Mantel und Oberfläche des Kegels

Lateral and Total Surface of the Cone

Mathematik Klasse 10 17 Aufgaben
GeometrieRaumgeometrieKegelOberflächeKreisKörpernetz

Der Mantel eines Kegels ist ein Kreisausschnitt mit dem Radius s. Sein Bogen ist so lang wie der Umfang des Grundkreises, 2πr, und der Ausschnitt ist der Anteil r/s des Kreises mit Radius s (Winkel φ = 360° · r/s). Daraus folgt M = r/s · π · s² = π · r · s und O = π · r² + π · r · s = π · r · (r + s). Räumt aus, den Bogen mit 2πs oder den Mantel mit der Höhe zu rechnen. Bereitet Oberflächenaufgaben und die Kugel vor.

Der Mantel als Kreisausschnitt

Rollst du den Mantel ab, entsteht ein Kreisausschnitt mit dem Radius s. Sein Bogen lag um den Grundkreis, ist also so lang wie dessen Umfang: . Der ganze Kreis mit dem Radius s hätte den Umfang 2πs; der Ausschnitt ist also der Anteil r/s davon. Sein Winkel ist , und der Mantel ist derselbe Anteil der Kreisfläche πs²:

Beispiel r = 3 cm, s = 5 cm: Anteil 3/5, φ = 216°, b = 6π ≈ 18,85 cm und M = 15π ≈ 47,1 cm².

Verändere r bei fester Mantellinie s = 5 cm. Wie hängen der Winkel φ und der Radius r zusammen?

Die Oberfläche

Zum Mantel kommt der Grundkreis:

Für r = 3 cm und s = 5 cm: O = 9π + 15π = 24π ≈ 75,4 cm². Wer nur πrs rechnet, hat den Mantel. In die Formeln gehört die Mantellinie s; ist die Höhe h gegeben, berechne zuerst s = √(r² + h²). Für ein Zeltdach ohne Boden zählt nur der Mantel, für eine geschlossene Dose die ganze Oberfläche.

Kegelnetz (Radius 3, Mantellinie 5) s r
Das Kegelnetz mit den Bezeichnungen s (Radius des Ausschnitts) und r (Radius des Grundkreises).

Voraussetzungen (1)

Der Kegel und sein Netz
Klasse 10
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Wie lang ist der Bogen des Kreisausschnitts im Netz dieses Kegels?

  • ● 25,1 cm
  • ○ 31,4 cm
  • ○ 18,8 cm
Der Bogen ist so lang wie der Umfang des Grundkreises: 2π · r = 2π · 4 ≈ 25,1 cm. 31,4 cm wäre 2π · s (Radius des Ausschnitts), 18,8 cm wäre 2π · 3 mit der Höhe.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Ein Kegel hat r = 2 cm und s = 6 cm. Der Bogen des Kreisausschnitts im Netz ist 37,7 cm lang (2π · 6).

✓ Falsch
Der Bogen wird um den Grundkreis gelegt und ist so lang wie dessen Umfang: 2π · 2 ≈ 12,6 cm. 2π · 6 wäre der Umfang des vollen Kreises mit dem Ausschnittsradius.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Ein Kegel hat r = 4 cm und s = 5 cm. Welchen Anteil des Kreises mit dem Radius 5 cm nimmt der Kreisausschnitt im Netz ein?

  • ● 4/5
  • ○ 5/4
  • ○ 4/9
Der Bogen 2π · 4 ist ein Anteil des ganzen Kreisumfangs 2π · 5: 2π · 4 / (2π · 5) = 4/5. 5/4 wäre mehr als ein ganzer Kreis, 4/9 vergleicht r mit r + s.
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Ein Kegel hat r = 1 cm und s = 10 cm. Der Kreisausschnitt im Netz ist kleiner als ein Viertelkreis.

✓ Wahr
Der Anteil ist r/s = 1/10 des Kreises, der Winkel 360° · 1/10 = 36°. Das ist weniger als 90°, also weniger als ein Viertelkreis.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Wie groß ist der Mantel dieses Kegels?

  • ● 62,8 cm²
  • ○ 125,7 cm²
  • ○ 78,5 cm²
M = π · r · s = π · 4 · 5 ≈ 62,8 cm². 125,7 cm² wäre 2 · π · r · s (doppelt), 78,5 cm² wäre π · s² (der ganze Kreis mit Radius 5 cm).
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Ein Kegel hat r = 6 cm, h = 8 cm und s = 10 cm. Sein Mantel beträgt π · 6 · 10 ≈ 188,5 cm².

