Der Kegel als Grenzfall
Einem Kreis mit r = 10 cm (Kreisfläche π · r² ≈ 314 cm²) ist ein regelmäßiges Zwölfeck einbeschrieben. Welche Fläche kann das Zwölfeck haben?
Erklärung: Das einbeschriebene Vieleck liegt ganz im Kreis, also ist seine Fläche kleiner als 314 cm²: Es sind 12 Dreiecke mit je ½ · 10 · 10 · sin 30° = 25 cm², zusammen 300 cm². Gleich 314 cm² wird nie erreicht, und 330 cm² wäre größer als der Kreis.
Ein regelmäßiges Vieleck mit 1000 Ecken, das einem Kreis einbeschrieben ist, hat genau dieselbe Fläche wie der Kreis.
Erklärung: Auch mit 1000 Ecken liegt das Vieleck ganz im Kreis und lässt an jeder Seite einen dünnen Kreisabschnitt frei. Die Fläche kommt der Kreisfläche beliebig nahe, erreicht sie aber nie.
Ordne die einem Kreis (r = 10 cm) einbeschriebenen regelmäßigen Vielecke nach ihrer Fläche, das kleinste zuerst.
Erklärung: Je mehr Ecken, desto besser füllt das Vieleck den Kreis: Viereck 200 cm², Sechseck 259,8 cm², Achteck 282,8 cm², Zwölfeck 300 cm² (Kreis 314,2 cm²).
Einem Kreis mit r = 10 cm ist ein regelmäßiges Sechseck einbeschrieben, das aus 6 gleichschenkligen Dreiecken mit dem Winkel 60° an der Spitze besteht. Berechne seine Fläche (in cm², auf 0,1 genau).
Erklärung: Ein Dreieck: ½ · 10 · 10 · sin 60° ≈ 43,30 cm². Sechs Dreiecke: 6 · 43,30 ≈ 259,8 cm².
Einem Kreis mit r = 10 cm ist ein regelmäßiges Achteck einbeschrieben (8 gleichschenklige Dreiecke mit den Schenkeln 10 cm und dem Winkel 45° dazwischen; Dreiecksfläche = ½ · 10 · 10 · sin 45°). Berechne die Fläche des Achtecks (in cm², auf 0,1 genau).
Erklärung: Ein Dreieck: ½ · 100 · sin 45° ≈ 35,36 cm². Acht Dreiecke: 8 · 35,36 ≈ 282,8 cm² – noch kleiner als die Kreisfläche 314,2 cm².
In einem Kegel (r = 10 cm, h = 6 cm) steht eine Pyramide mit demselben h. Ihre Grundfläche ist ein dem Grundkreis einbeschriebenes Quadrat mit A = 200 cm². Wie groß ist das Volumen der Pyramide?
Erklärung: V = ⅓ · G · h = ⅓ · 200 · 6 = 400 cm³. Ohne das Drittel käme das Prisma 1200 cm³ heraus; 628,3 cm³ ist das Volumen des Kegels, der die Pyramide umschließt.
Im Kegel (r = 10 cm, h = 6 cm) stehen Pyramiden derselben Höhe über einbeschriebenen Vielecken. Ordne nach dem Volumen, das kleinste zuerst.
Erklärung: Die Grundflächen werden größer, je mehr Ecken das Vieleck hat: 400, 565,7 und 612,3 cm³. Der Kegel mit 628,3 cm³ ist größer als jede dieser Pyramiden.
Die Pyramide über dem einbeschriebenen Sechzehneck (V ≈ 612,3 cm³) ist größer als der Kegel (V ≈ 628,3 cm³) mit demselben Grundkreis und derselben Höhe.
Erklärung: 612,3 cm³ ist kleiner als 628,3 cm³. Jede Pyramide über einem einbeschriebenen Vieleck liegt im Kegel, also ist sein Volumen die Obergrenze, der sich die Pyramiden nähern.
Über dem einbeschriebenen Sechseck (A ≈ 259,8 cm²) steht eine Pyramide der Höhe 6 cm. Berechne ihr Volumen (in cm³, auf 0,1 genau).
Erklärung: V = ⅓ · G · h = ⅓ · 259,8 · 6 = 519,6 cm³.
Für sehr viele Ecken nähert sich die Grundfläche der Pyramide der Kreisfläche π · r². Berechne damit das Volumen, dem sich die Pyramiden nähern (r = 10 cm, h = 6 cm; in cm³, auf 0,1 genau).
Erklärung: V = ⅓ · π · r² · h = ⅓ · π · 100 · 6 = 200π ≈ 628,3 cm³: das Volumen des Kegels.
In einem Kegel mit r = 10 cm und h = 6 cm steht eine Pyramide über einem einbeschriebenen regelmäßigen Zwölfeck (Zwölfeckfläche ½ · 10 · 10 · sin 30° · 12). Berechne ihr Volumen, vergleiche es mit ⅓ · π · r² · h und erkläre, was mit den Pyramiden geschieht, wenn die Zahl der Ecken wächst.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: A₁₂ = 300 cm², V = 600 cm³ < 628,3 cm³; das Volumen nähert sich von unten dem Kegelvolumen.
In eine quadratische Pyramide (a = 10 cm, h = 9 cm, V = 300 cm³) passt ein Kegel mit r = 5 cm und h = 9 cm; sein Grundkreis berührt die vier Grundkanten. Was gilt für das Kegelvolumen?
Erklärung: Der Kegel liegt ganz in der Pyramide und lässt an den vier Ecken Platz frei. Sein Volumen ⅓ · π · 25 · 9 ≈ 235,6 cm³ ist kleiner als 300 cm³.
Ein Kegel und eine Pyramide haben dieselbe Höhe. Der Grundkreis des Kegels berührt die vier Kanten des Grundquadrats der Pyramide. Der Kegel füllt die Pyramide dann vollständig.
Erklärung: An den vier Ecken des Quadrats bleibt zwischen Kreis und Quadrat Platz. Der Kegel füllt die Pyramide nur zum Teil (etwa 79 %).
Ein Grundkreis mit dem Radius 6 cm berührt von innen die vier Kanten eines Quadrats. Wie lang ist die Quadratkante (in cm)?
Erklärung: Die Quadratkante ist so lang wie der Durchmesser des Kreises: 2 · 6 = 12 cm.
In der Pyramide (a = 10 cm, h = 9 cm, V = 300 cm³) steht der Kegel mit r = 5 cm und h = 9 cm. Wie viel Prozent des Pyramidenvolumens nimmt der Kegel ein (V = ⅓ · π · r² · h; auf 0,1 % genau)?
Erklärung: V(Kegel) = ⅓ · π · 25 · 9 = 75π ≈ 235,6 cm³. 235,6 : 300 ≈ 0,785, also 78,5 % (das ist π/4).