Das Volumen des Kegels
Wie groß ist das Volumen dieses Kegels?
Erklärung: V = ⅓ · π · r² · h = ⅓ · π · 9 · 7 = 21π ≈ 66,0 cm³. 197,9 cm³ vergisst das Drittel (π · r² · h), 22,0 cm³ quadriert den Radius nicht (⅓ · π · 3 · 7).
Ein Kegel mit r = 6 cm und h = 5 cm hat das Volumen ⅓ · π · 6 · 5 ≈ 31,4 cm³.
Erklärung: Der Radius muss quadriert werden, denn die Grundfläche ist π · r²: V = ⅓ · π · 6² · 5 = 60π ≈ 188,5 cm³.
Ein Kegel hat den Radius 4 cm und die Höhe 9 cm. Berechne das Volumen (in cm³, auf 0,1 genau).
Erklärung: V = ⅓ · π · r² · h = ⅓ · π · 16 · 9 = 48π ≈ 150,8 cm³.
Ein Sandkegel ist 0,6 m hoch und hat den Grundkreisradius 0,8 m. Wie viele Liter Sand sind das (1 m³ = 1000 l; auf 0,1 l genau)?
Erklärung: V = ⅓ · π · 0,8² · 0,6 = 0,128π ≈ 0,4021 m³. Mit 1 m³ = 1000 l sind das 402,1 l.
Ein Kegel hat r = 3 cm und h = 4 cm. Verdoppelt man nur den Radius und lässt die Höhe gleich, wird sein Volumen mit welchem Faktor multipliziert?
Erklärung: Der Radius steckt quadriert in der Formel: (2r)² = 4r². Das Volumen wird mit 4 multipliziert, nicht mit 2 (das wäre bei doppelter Höhe der Fall).
Ein Zylinder mit r = 4 cm und h = 6 cm hat das Volumen 96π ≈ 301,6 cm³. Wie viel fasst ein Kegel mit demselben Grundkreis und derselben Höhe?
Erklärung: Der Kegel fasst ein Drittel des Zylinders: 301,6 : 3 ≈ 100,5 cm³. 150,8 cm³ wäre die Hälfte, 904,8 cm³ das Dreifache.
Man füllt einen Kegel dreimal randvoll mit Wasser und gießt alles in einen Zylinder mit demselben Grundkreis und derselben Höhe. Danach ist der Zylinder genau voll.
Erklärung: Der Kegel fasst ein Drittel des Zylinders: V(Kegel) = ⅓ · π · r² · h, V(Zylinder) = π · r² · h. Dreimal das Kegelvolumen ist das Zylindervolumen.
Ein Kegel fasst halb so viel wie der Zylinder mit demselben Grundkreis und derselben Höhe.
Erklärung: Der Kegel ist spitz und lässt Platz frei: Er fasst nur ein Drittel des Zylinders, nicht die Hälfte (das ½ steckt im Dreieck, nicht im Kegel).
Ein Zylinder fasst 240 cm³. Wie viel fasst ein Kegel mit demselben Grundkreis und derselben Höhe (in cm³)?
Erklärung: V(Kegel) = ⅓ · V(Zylinder) = 240 : 3 = 80 cm³.
Ein Zylinder hat das Volumen 90 cm³. Ein Kegel hat denselben Grundkreis, aber doppelt so viel Höhe. Wie groß ist sein Volumen (in cm³)?
Erklärung: Mit gleicher Höhe wäre der Kegel ⅓ · 90 = 30 cm³. Doppelte Höhe verdoppelt das Volumen: 60 cm³.
Ein Kegel hat den Radius 5 cm und die Mantellinie 13 cm. Welche Länge gehört als Höhe in die Volumenformel?
Erklärung: Die Volumenformel braucht die Körperhöhe h, nicht die Mantellinie: h = √(13² − 5²) = 12 cm. 13 cm ist die Mantellinie selbst, 18 cm addiert r und s.
Ein Kegel hat r = 6 cm und s = 10 cm. Sein Volumen ist ⅓ · π · 6² · 8 ≈ 301,6 cm³.
Erklärung: In die Formel gehört die Körperhöhe h = √(10² − 6²) = 8 cm, nicht die Mantellinie: V = ⅓ · π · 36 · 8 = 96π ≈ 301,6 cm³. Mit s = 10 käme 377,0 cm³ heraus.
Ein Kegel hat die Mantellinie s = 17 cm und den Radius r = 8 cm. Berechne die Körperhöhe h (in cm).
Erklärung: h² = s² − r² = 289 − 64 = 225, also h = 15 cm.
Ein Kegel hat den Radius 9 cm und die Mantellinie 15 cm. Berechne sein Volumen (in cm³, auf 0,1 genau).
Erklärung: Erst die Höhe: h = √(15² − 9²) = 12 cm. Dann V = ⅓ · π · 81 · 12 = 324π ≈ 1017,9 cm³.
