Das Vektorprodukt

The cross product

Mathematik Klasse 12 17 Aufgaben

GeometrieVektorenVektorproduktOrthogonalität

Das Vektorprodukt a × b = (a₂b₃ − a₃b₂; a₃b₁ − a₁b₃; a₁b₂ − a₂b₁) ordnet zwei Vektoren einen dritten Vektor zu, der auf beiden senkrecht steht; die Probe ist das Skalarprodukt mit 0. Es ist antikommutativ, b × a = −(a × b), und der Nullvektor entsteht genau bei parallelen Vektoren. Räumt aus, komponentenweise zu multiplizieren, das Ergebnis als Zahl zu lesen, die Reihenfolge zu vertauschen und aus a × b = o auf a = o oder b = o zu schließen (Barniol & Zavala 2014). Bereitet Flächeninhalte, das Spatprodukt und Normalenvektoren von Ebenen vor.

Der senkrechte Vektor

Zu zwei Vektoren, die nicht parallel sind, gibt es einen Vektor, der auf beiden senkrecht steht. Das leistet das Vektorprodukt:

$a \times b = a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$

Jede Komponente ist eine Differenz zweier Produkte, und die Indizes laufen zyklisch weiter (1, 2, 3, 1, 2). Für $a = (1; 1; 0)$ und $b = (0; 1; 2)$ ist $a \times b = (2; - 2; 1)$ . Anders als das Skalarprodukt ist das Ergebnis ein Vektor. Die Probe macht das Skalarprodukt: $(2; - 2; 1) \cdot (1; 1; 0) = 0$ und $(2; - 2; 1) \cdot (0; 1; 2) = 0$ . Das gilt immer: Setzt man a × b in $a \cdot (a \times b)$ ein, heben sich die sechs Produkte paarweise auf.

Verändere b. Die Proben a·n und b·n bleiben 0. Wann ist n = (0; 0; 0)?

Reihenfolge und Parallelität

Die Reihenfolge zählt: $b \times a = - (a \times b)$ . Der Vektor klappt in die Gegenrichtung, seine Länge bleibt; ein Kommutativgesetz gibt es nicht. Die Richtung gibt die Rechte-Hand-Regel an: Zeigt der Daumen in Richtung a und der Zeigefinger in Richtung b, zeigt der Mittelfinger in Richtung a × b.

a = (2; 0; 0) und b = (0; 2; 0) in der x₁x₂-Ebene: a × b = (0; 0; 4) zeigt nach oben.

Sind a und b parallel, ist das Vektorprodukt der Nullvektor: $(1; 1; 0) \times (2; 2; 0) = (0; 0; 0)$ . Umgekehrt zeigt $a \times b = o$ nur Parallelität an, nicht, dass ein Vektor der Nullvektor ist. Jedes Vielfache von $a \times b$ steht ebenfalls senkrecht auf beiden – man darf also kürzen.

Voraussetzungen (1)

Orthogonale Vektoren

Klasse 12

›

Ermöglicht (1)

Flächeninhalt

Klasse 12

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Wie lautet (1; 2; 3) × (2; 0; 1)?

● (2; 5; −4)
○ (−2; −5; 4)
○ (2; 0; 3)

(2·1 − 3·0; 3·2 − 1·1; 1·0 − 2·2) = (2; 5; −4). (−2; −5; 4) ist b × a, und (2; 0; 3) entsteht, wenn man die Komponenten einfach paarweise multipliziert.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Die Vektoren a = (3; 0; 0) und b = (0; 2; 0) liegen in der x₁x₂-Ebene. Wie lautet a × b?

● (0; 0; 6)
○ (0; 0; −6)
○ (0; 0; 5)

a₁b₂ − a₂b₁ = 3·2 − 0 = 6, die anderen Komponenten sind 0. (0; 0; −6) wäre b × a, und 5 = 3 + 2 addiert statt zu multiplizieren.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welcher Vektor steht senkrecht auf a = (1; 1; 0) und auf b = (0; 1; 2)?

● (2; −2; 1)
○ (1; 2; 2)
○ (0; 1; 0)

a × b = (1·2 − 0; 0 − 1·2; 1·1 − 0) = (2; −2; 1). (1; 2; 2) ist die Summe a + b, (0; 1; 0) entsteht durch komponentenweises Multiplizieren; beides steht nicht senkrecht auf a und b.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Der Vektor n = (4; −4; 2) steht senkrecht auf a = (1; 1; 0) und auf b = (0; 1; 2).

✓ Wahr

n·a = 4 − 4 + 0 = 0 und n·b = 0 − 4 + 4 = 0. n = 2·(2; −2; 1) ist ein Vielfaches von a × b, und jedes Vielfache steht ebenfalls senkrecht.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

(1; 2; 3) × (2; 0; 1) = (2; 5; −4). Was ist (2; 0; 1) × (1; 2; 3)?

