmen und ⅓ mit ⅙ zu verwechseln (Henn & Filler 2015). Bereitet Körperberechnungen mit Vektoren und Abstände im Raum vor.

Der Spat

Drei Vektoren a, b und c, die nicht in einer Ebene liegen, spannen einen Spat auf. Seine Grundfläche ist das Parallelogramm aus a und b mit dem Flächeninhalt $∣ a \times b ∣$ . Die Höhe misst c in Richtung des senkrechten Vektors $a \times b$ , und das steckt im Skalarprodukt: $h = ∣ (a \times b) \cdot c ∣ / ∣ a \times b ∣$ . Also:

$V = ∣ a \times b ∣ \cdot h = ∣ (a \times b) \cdot c ∣$

Die Zahl $(a \times b) \cdot c$ heißt Spatprodukt: erst das Vektorprodukt, dann das Skalarprodukt. Für $a = (1; 1; 0)$ , $b = (0; 1; 2)$ und $c = (1; 0; 4)$ ist $(2; - 2; 1) \cdot (1; 0; 4) = 6$ , das Volumen also 6. Das Spatprodukt kann negativ sein, ein Volumen nicht – deshalb der Betrag. Vertauscht man a und b, wechselt das Spatprodukt sein Vorzeichen, das Volumen bleibt. Schiebt man c parallel zur Ebene von a und b, ändert sich das Volumen nicht: Nur die Höhe zählt.

Verändere c. Wann ist das Spatprodukt 0, und was bewirkt c₁ bei festem c₂ und c₃?

Pyramide und Tetraeder

Eine Pyramide hat das Volumen $\frac{1}{3} \cdot G \cdot h$ . Steht sie auf dem Parallelogramm aus a und b und liegt ihre Spitze am Ende von c, haben Pyramide und Spat dieselbe Grundfläche und Höhe: $V = \frac{1}{3} ∣ (a \times b) \cdot c ∣$ , im Beispiel von oben 2. Ein Tetraeder steht nur auf dem halben Parallelogramm, dem Dreieck: $V = \frac{1}{6} ∣ (a \times b) \cdot c ∣$ , dort 1.

Spat aus a = (2; 0; 0), b = (0; 3; 0), c = (1; 1; 2): V = 12; die Pyramide (rosa) hat ⅓ davon, also 4.

Ist das Spatprodukt 0, liegen a, b und c in einer Ebene: Der Spat ist flach, sein Volumen 0.

Voraussetzungen (1)

Flächeninhalt

Klasse 12

›

Ermöglicht (1)

Körper berechnen

Klasse 12

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Wie groß ist (a × b)·c für a = (1; 0; 0), b = (0; 2; 0) und c = (1; 1; 3)?

● 6
○ (0; 0; 6)
○ 2

a × b = (0; 0; 2), dann (0; 0; 2)·(1; 1; 3) = 0 + 0 + 6 = 6. Das Skalarprodukt ist eine Zahl, kein Vektor; 2 ist nur die Länge von a × b und vergisst c.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Für a = (1; 1; 0), b = (0; 1; 2) und c = (1; 0; 4) ist (a × b)·c = (2; 0; 4).

✓ Falsch

a × b = (2; −2; 1), und (2; −2; 1)·(1; 0; 4) = 2 + 0 + 4 = 6 ist eine Zahl. (2; 0; 4) entsteht durch komponentenweises Multiplizieren ohne Addieren.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

(a × b)·c = −12. Wie groß ist das Volumen des Spats aus a, b und c?

● 12
○ −12
○ 4

Das Volumen ist der Betrag: |−12| = 12. Ein Volumen ist nie negativ, und 4 = 12/3 wäre (fälschlich) das Volumen einer Pyramide.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Der Spat im Bild wird von a = (2; 0; 0), b = (0; 3; 0) und c = (1; 1; 2) aufgespannt. Wie groß ist sein Volumen?

● 12
○ 14,7
○ 6

(a × b)·c = (0; 0; 6)·(1; 1; 2) = 12. 14,7 ist |a × b|·|c|, das Produkt der Längen statt des Skalarprodukts; 6 ist nur die Grundfläche.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Der Spat aus a, b, c hat das Volumen 12. Wie groß ist die Pyramide auf dem Grundparallelogramm mit der Spitze am Ende von c?

● 4
○ 12
○ 6

Eine Pyramide hat ein Drittel des Volumens von Grundfläche mal Höhe: 12/3 = 4. 12 wäre der Spat selbst, 6 die Hälfte.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Ein Tetraeder wird von den Kanten a, b, c ab einer Ecke aufgespannt. Der zugehörige Spat hat das Volumen 12. Wie groß ist das Tetraeder?

● 2
○ 4
○ 6

Die Grundfläche ist nur das halbe Parallelogramm, also V = ⅓·½·12 = ⅙·12 = 2. 4 wäre die Pyramide auf dem ganzen Parallelogramm, 6 die Hälfte des Spats.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Für welchen Vektor c liegen a = (1; 0; 0), b = (0; 1; 0) und c in einer Ebene?