Ein gerader Kreiskegel hat den Grundkreisradius 12 cm und die Mantellinie 13 cm. Skizziere den Achsenschnitt, bestimme die Körperhöhe und berechne das Volumen; gib außerdem an, wie viel ein Zylinder mit demselben Grundkreis und derselben Höhe fasst.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: h = 5 cm, V(Kegel) = 240π ≈ 754,0 cm³, V(Zylinder) = 720π ≈ 2261,9 cm³.
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse 10 cm und eine Kathete 6 cm. Wie lang ist die andere Kathete (in cm)?
√(10² − 6²) = √64 = 8 cm.
Ein Kegel hat r = 3 cm und h = 6 cm. Berechne sein Volumen (in cm³). Rechne mit π ≈ 3,14.
Das ist ein Zylinder. Ein Kegel hat ein Drittel davon.
V = 1/3 · π · r² · h = 1/3 · 3,14 · 9 · 6 ≈ 56,52 cm³.
Ein Kegel hat r = 2 cm und h = 9 cm. Berechne sein Volumen (in cm³). Rechne mit π ≈ 3,14.
Das ist ein Zylinder. Ein Kegel hat ein Drittel davon.
V = 1/3 · π · r² · h = 1/3 · 3,14 · 4 · 9 ≈ 37,68 cm³.
Ein Kegel hat den Radius r = 3 cm und die Mantellinie s = 5 cm. Wie hoch ist er (in cm)?
Höhe, Radius und Mantellinie bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit s als Hypotenuse: h = √(5² − 3²) = √16 = 4 cm.
Ein Kegel hat den Radius r = 5 cm und die Mantellinie s = 13 cm. Wie hoch ist er (in cm)?
Höhe, Radius und Mantellinie bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit s als Hypotenuse: h = √(13² − 5²) = √144 = 12 cm.
Ein Kegel hat r = 6 cm und die Mantellinie s = 10 cm. Berechne sein Volumen (in cm³). Rechne mit π ≈ 3,14.
Das ist ein Zylinder. Ein Kegel hat ein Drittel davon.
s ist die Mantellinie, nicht die Höhe. h = √(s² − r²) = 8 cm.
h = √(10² − 6²) = 8 cm. V = 1/3 · π · r² · h = 1/3 · 3,14 · 36 · 8 ≈ 301,44 cm³.
Ein Kegel hat r = 9 cm und die Mantellinie s = 15 cm. Berechne sein Volumen (in cm³). Rechne mit π ≈ 3,14.
Das ist ein Zylinder. Ein Kegel hat ein Drittel davon.
s ist die Mantellinie, nicht die Höhe. h = √(s² − r²) = 12 cm.
h = √(15² − 9²) = 12 cm. V = 1/3 · π · r² · h = 1/3 · 3,14 · 81 · 12 ≈ 1017,36 cm³.
Ein Zylinder hat das Volumen 90 cm³. Ein Kegel hat dieselbe Grundfläche und dieselbe Höhe. Wie groß ist das Volumen des Kegels (in cm³)?
Nicht die Hälfte: Ein Kegel ist ein Drittel des Zylinders.
Der Kegel ist ein Drittel des Zylinders: 90 : 3 = 30 cm³.
Ein Zylinder hat das Volumen 150 cm³. Ein Kegel hat dieselbe Grundfläche und dieselbe Höhe. Wie groß ist das Volumen des Kegels (in cm³)?
Nicht die Hälfte: Ein Kegel ist ein Drittel des Zylinders.
Der Kegel ist ein Drittel des Zylinders: 150 : 3 = 50 cm³.
Ein Kegel hat r = 4 cm und h = 3 cm. Berechne sein Volumen (in cm³). Rechne mit π ≈ 3,14.
Das ist ein Zylinder. Ein Kegel hat ein Drittel davon.
V = 1/3 · π · r² · h = 1/3 · 3,14 · 16 · 3 ≈ 50,24 cm³.
Ein Kegel hat r = 5 cm und h = 6 cm. Berechne sein Volumen (in cm³). Rechne mit π ≈ 3,14.
Das ist ein Zylinder. Ein Kegel hat ein Drittel davon.
V = 1/3 · π · r² · h = 1/3 · 3,14 · 25 · 6 ≈ 157 cm³.
Eine Eiswaffel ist ein Kegel mit dem Radius 3 cm und der Höhe 12 cm. Wie viel Eis passt hinein (in cm³)? Rechne mit π ≈ 3,14.
Das ist ein Zylinder. Ein Kegel hat ein Drittel davon.
V = 1/3 · π · r² · h = 1/3 · 3,14 · 9 · 12 ≈ 113,04 cm³.
Ein Sandhaufen ist ein Kegel mit dem Radius 6 m und der Höhe 9 m. Wie viel Sand ist es (in m³)? Rechne mit π ≈ 3,14.
Das ist ein Zylinder. Ein Kegel hat ein Drittel davon.
V = 1/3 · π · r² · h = 1/3 · 3,14 · 36 · 9 ≈ 339,12 m³.