● (−2; −5; 4)
○ (2; 5; −4)
○ (2; −5; 4)

Vertauscht man die Faktoren, kehren sich alle Vorzeichen um: b × a = −(a × b). (2; 5; −4) nähme ein Kommutativgesetz an, (2; −5; 4) dreht nur ein Vorzeichen um.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Es ist a × b = (0; 0; 6) für a = (3; 0; 0) und b = (0; 2; 0) im Bild. Wohin zeigt b × a?

● nach unten, (0; 0; −6)
○ nach oben, (0; 0; 6)
○ nach rechts, (0; 6; 0)

b × a = −(a × b) = (0; 0; −6): gleiche Länge, Gegenrichtung, also nach unten. Nach oben zeigt a × b, und die x₂-Richtung hat mit dem Ergebnis nichts zu tun.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Bei welchem Paar ist a × b = o?

● (1; 2; 3) und (2; 4; 6)
○ (1; 2; 3) und (3; 2; 1)
○ (1; 2; 3) und (−1; −2; 3)

(2; 4; 6) = 2·(1; 2; 3) ist parallel: a × b = o. (3; 2; 1) und (−1; −2; 3) sind keine Vielfachen von (1; 2; 3); bei (−1; −2; 3) wechseln die ersten beiden Komponenten das Vorzeichen, die dritte nicht.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Für a = (1; 2; 3) und b = (2; 4; 6) ist a × b = o, obwohl keiner der beiden Vektoren der Nullvektor ist.

✓ Wahr

(2·6 − 3·4; 3·2 − 1·6; 1·4 − 2·2) = (0; 0; 0). Die Vektoren sind parallel; das Vektorprodukt ist o, ohne dass ein Faktor o ist.

Mittel

Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Berechne die erste Komponente von a × b für a = (3; −1; 2) und b = (1; 4; −2).

✓ Antwort: -6

a₂b₃ − a₃b₂ = (−1)·(−2) − 2·4 = 2 − 8 = −6.

Lückentext #2 15s ▶ Testen

Ein Vektor n steht senkrecht auf a und b, wenn n·a = ___ und n·b = 0 ist.

✓ Antwort: 0

Orthogonal bedeutet Skalarprodukt 0, und zwar für beide Vektoren.

Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

Es ist a × b = (4; −1; 3). Berechne die zweite Komponente von b × a.

✓ Antwort: 1

b × a = −(a × b) = (−4; 1; −3). Die zweite Komponente ist 1.

Lückentext #4 15s ▶ Testen

Ist a × b = o für a, b ≠ o, dann sind a und b zueinander (parallel oder orthogonal): ___

✓ Antwort: parallel

a × b = o bedeutet, dass die aufgespannte Fläche 0 ist: Die Vektoren liegen auf einer Geraden, sind also parallel.

Schwer

Zahleneingabe #1 60s ▶ Testen

Berechne a × b für a = (2; 1; −1) und b = (1; 3; 2) und gib die Summe der drei Komponenten an.

✓ Antwort: 5

a × b = (1·2 − (−1)·3; (−1)·1 − 2·2; 2·3 − 1·1) = (5; −5; 5). Summe: 5 − 5 + 5 = 5.

KI-bewertete Rechnung #2 240s ▶ Testen

Berechne a × b für a = (2; −1; 3) und b = (1; 4; −2). Überprüfe dein Ergebnis mit dem Skalarprodukt auf beide Vektoren und erkläre, warum die Probe klappt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: a × b = ((−1)·(−2) − 3·4; 3·1 − 2·(−2); 2·4 − (−1)·1) = (2 − 12; 3 + 4; 8 + 1) = (−10; 7; 9). Probe: n·a = −20 − 7 + 27 = 0 und n·b = −10 + 28 − 18 = 0. Beide Skalarprodukte sind 0, weil a × b senkrecht auf a und auf b steht.

Vektorprodukt: jede Komponente ist eine Differenz zweier Produkte. Die Probe mit dem Skalarprodukt bestätigt die Orthogonalität.

Zahleneingabe #3 60s ▶ Testen

Ein Vektor mit erster Komponente 1 steht senkrecht auf a = (2; 1; 0) und b = (0; 1; 1). Wie lautet seine dritte Komponente?

✓ Antwort: 2

a × b = (1·1 − 0·1; 0·0 − 2·1; 2·1 − 1·0) = (1; −2; 2). Die erste Komponente ist schon 1, also ist die dritte 2.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Es ist a × b = (1; 2; 2). Wie lang ist b × a?

✓ Antwort: 3

b × a = (−1; −2; −2) hat dieselbe Länge wie a × b: √(1 + 4 + 4) = 3.

Zahleneingabe #5 45s ▶ Testen

Für welches t ist (1; 2; 3) × (2; 4; t) = o?

✓ Antwort: 6

Der Vektor (2; 4; t) muss ein Vielfaches von (1; 2; 3) sein: (2; 4; 6), also t = 6. Probe: 1·t − 3·2 = t − 6 = 0.