● (2; 3; 0)
○ (2; 3; 1)
○ (0; 0; 1)

(a × b)·c = (0; 0; 1)·c = c₃. Nur bei c₃ = 0, also c = (2; 3; 0), ist es 0. Bei (2; 3; 1) und (0; 0; 1) ragt c aus der x₁x₂-Ebene.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Die Vektoren a = (1; 2; 0), b = (0; 1; 1) und c = (1; 3; 1) liegen in einer Ebene.

✓ Wahr

a × b = (2; −1; 1) und (2; −1; 1)·(1; 3; 1) = 2 − 3 + 1 = 0. (Tatsächlich ist c = a + b.) Das Spatvolumen ist 0.

Mittel

Zahleneingabe #1 70s ▶ Testen

Berechne (a × b)·c für a = (2; 1; 0), b = (1; 0; 1) und c = (0; 3; 1).

✓ Antwort: -7

a × b = (1·1 − 0·0; 0·1 − 2·1; 2·0 − 1·1) = (1; −2; −1), dann (1; −2; −1)·(0; 3; 1) = 0 − 6 − 1 = −7.

Zahleneingabe #2 70s ▶ Testen

Berechne das Volumen des Spats aus a = (1; 2; 0), b = (0; 1; 3) und c = (2; 0; 1).

✓ Antwort: 13

a × b = (2·3 − 0·1; 0·0 − 1·3; 1·1 − 2·0) = (6; −3; 1), (a × b)·c = 12 + 0 + 1 = 13, also V = 13.

Zahleneingabe #3 60s ▶ Testen

Berechne das Volumen der Pyramide auf dem Parallelogramm aus a = (3; 0; 0) und b = (0; 4; 0) mit der Spitze am Ende von c = (1; 1; 6).

✓ Antwort: 24

a × b = (0; 0; 12), (a × b)·c = 72, Pyramide: ⅓·72 = 24. Probe mit der Mittelstufe: ⅓·Grundfläche 12·Höhe 6 = 24.

Zahleneingabe #4 50s ▶ Testen

Für welches t liegen a = (1; 1; 0), b = (0; 1; 2) und c = (1; 0; t) in einer Ebene?

✓ Antwort: -2

a × b = (2; −2; 1), (a × b)·c = 2 + 0 + t = 0, also t = −2. (Dann ist c = a − b.)

Schwer

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Es ist (a × b)·c = 5. Wie groß ist (b × a)·c?

✓ Antwort: -5

b × a = −(a × b), also (b × a)·c = −(a × b)·c = −5. Vertauscht man a und b, wechselt das Spatprodukt sein Vorzeichen.

Zahleneingabe #2 60s ▶ Testen

Ein schiefer Spat wird von a = (4; 0; 0), b = (0; 3; 0) und c = (2; 1; 5) aufgespannt. Wie groß ist sein Volumen?

✓ Antwort: 60

(a × b)·c = (0; 0; 12)·(2; 1; 5) = 60. Nur c₃ = 5 zählt (Höhe 5 über der Grundfläche 12); dass c schräg steht, ändert das Volumen nicht.

Zahleneingabe #3 60s ▶ Testen

Das Tetraeder hat die Ecken O(0 | 0 | 0), A(3 | 0 | 0), B(0 | 4 | 0) und C(0 | 0 | 5). Berechne sein Volumen.

✓ Antwort: 10

OA = (3; 0; 0), OB = (0; 4; 0), OC = (0; 0; 5): (OA × OB)·OC = (0; 0; 12)·(0; 0; 5) = 60, Tetraeder: ⅙·60 = 10.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Die Vektoren a = (2; 0; 0), b = (1; 3; 0) und c = (1; 1; 4) spannen einen Spat auf. Berechne sein Volumen, das Volumen der Pyramide auf dem Grundparallelogramm mit der Spitze am Ende von c und das des Tetraeders. Kontrolliere den Spat mit „Grundfläche mal Höhe“. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: a × b = (0·0 − 0·3; 0·1 − 2·0; 2·3 − 0·1) = (0; 0; 6), (a × b)·c = 24, also V_Spat = 24. Pyramide: ⅓·24 = 8, Tetraeder: ⅙·24 = 4. Kontrolle: Grundfläche |a × b| = 6, Höhe = x₃-Koordinate von c = 4, 6·4 = 24.

Spatprodukt = Grundfläche mal Höhe. Die Pyramide ist davon ⅓, das Tetraeder ⅙.

Zahleneingabe #5 70s ▶ Testen

Die Punkte A(1 | 0 | 0), B(0 | 1 | 0), C(0 | 0 | 1) und D(1 | 1 | t) liegen in einer Ebene. Bestimme t.

✓ Antwort: -1

AB = (−1; 1; 0), AC = (−1; 0; 1), AD = (0; 1; t). AB × AC = (1; 1; 1); (AB × AC)·AD = 0 + 1 + t = 0, also t = −1.