Das Prinzip von Cavalieri
Zwei Stapel aus je 9 gleichen Münzen: einer steht gerade, der andere ist schief geschoben. Wie verhalten sich ihre Volumina?
Erklärung: Beide Stapel bestehen aus gleich vielen gleichen Münzen; das Verschieben ändert weder die Münzen noch die Höhe des Stapels. In jeder Höhe liegt eine gleich große Schnittfläche, das Volumen bleibt gleich (Cavalieri). Der schiefe Stapel wirkt nur länger.
Ein Stapel aus 200 Blättern Papier bildet einen Quader. Schiebt man die Blätter zu einem schiefen Stapel derselben Höhe, bleibt das Volumen gleich.
Erklärung: Es sind dieselben 200 Blätter mit derselben Fläche und derselben Höhe des Stapels. In jeder Höhe ist die Schnittfläche gleich groß, also bleibt das Volumen gleich.
Ein Quader und eine Pyramide haben dieselbe Grundfläche (20 cm²) und sind beide 5 cm hoch. Also haben sie dasselbe Volumen.
Erklärung: Die Pyramide läuft nach oben spitz zu: Ihre Schnittfläche wird mit der Höhe kleiner, die des Quaders bleibt 20 cm². Nur gleiche Schnittflächen in jeder Höhe sichern gleiches Volumen; gleiche Grundfläche und Höhe genügen nicht.
Bei welchem Paar von Körpern (jeweils gleich hoch) haben beide in jeder Höhe gleich große Schnittflächen?
Erklärung: Beim schiefen Zylinder ist jeder Schnitt ein Kreis derselben Größe wie beim geraden. Bei der Pyramide schrumpft der Schnitt nach oben, und die beiden Quader haben trotz gleicher Höhe verschiedene Schnittflächen (12 cm² gegen 20 cm²).
Zwei Körper sind je 8 cm hoch. In jeder Höhe hat die Schnittfläche 15 cm². Wie groß ist das Volumen eines Körpers (in cm³)?
Erklärung: Ein Körper mit in jeder Höhe gleicher Schnittfläche 15 cm² hat dasselbe Volumen wie ein gerades Prisma mit G = 15 cm² und h = 8 cm: V = 15 · 8 = 120 cm³.
40 quadratische Karten (Kantenlänge 5 cm, Dicke 2 mm) werden zu einem schiefen Stapel geschoben. Wie groß ist sein Volumen (in cm³)?
Erklärung: Die Höhe ist 40 · 2 mm = 80 mm = 8 cm, die Schnittfläche in jeder Höhe 5 · 5 = 25 cm². V = 25 · 8 = 200 cm³. Das Schieben ändert daran nichts.
Ein schiefes Prisma hat die Grundfläche G = 20 cm². Seine schräge Kante ist 10 cm lang, der senkrechte Abstand von Grund- und Deckfläche beträgt 8 cm. Wie groß ist das Volumen?
Erklärung: V = G · h mit h = dem senkrechten Abstand der Flächen: 20 · 8 = 160 cm³. Mit der schrägen Kante 10 cm käme 200 cm³ heraus, und ½ · 20 · 8 = 80 cm³ übernimmt fälschlich das Halb der Dreiecksformel.
Ein schiefes Prisma hat G = 30 cm² und eine schräge Kante von 10 cm. Sein Volumen ist 300 cm³.
Erklärung: Die schräge Kante ist länger als der senkrechte Abstand der Flächen. Das Volumen ist G mal dieser Höhe, also kleiner als 30 · 10 = 300 cm³.
Ein schiefes Prisma hat die Grundfläche G = 15 cm² und den senkrechten Abstand h = 6 cm zwischen Grund- und Deckfläche. Berechne V (in cm³).
Erklärung: V = G · h = 15 · 6 = 90 cm³.
Ein schiefes Prisma hat die Grundfläche G = 10 cm², die schräge Kante 13 cm, und die Deckfläche ist 5 cm seitlich verschoben. Berechne V (in cm³).
Erklärung: Kante, Verschiebung und Höhe bilden ein rechtwinkliges Dreieck: h² = 13² − 5² = 144, also h = 12 cm. V = 10 · 12 = 120 cm³.
Ein schief stehender Turm ist ein Prisma mit rechteckiger Grundfläche 30 m × 20 m. Die Deckfläche ist 10 m seitlich verschoben, der senkrechte Abstand von Grund- und Deckfläche beträgt 40 m. Wie groß ist sein Volumen (in m³)?
Erklärung: G = 30 · 20 = 600 m², h = 40 m (die Verschiebung 10 m und die schräge Kante werden nicht gebraucht): V = 600 · 40 = 24 000 m³.
Ein schiefes Prisma hat eine rechteckige Grundfläche 6 cm × 5 cm. Die schräge Kante ist 15 cm lang, die Deckfläche ist 9 cm seitlich verschoben. Berechne das Volumen und begründe mit dem Prinzip von Cavalieri, warum du G · h verwenden darfst.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: h = 12 cm, G = 30 cm², V = 360 cm³; gleiche Schnittflächen in jeder Höhe nach Cavalieri.