Mantel und Oberfläche des Kegels
Wie lang ist der Bogen des Kreisausschnitts im Netz dieses Kegels?
Erklärung: Der Bogen ist so lang wie der Umfang des Grundkreises: 2π · r = 2π · 4 ≈ 25,1 cm. 31,4 cm wäre 2π · s (Radius des Ausschnitts), 18,8 cm wäre 2π · 3 mit der Höhe.
Ein Kegel hat r = 2 cm und s = 6 cm. Der Bogen des Kreisausschnitts im Netz ist 37,7 cm lang (2π · 6).
Erklärung: Der Bogen wird um den Grundkreis gelegt und ist so lang wie dessen Umfang: 2π · 2 ≈ 12,6 cm. 2π · 6 wäre der Umfang des vollen Kreises mit dem Ausschnittsradius.
Der Grundkreis eines Kegels hat den Radius 7 cm. Wie lang ist der Bogen des Kreisausschnitts im Netz (in cm, auf 0,1 genau)?
Erklärung: b = 2π · r = 2π · 7 ≈ 44,0 cm.
Der Bogen des Kreisausschnitts im Netz eines Kegels ist 25,1 cm lang. Welchen Radius hat der Grundkreis (in cm, auf 0,1 genau)?
Erklärung: Der Bogen ist der Umfang des Grundkreises: 2π · r = 25,1, also r = 25,1 : (2π) ≈ 4,0 cm.
Ein Kegel hat r = 4 cm und s = 5 cm. Welchen Anteil des Kreises mit dem Radius 5 cm nimmt der Kreisausschnitt im Netz ein?
Erklärung: Der Bogen 2π · 4 ist ein Anteil des ganzen Kreisumfangs 2π · 5: 2π · 4 / (2π · 5) = 4/5. 5/4 wäre mehr als ein ganzer Kreis, 4/9 vergleicht r mit r + s.
Ein Kegel hat r = 1 cm und s = 10 cm. Der Kreisausschnitt im Netz ist kleiner als ein Viertelkreis.
Erklärung: Der Anteil ist r/s = 1/10 des Kreises, der Winkel 360° · 1/10 = 36°. Das ist weniger als 90°, also weniger als ein Viertelkreis.
Ein Kegel hat r = 3 cm und s = 12 cm. Welchen Winkel φ hat der Kreisausschnitt im Netz (in Grad)?
Erklärung: φ = 360° · r/s = 360° · 3/12 = 90°: der Ausschnitt ist ein Viertelkreis.
Für einen Kegelhut mit r = 6 cm und s = 8 cm wird ein Kreisausschnitt mit dem Radius 8 cm ausgeschnitten. Welchen Winkel hat er (in Grad)?
Erklärung: φ = 360° · 6/8 = 270°. Der Ausschnitt ist ein Dreiviertelkreis.
Wie groß ist der Mantel dieses Kegels?
Erklärung: M = π · r · s = π · 4 · 5 ≈ 62,8 cm². 125,7 cm² wäre 2 · π · r · s (doppelt), 78,5 cm² wäre π · s² (der ganze Kreis mit Radius 5 cm).
Ein Kegel hat r = 6 cm, h = 8 cm und s = 10 cm. Sein Mantel beträgt π · 6 · 10 ≈ 188,5 cm².
Erklärung: In die Mantelformel gehört die Mantellinie s, nicht die Höhe h: M = π · 6 · 10 ≈ 188,5 cm². Mit h käme 150,8 cm² heraus.
Ein Kegel hat r = 6 cm und s = 10 cm. Berechne den Mantel (in cm², auf 0,1 genau).
Erklärung: M = π · r · s = π · 6 · 10 = 60π ≈ 188,5 cm².
Ein kegelförmiges Zirkuszelt hat den Radius 8 m und ist 15 m hoch. Wie viel Stoff braucht man für die Zeltwand (Mantel, in m², auf 0,1 genau)?
Erklärung: Erst s = √(8² + 15²) = 17 m. Dann M = π · 8 · 17 = 136π ≈ 427,3 m².
Wie groß ist die Oberfläche dieses Kegels?
Erklärung: O = Grundkreis + Mantel = π · 4² + π · 4 · 5 = 16π + 20π = 36π ≈ 113,1 cm². 62,8 cm² ist nur der Mantel, 175,9 cm² rechnet π · r² + 2π · r · s.
Ein Kegel hat r = 5 cm und s = 13 cm. Seine Oberfläche beträgt 204,2 cm².
Erklärung: 204,2 cm² ist nur der Mantel (π · 5 · 13). Zur Oberfläche gehört der Grundkreis π · 5² ≈ 78,5 cm²: O = π · 5 · 18 ≈ 282,7 cm².
Ein Kegel hat r = 7 cm und s = 25 cm. Berechne die Oberfläche (in cm², auf 0,1 genau).
Erklärung: O = π · r · (r + s) = π · 7 · 32 = 224π ≈ 703,7 cm².
Ein Kegel mit r = 6 cm und h = 8 cm soll vollständig lackiert werden (Mantel und Boden). Wie groß ist die Lackfläche (in cm², auf 0,1 genau)?
Erklärung: Erst s = √(6² + 8²) = 10 cm. O = π · 6 · (6 + 10) = 96π ≈ 301,6 cm².
Ein gerader Kreiskegel hat den Radius r = 8 cm und die Höhe h = 6 cm. Skizziere das Netz mit dem Kreisausschnitt, berechne die Mantellinie, den Winkel des Kreisausschnitts, den Mantel und die Oberfläche.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: s = 10 cm, φ = 288°, M = 80π ≈ 251,3 cm², O = 144π ≈ 452,4 cm².