Das Prinzip von Cavalieri
Cavalieri's Principle
Verschiebt man die Scheiben eines Stapels, bleibt sein Volumen gleich: Haben zwei gleich hohe Körper in jeder Höhe gleich große Schnittflächen, so haben sie dasselbe Volumen (Prinzip von Cavalieri). Daraus folgt V = G · h auch für schiefe Prismen, wenn h der senkrechte Abstand der Flächen ist. Räumt aus, die schräge Kante sei die Höhe und gleiche Grundfläche mit gleicher Höhe genüge. Bereitet das Pyramidenvolumen, das Kegelvolumen und die Kugel vor.
Ein Stapel Münzen ist ein Zylinder. Schiebst du die Münzen gegeneinander, wird der Stapel schief – doch es sind dieselben Münzen, und der Stapel ist gleich
hoch. Sein Volumen ändert sich nicht. Das ist der Kern des Prinzips von Cavalieri: Haben zwei Körper gleicher Höhe in jeder Höhe gleich große
Gleiche Grundfläche und gleiche Höhe genügen allein nicht: Ein Quader behält seine Schnittfläche bis oben, eine Pyramide nicht. Für ein schiefes Prisma folgt
aber
Ermöglicht (1)
Zwei Stapel aus je 9 gleichen Münzen: einer steht gerade, der andere ist schief geschoben. Wie verhalten sich ihre Volumina?
Ein Stapel aus 200 Blättern Papier bildet einen Quader. Schiebt man die Blätter zu einem schiefen Stapel derselben Höhe, bleibt das Volumen gleich.
Ein Quader und eine Pyramide haben dieselbe Grundfläche (20 cm²) und sind beide 5 cm hoch. Also haben sie dasselbe Volumen.
Bei welchem Paar von Körpern (jeweils gleich hoch) haben beide in jeder Höhe gleich große Schnittflächen?
Ein schiefes Prisma hat die Grundfläche G = 20 cm². Seine schräge Kante ist 10 cm lang, der senkrechte Abstand von Grund- und Deckfläche beträgt 8 cm. Wie groß ist das Volumen?
Ein schiefes Prisma hat G = 30 cm² und eine schräge Kante von 10 cm. Sein Volumen ist 300 cm³.
Zwei Körper sind je 8 cm hoch. In jeder Höhe hat die Schnittfläche 15 cm². Wie groß ist das Volumen eines Körpers (in cm³)?
Ein schiefes Prisma hat die Grundfläche G = 15 cm² und den senkrechten Abstand h = 6 cm zwischen Grund- und Deckfläche. Berechne V (in cm³).
40 quadratische Karten (Kantenlänge 5 cm, Dicke 2 mm) werden zu einem schiefen Stapel geschoben. Wie groß ist sein Volumen (in cm³)?
Ein schiefes Prisma hat die Grundfläche G = 10 cm², die schräge Kante 13 cm, und die Deckfläche ist 5 cm seitlich verschoben. Berechne V (in cm³).
Ein schief stehender Turm ist ein Prisma mit rechteckiger Grundfläche 30 m × 20 m. Die Deckfläche ist 10 m seitlich verschoben, der senkrechte Abstand von Grund- und Deckfläche beträgt 40 m. Wie groß ist sein Volumen (in m³)?
Ein schiefes Prisma hat eine rechteckige Grundfläche 6 cm × 5 cm. Die schräge Kante ist 15 cm lang, die Deckfläche ist 9 cm seitlich verschoben. Berechne das Volumen und begründe mit dem Prinzip von Cavalieri, warum du G · h verwenden darfst. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.