Der Kegel als Grenzfall

The Cone as a Limiting Case

Mathematik Klasse 10 15 Aufgaben
GeometrieRaumgeometrieKegelVolumenGrenzwertKreis

Ein regelmäßiges n-Eck im Kreis füllt den Kreis umso besser, je größer n ist; seine Fläche wächst gegen πr², ohne sie zu erreichen. Eine Pyramide über diesem n-Eck mit der Höhe h hat V = ⅓ · A_n · h; ihr Volumen wächst von unten gegen ⅓ · π · r² · h. So wird die Kegelformel plausibel: Der Kegel ist der Grenzfall der Pyramiden. Räumt aus, das n-Eck sei irgendwann der Kreis, und aus, der Kegel sei „keine Pyramide“. Bereitet das Rechnen mit dem Kegelvolumen vor.

Ein Kegel ist eine Pyramide mit runder Grundfläche – fast. Zeichne in den Grundkreis ein regelmäßiges n-Eck. Je größer n, desto besser füllt es den Kreis: Seine Fläche wächst, bleibt aber immer kleiner als . Für r = 5 cm gilt: n = 4 gibt 50 cm², n = 6 gibt 64,95 cm², n = 12 gibt 75 cm², der Kreis hat 78,54 cm².

Wähle n. Wie nah kommt das n-Eck der Kreisfläche, und erreicht es sie je?

Eine Pyramide über diesem n-Eck mit der Höhe h des Kegels hat . Mit wachsendem n nähern sich diese Pyramiden dem Kegel, immer von innen: . Der Kegel ist der Grenzfall der Pyramiden. Umgekehrt passt in eine Pyramide mit der Grundkante 2r ein Kegel gleicher Höhe, dessen Grundkreis die vier Grundkanten berührt – er füllt sie zu π/4 ≈ 78,5 %. Das ist keine strenge Herleitung, aber ein tragfähiges Argument: Im Kegelvolumen steckt dieselbe Struktur wie in der Pyramide – Grundfläche mal Höhe, geteilt durch drei.

Voraussetzungen (2)

Das Volumen der Pyramide
Klasse 10
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Der Kegel und sein Netz
Klasse 10
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Ermöglicht (1)

Das Volumen des Kegels
Klasse 10
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Einem Kreis mit r = 10 cm (Kreisfläche π · r² ≈ 314 cm²) ist ein regelmäßiges Zwölfeck einbeschrieben. Welche Fläche kann das Zwölfeck haben?

  • ● 300 cm²
  • ○ 314 cm²
  • ○ 330 cm²
Das einbeschriebene Vieleck liegt ganz im Kreis, also ist seine Fläche kleiner als 314 cm²: Es sind 12 Dreiecke mit je ½ · 10 · 10 · sin 30° = 25 cm², zusammen 300 cm². Gleich 314 cm² wird nie erreicht, und 330 cm² wäre größer als der Kreis.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Ein regelmäßiges Vieleck mit 1000 Ecken, das einem Kreis einbeschrieben ist, hat genau dieselbe Fläche wie der Kreis.

✓ Falsch
Auch mit 1000 Ecken liegt das Vieleck ganz im Kreis und lässt an jeder Seite einen dünnen Kreisabschnitt frei. Die Fläche kommt der Kreisfläche beliebig nahe, erreicht sie aber nie.
Sortieren #3 30s ▶ Testen

Ordne die einem Kreis (r = 10 cm) einbeschriebenen regelmäßigen Vielecke nach ihrer Fläche, das kleinste zuerst.

✓ Antwort: Viereck,Sechseck,Achteck,Zwölfeck
Je mehr Ecken, desto besser füllt das Vieleck den Kreis: Viereck 200 cm², Sechseck 259,8 cm², Achteck 282,8 cm², Zwölfeck 300 cm² (Kreis 314,2 cm²).
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

In einem Kegel (r = 10 cm, h = 6 cm) steht eine Pyramide mit demselben h. Ihre Grundfläche ist ein dem Grundkreis einbeschriebenes Quadrat mit A = 200 cm². Wie groß ist das Volumen der Pyramide?

  • ● 400 cm³
  • ○ 1200 cm³
  • ○ 628,3 cm³
V = ⅓ · G · h = ⅓ · 200 · 6 = 400 cm³. Ohne das Drittel käme das Prisma 1200 cm³ heraus; 628,3 cm³ ist das Volumen des Kegels, der die Pyramide umschließt.
Sortieren #5 30s ▶ Testen

Im Kegel (r = 10 cm, h = 6 cm) stehen Pyramiden derselben Höhe über einbeschriebenen Vielecken. Ordne nach dem Volumen, das kleinste zuerst.

✓ Antwort: Quadrat-Pyramide,Achteck-Pyramide,Sechzehneck-Pyramide,Kegel
Die Grundflächen werden größer, je mehr Ecken das Vieleck hat: 400, 565,7 und 612,3 cm³. Der Kegel mit 628,3 cm³ ist größer als jede dieser Pyramiden.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Die Pyramide über dem einbeschriebenen Sechzehneck (V ≈ 612,3 cm³) ist größer als der Kegel (V ≈ 628,3 cm³) mit demselben Grundkreis und derselben Höhe.

