Das Vektorprodukt
Wie lautet (1; 2; 3) × (2; 0; 1)?
Erklärung: (2·1 − 3·0; 3·2 − 1·1; 1·0 − 2·2) = (2; 5; −4). (−2; −5; 4) ist b × a, und (2; 0; 3) entsteht, wenn man die Komponenten einfach paarweise multipliziert.
Die Vektoren a = (3; 0; 0) und b = (0; 2; 0) liegen in der x₁x₂-Ebene. Wie lautet a × b?
Erklärung: a₁b₂ − a₂b₁ = 3·2 − 0 = 6, die anderen Komponenten sind 0. (0; 0; −6) wäre b × a, und 5 = 3 + 2 addiert statt zu multiplizieren.
Berechne die erste Komponente von a × b für a = (3; −1; 2) und b = (1; 4; −2).
Erklärung: a₂b₃ − a₃b₂ = (−1)·(−2) − 2·4 = 2 − 8 = −6.
Berechne a × b für a = (2; 1; −1) und b = (1; 3; 2) und gib die Summe der drei Komponenten an.
Erklärung: a × b = (1·2 − (−1)·3; (−1)·1 − 2·2; 2·3 − 1·1) = (5; −5; 5). Summe: 5 − 5 + 5 = 5.
Berechne a × b für a = (2; −1; 3) und b = (1; 4; −2). Überprüfe dein Ergebnis mit dem Skalarprodukt auf beide Vektoren und erkläre, warum die Probe klappt.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Vektorprodukt: jede Komponente ist eine Differenz zweier Produkte. Die Probe mit dem Skalarprodukt bestätigt die Orthogonalität.
Welcher Vektor steht senkrecht auf a = (1; 1; 0) und auf b = (0; 1; 2)?
Erklärung: a × b = (1·2 − 0; 0 − 1·2; 1·1 − 0) = (2; −2; 1). (1; 2; 2) ist die Summe a + b, (0; 1; 0) entsteht durch komponentenweises Multiplizieren; beides steht nicht senkrecht auf a und b.
Der Vektor n = (4; −4; 2) steht senkrecht auf a = (1; 1; 0) und auf b = (0; 1; 2).
Erklärung: n·a = 4 − 4 + 0 = 0 und n·b = 0 − 4 + 4 = 0. n = 2·(2; −2; 1) ist ein Vielfaches von a × b, und jedes Vielfache steht ebenfalls senkrecht.
Ein Vektor n steht senkrecht auf a und b, wenn n·a = ___ und n·b = 0 ist.
Erklärung: Orthogonal bedeutet Skalarprodukt 0, und zwar für beide Vektoren.
Ein Vektor mit erster Komponente 1 steht senkrecht auf a = (2; 1; 0) und b = (0; 1; 1). Wie lautet seine dritte Komponente?
Erklärung: a × b = (1·1 − 0·1; 0·0 − 2·1; 2·1 − 1·0) = (1; −2; 2). Die erste Komponente ist schon 1, also ist die dritte 2.
(1; 2; 3) × (2; 0; 1) = (2; 5; −4). Was ist (2; 0; 1) × (1; 2; 3)?
Erklärung: Vertauscht man die Faktoren, kehren sich alle Vorzeichen um: b × a = −(a × b). (2; 5; −4) nähme ein Kommutativgesetz an, (2; −5; 4) dreht nur ein Vorzeichen um.
Es ist a × b = (0; 0; 6) für a = (3; 0; 0) und b = (0; 2; 0) im Bild. Wohin zeigt b × a?
Erklärung: b × a = −(a × b) = (0; 0; −6): gleiche Länge, Gegenrichtung, also nach unten. Nach oben zeigt a × b, und die x₂-Richtung hat mit dem Ergebnis nichts zu tun.
Es ist a × b = (4; −1; 3). Berechne die zweite Komponente von b × a.
Erklärung: b × a = −(a × b) = (−4; 1; −3). Die zweite Komponente ist 1.
Es ist a × b = (1; 2; 2). Wie lang ist b × a?
Erklärung: b × a = (−1; −2; −2) hat dieselbe Länge wie a × b: √(1 + 4 + 4) = 3.
Bei welchem Paar ist a × b = o?
Erklärung: (2; 4; 6) = 2·(1; 2; 3) ist parallel: a × b = o. (3; 2; 1) und (−1; −2; 3) sind keine Vielfachen von (1; 2; 3); bei (−1; −2; 3) wechseln die ersten beiden Komponenten das Vorzeichen, die dritte nicht.
Für a = (1; 2; 3) und b = (2; 4; 6) ist a × b = o, obwohl keiner der beiden Vektoren der Nullvektor ist.
Erklärung: (2·6 − 3·4; 3·2 − 1·6; 1·4 − 2·2) = (0; 0; 0). Die Vektoren sind parallel; das Vektorprodukt ist o, ohne dass ein Faktor o ist.
Ist a × b = o für a, b ≠ o, dann sind a und b zueinander (parallel oder orthogonal): ___
Erklärung: a × b = o bedeutet, dass die aufgespannte Fläche 0 ist: Die Vektoren liegen auf einer Geraden, sind also parallel.
Für welches t ist (1; 2; 3) × (2; 4; t) = o?
Erklärung: Der Vektor (2; 4; t) muss ein Vielfaches von (1; 2; 3) sein: (2; 4; 6), also t = 6. Probe: 1·t − 3·2 = t − 6 = 0.