Das Volumen des Kegels
The Volume of the Cone
Das Volumen eines geraden Kreiskegels ist V = ⅓ · π · r² · h: ein Drittel des Zylinders mit demselben Grundkreis und derselben Höhe, so wie die Pyramide ein Drittel des Prismas ist. In die Formel gehört die Körperhöhe h; ist die Mantellinie s gegeben, folgt h = √(s² − r²). Der Radius geht quadriert ein. Räumt aus, r nicht zu quadrieren, das Drittel zu vergessen und s statt h einzusetzen. Bereitet die Kugel (Zylinder minus Kegel) und Sachaufgaben vor.
Die Grenzfall-Überlegung liefert das Kegelvolumen:
Der
Probe mit Wasser: Füllst du einen Kegel dreimal randvoll und gießt alles in den Zylinder gleicher Maße, ist der Zylinder genau voll. Die Formel ist also dieselbe wie beim Zylinder – nur mit dem Faktor ⅓, den schon die Pyramide hatte.
Voraussetzungen (1)
Wie groß ist das Volumen dieses Kegels?
Ein Kegel mit r = 6 cm und h = 5 cm hat das Volumen ⅓ · π · 6 · 5 ≈ 31,4 cm³.
Ein Zylinder mit r = 4 cm und h = 6 cm hat das Volumen 96π ≈ 301,6 cm³. Wie viel fasst ein Kegel mit demselben Grundkreis und derselben Höhe?
Man füllt einen Kegel dreimal randvoll mit Wasser und gießt alles in einen Zylinder mit demselben Grundkreis und derselben Höhe. Danach ist der Zylinder genau voll.
Ein Kegel fasst halb so viel wie der Zylinder mit demselben Grundkreis und derselben Höhe.
Ein Kegel hat den Radius 5 cm und die Mantellinie 13 cm. Welche Länge gehört als Höhe in die Volumenformel?
Ein Kegel hat r = 6 cm und s = 10 cm. Sein Volumen ist ⅓ · π · 6² · 8 ≈ 301,6 cm³.
Ein Kegel hat den Radius 4 cm und die Höhe 9 cm. Berechne das Volumen (in cm³, auf 0,1 genau).
Ein Zylinder fasst 240 cm³. Wie viel fasst ein Kegel mit demselben Grundkreis und derselben Höhe (in cm³)?
Ein Kegel hat die Mantellinie s = 17 cm und den Radius r = 8 cm. Berechne die Körperhöhe h (in cm).
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse 10 cm und eine Kathete 6 cm. Wie lang ist die andere Kathete (in cm)?
Ein Kegel hat r = 3 cm und h = 6 cm. Berechne sein Volumen (in cm³). Rechne mit π ≈ 3,14.
Ein Kegel hat r = 2 cm und h = 9 cm. Berechne sein Volumen (in cm³). Rechne mit π ≈ 3,14.
Ein Kegel hat den Radius r = 3 cm und die Mantellinie s = 5 cm. Wie hoch ist er (in cm)?
Ein Kegel hat den Radius r = 5 cm und die Mantellinie s = 13 cm. Wie hoch ist er (in cm)?
Ein Kegel hat r = 6 cm und die Mantellinie s = 10 cm. Berechne sein Volumen (in cm³). Rechne mit π ≈ 3,14.
Ein Kegel hat r = 9 cm und die Mantellinie s = 15 cm. Berechne sein Volumen (in cm³). Rechne mit π ≈ 3,14.
Ein Zylinder hat das Volumen 90 cm³. Ein Kegel hat dieselbe Grundfläche und dieselbe Höhe. Wie groß ist das Volumen des Kegels (in cm³)?
Ein Zylinder hat das Volumen 150 cm³. Ein Kegel hat dieselbe Grundfläche und dieselbe Höhe. Wie groß ist das Volumen des Kegels (in cm³)?
Ein Kegel hat r = 4 cm und h = 3 cm. Berechne sein Volumen (in cm³). Rechne mit π ≈ 3,14.
Ein Kegel hat r = 5 cm und h = 6 cm. Berechne sein Volumen (in cm³). Rechne mit π ≈ 3,14.
Eine Eiswaffel ist ein Kegel mit dem Radius 3 cm und der Höhe 12 cm. Wie viel Eis passt hinein (in cm³)? Rechne mit π ≈ 3,14.
Ein Sandhaufen ist ein Kegel mit dem Radius 6 m und der Höhe 9 m. Wie viel Sand ist es (in m³)? Rechne mit π ≈ 3,14.
Ein Sandkegel ist 0,6 m hoch und hat den Grundkreisradius 0,8 m. Wie viele Liter Sand sind das (1 m³ = 1000 l; auf 0,1 l genau)?
Ein Kegel hat r = 3 cm und h = 4 cm. Verdoppelt man nur den Radius und lässt die Höhe gleich, wird sein Volumen mit welchem Faktor multipliziert?
Ein Zylinder hat das Volumen 90 cm³. Ein Kegel hat denselben Grundkreis, aber doppelt so viel Höhe. Wie groß ist sein Volumen (in cm³)?
Ein Kegel hat den Radius 9 cm und die Mantellinie 15 cm. Berechne sein Volumen (in cm³, auf 0,1 genau).
Ein gerader Kreiskegel hat den Grundkreisradius 12 cm und die Mantellinie 13 cm. Skizziere den Achsenschnitt, bestimme die Körperhöhe und berechne das Volumen; gib außerdem an, wie viel ein Zylinder mit demselben Grundkreis und derselben Höhe fasst. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.