✓ Falsch
612,3 cm³ ist kleiner als 628,3 cm³. Jede Pyramide über einem einbeschriebenen Vieleck liegt im Kegel, also ist sein Volumen die Obergrenze, der sich die Pyramiden nähern.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

In eine quadratische Pyramide (a = 10 cm, h = 9 cm, V = 300 cm³) passt ein Kegel mit r = 5 cm und h = 9 cm; sein Grundkreis berührt die vier Grundkanten. Was gilt für das Kegelvolumen?

  • ● Es ist kleiner als 300 cm³
  • ○ Es ist gleich 300 cm³
  • ○ Es ist größer als 300 cm³
Der Kegel liegt ganz in der Pyramide und lässt an den vier Ecken Platz frei. Sein Volumen ⅓ · π · 25 · 9 ≈ 235,6 cm³ ist kleiner als 300 cm³.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Ein Kegel und eine Pyramide haben dieselbe Höhe. Der Grundkreis des Kegels berührt die vier Kanten des Grundquadrats der Pyramide. Der Kegel füllt die Pyramide dann vollständig.

✓ Falsch
An den vier Ecken des Quadrats bleibt zwischen Kreis und Quadrat Platz. Der Kegel füllt die Pyramide nur zum Teil (etwa 79 %).
Mittel
Zahleneingabe #1 45s ▶ Testen

Einem Kreis mit r = 10 cm ist ein regelmäßiges Sechseck einbeschrieben, das aus 6 gleichschenkligen Dreiecken mit dem Winkel 60° an der Spitze besteht. Berechne seine Fläche (in cm², auf 0,1 genau).

✓ Antwort: 259.8
Ein Dreieck: ½ · 10 · 10 · sin 60° ≈ 43,30 cm². Sechs Dreiecke: 6 · 43,30 ≈ 259,8 cm².
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Über dem einbeschriebenen Sechseck (A ≈ 259,8 cm²) steht eine Pyramide der Höhe 6 cm. Berechne ihr Volumen (in cm³, auf 0,1 genau).

✓ Antwort: 519.6
V = ⅓ · G · h = ⅓ · 259,8 · 6 = 519,6 cm³.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Grundkreis mit dem Radius 6 cm berührt von innen die vier Kanten eines Quadrats. Wie lang ist die Quadratkante (in cm)?

✓ Antwort: 12
Die Quadratkante ist so lang wie der Durchmesser des Kreises: 2 · 6 = 12 cm.
Schwer
Zahleneingabe #1 60s ▶ Testen

Einem Kreis mit r = 10 cm ist ein regelmäßiges Achteck einbeschrieben (8 gleichschenklige Dreiecke mit den Schenkeln 10 cm und dem Winkel 45° dazwischen; Dreiecksfläche = ½ · 10 · 10 · sin 45°). Berechne die Fläche des Achtecks (in cm², auf 0,1 genau).

✓ Antwort: 282.8
Ein Dreieck: ½ · 100 · sin 45° ≈ 35,36 cm². Acht Dreiecke: 8 · 35,36 ≈ 282,8 cm² – noch kleiner als die Kreisfläche 314,2 cm².
Zahleneingabe #2 45s ▶ Testen

Für sehr viele Ecken nähert sich die Grundfläche der Pyramide der Kreisfläche π · r². Berechne damit das Volumen, dem sich die Pyramiden nähern (r = 10 cm, h = 6 cm; in cm³, auf 0,1 genau).

✓ Antwort: 628.3
V = ⅓ · π · r² · h = ⅓ · π · 100 · 6 = 200π ≈ 628,3 cm³: das Volumen des Kegels.
KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

In einem Kegel mit r = 10 cm und h = 6 cm steht eine Pyramide über einem einbeschriebenen regelmäßigen Zwölfeck (Zwölfeckfläche ½ · 10 · 10 · sin 30° · 12). Berechne ihr Volumen, vergleiche es mit ⅓ · π · r² · h und erkläre, was mit den Pyramiden geschieht, wenn die Zahl der Ecken wächst. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Zwölfeck: A = 12 · ½ · 10 · 10 · sin 30° = 300 cm². Pyramide: V = ⅓ · 300 · 6 = 600 cm³. Kegel: ⅓ · π · 100 · 6 = 200π ≈ 628,3 cm³. Die Pyramide ist kleiner als der Kegel; mit mehr Ecken nähert sich die Grundfläche dem Kreis (π · r²) und das Volumen dem Wert ⅓ · π · r² · h, ohne ihn zu überschreiten.
A₁₂ = 300 cm², V = 600 cm³ < 628,3 cm³; das Volumen nähert sich von unten dem Kegelvolumen.
Zahleneingabe #4 60s ▶ Testen

In der Pyramide (a = 10 cm, h = 9 cm, V = 300 cm³) steht der Kegel mit r = 5 cm und h = 9 cm. Wie viel Prozent des Pyramidenvolumens nimmt der Kegel ein (V = ⅓ · π · r² · h; auf 0,1 % genau)?

✓ Antwort: 78.5
V(Kegel) = ⅓ · π · 25 · 9 = 75π ≈ 235,6 cm³. 235,6 : 300 ≈ 0,785, also 78,5 % (das ist π/4).