✓ Wahr
In die Mantelformel gehört die Mantellinie s, nicht die Höhe h: M = π · 6 · 10 ≈ 188,5 cm². Mit h käme 150,8 cm² heraus.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Wie groß ist die Oberfläche dieses Kegels?

  • ● 113,1 cm²
  • ○ 62,8 cm²
  • ○ 175,9 cm²
O = Grundkreis + Mantel = π · 4² + π · 4 · 5 = 16π + 20π = 36π ≈ 113,1 cm². 62,8 cm² ist nur der Mantel, 175,9 cm² rechnet π · r² + 2π · r · s.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Ein Kegel hat r = 5 cm und s = 13 cm. Seine Oberfläche beträgt 204,2 cm².

✓ Falsch
204,2 cm² ist nur der Mantel (π · 5 · 13). Zur Oberfläche gehört der Grundkreis π · 5² ≈ 78,5 cm²: O = π · 5 · 18 ≈ 282,7 cm².
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Der Grundkreis eines Kegels hat den Radius 7 cm. Wie lang ist der Bogen des Kreisausschnitts im Netz (in cm, auf 0,1 genau)?

✓ Antwort: 44
b = 2π · r = 2π · 7 ≈ 44,0 cm.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Kegel hat r = 3 cm und s = 12 cm. Welchen Winkel φ hat der Kreisausschnitt im Netz (in Grad)?

✓ Antwort: 90
φ = 360° · r/s = 360° · 3/12 = 90°: der Ausschnitt ist ein Viertelkreis.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Kegel hat r = 6 cm und s = 10 cm. Berechne den Mantel (in cm², auf 0,1 genau).

✓ Antwort: 188.5
M = π · r · s = π · 6 · 10 = 60π ≈ 188,5 cm².
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Ein Kegel hat r = 7 cm und s = 25 cm. Berechne die Oberfläche (in cm², auf 0,1 genau).

✓ Antwort: 703.7
O = π · r · (r + s) = π · 7 · 32 = 224π ≈ 703,7 cm².
Schwer
Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Der Bogen des Kreisausschnitts im Netz eines Kegels ist 25,1 cm lang. Welchen Radius hat der Grundkreis (in cm, auf 0,1 genau)?

✓ Antwort: 4
Der Bogen ist der Umfang des Grundkreises: 2π · r = 25,1, also r = 25,1 : (2π) ≈ 4,0 cm.
Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Für einen Kegelhut mit r = 6 cm und s = 8 cm wird ein Kreisausschnitt mit dem Radius 8 cm ausgeschnitten. Welchen Winkel hat er (in Grad)?

✓ Antwort: 270
φ = 360° · 6/8 = 270°. Der Ausschnitt ist ein Dreiviertelkreis.
Zahleneingabe #3 60s ▶ Testen

Ein kegelförmiges Zirkuszelt hat den Radius 8 m und ist 15 m hoch. Wie viel Stoff braucht man für die Zeltwand (Mantel, in m², auf 0,1 genau)?

✓ Antwort: 427.3
Erst s = √(8² + 15²) = 17 m. Dann M = π · 8 · 17 = 136π ≈ 427,3 m².
Zahleneingabe #4 60s ▶ Testen

Ein Kegel mit r = 6 cm und h = 8 cm soll vollständig lackiert werden (Mantel und Boden). Wie groß ist die Lackfläche (in cm², auf 0,1 genau)?

✓ Antwort: 301.6
Erst s = √(6² + 8²) = 10 cm. O = π · 6 · (6 + 10) = 96π ≈ 301,6 cm².
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Ein gerader Kreiskegel hat den Radius r = 8 cm und die Höhe h = 6 cm. Skizziere das Netz mit dem Kreisausschnitt, berechne die Mantellinie, den Winkel des Kreisausschnitts, den Mantel und die Oberfläche. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: s = √(8² + 6²) = 10 cm. Kreisausschnitt mit Radius 10 cm und Winkel φ = 360° · 8/10 = 288° (Bogen 2π · 8 = 16π ≈ 50,3 cm). Mantel M = π · 8 · 10 = 80π ≈ 251,3 cm². Oberfläche O = π · 8² + 80π = 144π ≈ 452,4 cm².
s = 10 cm, φ = 288°, M = 80π ≈ 251,3 cm², O = 144π ≈ 452,4 cm².